Baccalauréat S Liban 28 mai 2013

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Exercice 45 points 


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 3,\: u_{1} = 8$ et, pour tout $n$ supérieur ou égal à 0 :
\[ u_{n + 2} = 5u_{n+1} - 6u_{n}.\]

    1. Calculer $u_{2}$ et $u_{3}$.
    2. Pour tout entier naturel $n \geqslant 2$, on souhaite calculer $u_{n}$ à l'aide de l'algorithme suivant :
      $$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :} &a, b \text{ et } c \text{ sont des nombres réels }\\ &i \text{ et } n \text{ sont des nombres entiers naturels supérieurs ou égaux à 2 } \\ \text{Initialisation :} &a \text{ prend la valeur 3 }\\ &b \text{ prend la valeur 8 }\\ \text{Traitement :} &\text{ Saisir } n\\ &\text{ Pour } i \text{ variant de 2 à n faire}\\ &\hspace{0.4cm}\begin{array}{|l} c \text{ prend la valeur } a\\ a \text{ prend la valeur } b\\ b \text{ prend la valeur } \ldots\\ \end{array} \\ &\text{Fin Pour}\\ \text{Sortie :} &\text{Afficher } b\\ \hline \end{array}$$

 

      1. Recopier la ligne de cet algorithme comportant des pointillés et les compléter.
      2. On obtient avec cet algorithme le tableau de valeurs suivant:



        $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 7 &8 &9 &10 &11 &12 &13 &14 &15\\ \hline u_{n}&4502 &13378 &39878 &119122 &356342 &1066978 &3196838 &9582322 &28730582\\ \hline \end{array}$$

 

    1. Quelle conjecture peut-on émettre concernant la monotonie de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
  1. Pour tout entier naturel $n$, on note $C_{n}$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_{n}\end{pmatrix}$. On note $A$ la matrice carrée d'ordre 2 telle que, pour tout entier naturel $n$,
    $C_{n+1} = AC_{n}$.
    Déterminer $A$ et prouver que, pour tout entier naturel $n,\: C_{n} = A^nC_{0}$.
  2. Soient $P = \begin{pmatrix}2&3\\1&1 \end{pmatrix},\: D = \begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix}- 1&3\\1&- 2 \end{pmatrix}$.
    Calculer $QP$. On admet que $A = PDQ$. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n,\: A^n = PD^nQ$.
  3. À l'aide des questions précédentes, on peut établir le résultat suivant, que l'on admet. Pour tout entier naturel non nul $n$,
    \[A^n = \begin{pmatrix}- 2^{n+1} +3^{n+1}& 3\times 2^{n+1} - 2\times 3^{n+1}\\ - 2^n +3^n& 3 \times 2^n - 2 \times 3^n \end{pmatrix}.\] En déduire une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
    La suite $\left(u_{n}\right)$ a-t-elle une limite ?
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