Baccalauréat S Liban 28 mai 2013

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Exercice 1 4 points
Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des propositions est correcte. Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point. On notera sur la copie le numéro de la question, suivi de la lettre correspondant à la proposition choisie.
L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$.
Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives A$(1 ; -1 ; 2)$, B$(3 ; 3 ; 8)$, C$(-3 ; 5 ; 4)$ et D(1 ; 2 ; 3).
On note $\mathscr{D}$ la droite ayant pour représentation paramétrique
$\left\{\begin{array}{l c l} x&=&t + 1\\ y &=& 2t - 1\\ z &=& 3t+2 \end{array}\right., t \in \mathbb{R}$ et $\mathscr{D}'$ la droite ayant pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x&=& k + 1\\ y &=& k + 3\\ z &=&-k + 4 \end{array}\right., k \in \mathbb{R}$.
On note $\mathscr{P}$ le plan d'équation $x + y - z + 2 = 0$.

Question 1 :

Proposition $\text{a. } $ Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ sont parallèles.
Proposition $\text{b. } $ Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ sont coplanaires.

Proposition $\text{c. } $ Le point C appartient à la droite $\mathscr{D}$.
Proposition $\text{d. } $Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ sont orthogonales.



Question 1 : Réponse d

Un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ est $\vec{u}(1;2;3)$.

Un vecteur directeur de $\mathscr{D}’$ est $\vec{v}(1;1;-1)$.

Donc $\vec{u}.\vec{v} = 1 \times 1 + 2\times 1 + 3\times (-1) = 1 + 2 – 3 = 0$

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Question 2 :

Proposition $\text{a. } $ Le plan $\mathscr{P}$ contient la droite $\mathscr{D}$ et est parallèle à la droite $\mathscr{D}'$.

Proposition $\text{b. }$ Le plan $\mathscr{P}$ contient la droite $\mathscr{D}'$ et est parallèle à la droite $\mathscr{D}$.

Proposition $\text{c. } $ Le plan $\mathscr{P}$ contient la droite $\mathscr{D}$ et est orthogonal à la droite $\mathscr{D}'$.

Proposition $\text{d. } $ Le plan $\mathscr{P}$ contient les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$.

Question 2 : Réponse c

 

Vérifions que la droite $\mathscr{D}$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}$ :

$(t+1)+(2t-1)-(3t+2)+2 = t+1+2t-1-3t-2+2=0$.

Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\vec{n}(1;1;-1) = \vec{v}$

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Question 3 :

Proposition $\text{a. } $ Les points A, D et C sont alignés.

Proposition $\text{b. }$ Le triangle ABC est rectangle en A.

Proposition $\text{c. }$ Le triangle ABC est équilatéral.

Proposition $ \text{d. }$ Le point D est le milieu du segment [AB].

Question 3 : Réponse c

 

$\vec{AB}(2;4;6)$ donc $AB = \sqrt{2^2+4^2+6^2} = \sqrt{56}$

$\vec{AC}(-4;6;2)$ donc $AC = \sqrt{(-2)^2+6^2+2^2} = \sqrt{56}$

$\vec{BC}(-6;2;-4)$ donc $BC = \sqrt{(-6)^2+2^2+(-4)^2} = \sqrt{56}$

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Question 4 : On note $\mathscr{P}'$ le plan contenant la droite $\mathscr{D}'$ et le point A. Un vecteur normal à ce plan est :

Proposition $\text{a. }$  $\vec{n}(-1 ; 5 ; 4)$

Proposition $\text{b. }$ $\vec{n}(3 ; -1 ; 2)$

Proposition $\text{c. } $ $\vec{n}(1 ; 2 ; 3)$

Proposition $\text{d. }$ $\vec{n}(1 ; 1 ; -1)$

 

Question 4 : Réponse b

Le point $E(1;3;4)$ appartient à $\mathscr{D}’$ donc $\vec{AE}(0;4;2)$.

$\vec{v}$ et $\vec{AE}$ ne sont pas colinéaires. Ils définissent donc une base de $\mathscr{P}’$.

Si on considère le vecteur $\vec{n}(3;-1;2)$ alors $\vec{n}.\vec{v} = 0$ et $\vec{n}.\vec{AE} = 0$

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