Baccalauréat S Liban 28 mai 2013

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Exercice 45 points 


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 3,\: u_{1} = 8$ et, pour tout $n$ supérieur ou égal à 0 :
\[ u_{n + 2} = 5u_{n+1} - 6u_{n}.\]

    1. Calculer $u_{2}$ et $u_{3}$.
    2. $u_2 = 5u_1-6u_0 = 5\times 8 – 6\times 3 = 22$

 

      $u_3 = 5u_2 – 6u_1 = 5 \times 22 – 6 \times 8 = 62$

 

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    1. Pour tout entier naturel $n \geqslant 2$, on souhaite calculer $u_{n}$ à l'aide de l'algorithme suivant :
      $$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :} &a, b \text{ et } c \text{ sont des nombres réels }\\ &i \text{ et } n \text{ sont des nombres entiers naturels supérieurs ou égaux à 2 } \\ \text{Initialisation :} &a \text{ prend la valeur 3 }\\ &b \text{ prend la valeur 8 }\\ \text{Traitement :} &\text{ Saisir } n\\ &\text{ Pour } i \text{ variant de 2 à n faire}\\ &\hspace{0.4cm}\begin{array}{|l} c \text{ prend la valeur } a\\ a \text{ prend la valeur } b\\ b \text{ prend la valeur } \ldots\\ \end{array} \\ &\text{Fin Pour}\\ \text{Sortie :} &\text{Afficher } b\\ \hline \end{array}$$

 

      1. Recopier la ligne de cet algorithme comportant des pointillés et les compléter.
      2. On obtient avec cet algorithme le tableau de valeurs suivant:



        $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 7 &8 &9 &10 &11 &12 &13 &14 &15\\ \hline u_{n}&4502 &13378 &39878 &119122 &356342 &1066978 &3196838 &9582322 &28730582\\ \hline \end{array}$$

 

        « $b$ prend la velaur $5b-6c$ » ou « $b$ prend la valeur $5a-6c$ »

 

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      1. Quelle conjecture peut-on émettre concernant la monotonie de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
      2. Il semblerait que la suite $(u_n)$ soit croissante.
    1. Pour tout entier naturel $n$, on note $C_{n}$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_{n}\end{pmatrix}$. On note $A$ la matrice carrée d'ordre 2 telle que, pour tout entier naturel $n$,
      $C_{n+1} = AC_{n}$.
      Déterminer $A$ et prouver que, pour tout entier naturel $n,\: C_{n} = A^nC_{0}$.
    2. On a $u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n$ et $u_{n+1} = u_{n+1}$.

 

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      Donc $A \begin{pmatrix} 5&-6 \\\\1&0 \end{pmatrix}$

 

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      • Initialisation : $A^0 = \begin{pmatrix} 1&0 \\\\0&1 \end{pmatrix}$ .
        Donc $C_0 = A^0A_0$.
        La propriété est donc vraie au rang $0$.
      • Hérédite : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $C_n = A^nC_0$
        Alors $C_{n+1} = AC_n=A\times A^nC_0 = A_{n+1}C_0$.
        La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
      • Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$.
        En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang $n+1$.
        Donc pour tout entier naturel $n$, $C_n = A^nC_0$
        $~$
    1. Soient $P = \begin{pmatrix}2&3\\1&1 \end{pmatrix},\: D = \begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix}- 1&3\\1&- 2 \end{pmatrix}$.
      Calculer $QP$. On admet que $A = PDQ$. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n,\: A^n = PD^nQ$.
    2. $QP = \begin{pmatrix} 1&0 \\\\0&1 \end{pmatrix}$

 

      • Initialisation : $A = PDQ$. La propriété est donc vraie au rang $1$.
      • Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $A^n = PD^nQ$
        Alors $A^{n+1} = A \times A^n = PDQ \times PD^nQ=PDD^nQ = PD^{n+1}Q$.
        La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
      • Conclusion : la propriété est vraie au rang $1$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang $n+1$.
        Donc, pour tout entier naturel non nul, $A^n = PD^nQ$
    1. À l'aide des questions précédentes, on peut établir le résultat suivant, que l'on admet. Pour tout entier naturel non nul $n$,
      \[A^n = \begin{pmatrix}- 2^{n+1} +3^{n+1}& 3\times 2^{n+1} - 2\times 3^{n+1}\\ - 2^n +3^n& 3 \times 2^n - 2 \times 3^n \end{pmatrix}.\] En déduire une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
      La suite $\left(u_{n}\right)$ a-t-elle une limite ?
    2. On a donc $\begin{pmatrix} u_{n+1} \\\\u_n \end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix} 8 \\\\3 \end{pmatrix}$.

 

      Donc $u_n = 8 \times (-2^n+3^n) + 3(3 \times 2^n – 2\times 3^n) = 2^n + 2\times 3^n$

 

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      Comme $2>1$ et $3>1$ on a : $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 2^n = +\infty$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 3^n = +\infty$

 

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    Donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}u_n = +\infty$.
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