Baccalauréat S Liban 28 mai 2013

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Exercice 3 6 points


Commun à tous les candidats

Étant donné un nombre réel $k$, on considère la fonction $f_{k}$ définie sur $\mathbb{R}$ par
\[f_{k}(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- kx}}.\] Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$.
Partie A

Dans cette partie on choisit $k = 1$. On a donc, pour tout réel $x,f_{1}(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- x}}$. La représentation graphique $\mathscr{C}_{1}$ de la fonction $f_{1}$ dans le repère $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$ est donnée en ANNEXE, à rendre avec la copie.

    1. Déterminer les limites de $f_{1}(x)$ en $+ \infty$ et en $- \infty$ et interpréter graphiquement les résultats obtenus.
    2. Démontrer que, pour tout réel $x, f_{1}(x) = \dfrac{\text{e}^{x}}{1 + \text{e}^{x}}$.
    3. On appelle $f'_{1}$ la fonction dérivée de $f_{1}$ sur $\mathbb{R}$. Calculer, pour tout réel $x,\: f'_{1}(x)$.
      En déduire les variations de la fonction $f_{1}$ sur $\mathbb{R}$.
    4. On définit le nombre $I = \displaystyle\int_{0}^1 f_{1}(x)\:\text{d}x$.

 

    Montrer que $I = \ln \left(\dfrac{1 + \text{e}}{2}\right)$. Donner une interprétation graphique de $I$.

Partie B
Dans cette partie, on choisit $k = - 1$ et on souhaite tracer la courbe $\mathscr{C}_{- 1}$ représentant la fonction $f_{- 1}$.
Pour tout réel $x$, on appelle $P$ le point de $\mathscr{C}_{1}$ d'abscisse $x$ et $M $ le point de $\mathscr{C}_{- 1}$ d'abscisse $x$. On note $K$ le milieu du segment $[MP]$.

  1. Montrer que, pour tout réel $x,\: f_{1}(x) + f_{- 1}(x) = 1$.
  2. En déduire que le point $K$ appartient à la droite d'équation $y = \dfrac{1}{2}$.
  3. Tracer la courbe $\mathscr{C}_{- 1}$ sur l'ANNEXE, à rendre avec la copie.
  4. En déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par les courbes $\mathscr{C}_{1}$, $\mathscr{C}_{- 1}$ l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$.


  Partie C
Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètre $k$. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

  1. Quelle que soit la valeur du nombre réel $k$, la représentation graphique de la fonction $f_{k}$ est strictement comprise entre les droites d'équations $y = 0$ et $y = 1$.
  2. Quelle que soit la valeur du réel $k$, la fonction $f_{k}$ est strictement croissante.
  3. Pour tout réel $k \geqslant 10,\: f_{k}\left(\dfrac{1}{2}\right) \geqslant 0,99$.

 Annexe

 

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