Baccalauréat S Liban 28 mai 2013

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Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité

On considère la suite numérique $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par
$\left\{\begin{array}{l c l} v_{0} &=& 1\\ v_{n + 1}&=& \dfrac{9}{6 - v_{n}} \end{array}\right.$
Partie A

    1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel $n$ donné, tous les termes de la suite, du rang $0$ au rang $n$. Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse. $$\begin{array}{|c|c|c||c|c|c|}\hline \text{Algorithme No 1} &&\text{Algorithme No 2}&&\text{Algorithme No 3} \\\hline \text{Variables :} && \text{Variables :}& & \text{Variables :} \\ v \;\text{est un réel}&&v \;\text{est un réel}&& v \;\text{est un réel}\\ i \text{ et } n \;\text{sont des entiers naturels}&& i \;\text{ et } n \; \text{sont des entiers naturels}&& i \text{ et } n \;\text{sont des entiers naturels}\\  &&&&\\ \text{Début de l'algorithme :}&&\text{Début de l'algorithme :}&& \text{Début de l'algorithme :}\\ \text{Lire } n&&\text{Lire } n&&\text{Lire } n\\ v \text{ prend la valeur } 1&&\text{Pour } i \text{ variant de 1 à } n \text{ faire }&& v\; \text{ prend la valeur } \;1\\ \text{Pour } i \text{ variant de 1 à } n \text{ faire }&&v\; \text{ prend la valeur } \;1&&\text{Pour } i \text{ variant de 1 à } n \text{ faire }\\ \hspace{0.2cm} v \;\text{ prend la valeur } \dfrac{9}{6 - v}&&\hspace{0.2cm}\text{ Afficher } v&& \hspace{0.2cm}\text{ Afficher } v\\ \text{ Fin pour } &&v \text{ prend la valeur } \dfrac{9}{6 - v}&&v \text{ prend la valeur } \dfrac{9}{6 - v}\\ \text{ Afficher } v&& \text{ Fin pour }&&\text{Fin pour }\\ &&&&\text{Afficher } v\\ \text{Fin algorithme}&&\text{Fin algorithme}&&\text{Fin algorithme}\\ \hline \end{array} $$ Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(v_{n}\right)$ ?
    2. La suite $(v_n)$ est définie par récurrence. Il faut donc, qu’à chaque étape de calcul, la variable $v$ prenne la valeur $\dfrac{9}{6-v}$ et qu’on affiche cette valeur. L’affichage doit donc avoir lieu avant la fin de la boucle « pour » : on rejette donc l’algorithme $1$.

 

      $~$

 

      Dans l’algorithme $2$, la variable $v$ est, à chaque tout, initialisée à $1$ : on rejette donc cet algorithme.

 

      $~$

 

Il ne reste donc que l’algorithme $3$.

 

      1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < v_{n} < 3$.
          • Initialisation : $v_0 = 1$ donc $0 < v_0 < 3$
            La propriété est vraie au rang $0$.

          • Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ :
            $$\begin{array}{ll} 0 < v_n < 3 & \Leftrightarrow -3 < -v_n < 0 \\ & \Leftrightarrow 3 < 6 – v_n < 6 \\\\
            & \Leftrightarrow \dfrac{1}{6} \le \dfrac{1}{6 – v_n} \le \dfrac{1}{3} \\ & \dfrac{9}{6} \le v_{n+1} \le \dfrac{9}{3} \end{array}$$
            Donc $0 \le v_{n+1} \le 3$.
            La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

        • Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang $n+1$.
          $~$
          Par conséquent, pour tout entier $n$, $0 < v_n < 3$.
          $~$
      2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{\left(3 - v_{n} \right)^2}{6 - v_{n}}$. La suite $\left(v_{n}\right)$ est-elle monotone ?
      3. $$\begin{array}{ll} v_{n+1} – v_n &= \dfrac{9}{6 – v_n} – v_n \\ &= \dfrac{9 – 6v_n + v_n^2}{6-v_n} \\ &=\dfrac{(3-v_n)^2}{6-v_n} \end{array}$$

        On sait que $0<v_n<3$ donc $6-v_n > 0$.

        Par conséquent $v_{n+1}-v_n > 0$ et la suite $(v_n)$ est croissante.

        $~$

    1. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente.
    2. La suite $(v_n)$ est croissante et majorée par $3$. Elle est donc convergente.

Partie B Recherche de la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$


On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ définie pour tout $n$ entier naturel par
\[w_{n} = \dfrac{1}{v_{n} - 3}.\]

    1. Démontrer que $\left(w_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $- \dfrac{1}{3}$
    2. $$\begin{array} {ll}w_{n+1}& = \dfrac{1}{v_{n+1} – 3} \\ & =\dfrac{1}{\dfrac{9}{6-v_n}-3} \\ &= \dfrac{6-v_n}{9-18+3v_n} \\ &=\dfrac{6-v_n}{-9+3v_n} \end{array}$$

 

      $$\begin{array}{ll} w_n-\dfrac{1}{3} &= \dfrac{1}{v_n-3} – \dfrac{1}{3} \\ &=\dfrac{3-(v_n-3)}{3(v_n-3)} \\ &=\dfrac{6-v_n}{3v_n-9} = w_{n+1} \end{array} $$

 

La suite $(w_n)$ est donc bien arithmétique de raison $- \dfrac{1}{3}$

 

      $~$
    1. En déduire l'expression de $\left(w_{n}\right)$, puis celle de $\left(v_{n}\right)$ en fonction de $n$.
    2. La suite $(w_n)$ est donc bien arithmétique de raison $- \dfrac{1}{3}$

 

      $~$, on a donc $w_n=w_0+nr$; or $w_0=\dfrac{1}{v_0-3}=\dfrac{1}{1-3}=-\dfrac{1}{2}$ $$w_n=-\dfrac{1}{2}+n\times \left(- \dfrac{1}{3}\right)=- \dfrac{1}{3}n-\dfrac{1}{2}$$ On a $$\begin{array} {ll}w_{n} = \dfrac{1}{v_{n} - 3}&\Leftrightarrow v_n-3 = \dfrac{1}{w_{n}} \\ & \Leftrightarrow v_n = 3+\dfrac{1}{w_{n}} \\ &\Leftrightarrow v_n = 3+\dfrac{1}{- \dfrac{1}{3}n-\dfrac{1}{2}} \\ \end{array}$$
$$ v_n = 3+\dfrac{1}{- \dfrac{1}{3}n-\dfrac{1}{2}}$$
    1. Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$.

$\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{n \to +\infty}~- \dfrac{1}{3}n-\dfrac{1}{2}=-\infty\\ \lim\limits_{t \to -\infty}~\dfrac{1}{t}=0 \end{array}\right\}$ par composée on obtient: $\lim\limits_{n \to +\infty}~\dfrac{1}{- \dfrac{1}{3}n-\dfrac{1}{2}}=0$ 

On déduit donc $$\lim\limits_{n \to +\infty}v_n=3$$

 

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