Baccalauréat S Liban 28 mai 2013 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité

On considère la suite numérique $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par
$\left\{\begin{array}{l c l} v_{0} &=& 1\\ v_{n + 1}&=& \dfrac{9}{6 - v_{n}} \end{array}\right.$
Partie A

1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel $n$ donné, tous les termes de la suite, du rang $0$ au rang $n$. Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse. $$\begin{array}{|c|c|c||c|c|c|}\hline \text{Algorithme No 1} &&\text{Algorithme No 2}&&\text{Algorithme No 3} \\\hline \text{Variables :} && \text{Variables :}& & \text{Variables :} \\ v \;\text{est un réel}&&v \;\text{est un réel}&& v \;\text{est un réel}\\ i \text{ et } n \;\text{sont des entiers naturels}&& i \;\text{ et } n \; \text{sont des entiers naturels}&& i \text{ et } n \;\text{sont des entiers naturels}\\  &&&&\\ \text{Début de l'algorithme :}&&\text{Début de l'algorithme :}&& \text{Début de l'algorithme :}\\ \text{Lire } n&&\text{Lire } n&&\text{Lire } n\\ v \text{ prend la valeur } 1&&\text{Pour } i \text{ variant de 1 à } n \text{ faire }&& v\; \text{ prend la valeur } \;1\\ \text{Pour } i \text{ variant de 1 à } n \text{ faire }&&v\; \text{ prend la valeur } \;1&&\text{Pour } i \text{ variant de 1 à } n \text{ faire }\\ \hspace{0.2cm} v \;\text{ prend la valeur } \dfrac{9}{6 - v}&&\hspace{0.2cm}\text{ Afficher } v&& \hspace{0.2cm}\text{ Afficher } v\\ \text{ Fin pour } &&v \text{ prend la valeur } \dfrac{9}{6 - v}&&v \text{ prend la valeur } \dfrac{9}{6 - v}\\ \text{ Afficher } v&& \text{ Fin pour }&&\text{Fin pour }\\ &&&&\text{Afficher } v\\ \text{Fin algorithme}&&\text{Fin algorithme}&&\text{Fin algorithme}\\ \hline \end{array} $$ Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(v_{n}\right)$ ?
2. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < v_{n} < 3$.
   2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{\left(3 - v_{n} \right)^2}{6 - v_{n}}$. La suite $\left(v_{n}\right)$ est-elle monotone ?
   3. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente.

Partie B Recherche de la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$

On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ définie pour tout $n$ entier naturel par
\[w_{n} = \dfrac{1}{v_{n} - 3}.\]

1. Démontrer que $\left(w_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $- \dfrac{1}{3}$
2. En déduire l'expression de $\left(w_{n}\right)$, puis celle de $\left(v_{n}\right)$ en fonction de $n$.
3. Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$.