Baccalauréat S Amérique du Sud 21 novembre 2013

Exercice 1 6 points


Commun à tous les candidats

Partie A
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
\[f(x) = x \text{e}^{1-x}.\]

  1. Vérifier que pour tout réel $x,\: f(x)= \text{e} \times \dfrac{x}{\text{e}^x}$.
  2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
  3. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement cette limite.
  4. Déterminer la dérivée de la fonction $f$.
  5. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ puis dresser le tableau de variation.


Partie B
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère les fonctions $g_{n}$ et $h_{n}$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
\[g_{n}(x) = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n \quad \text{et}\quad h_{n}(x) = 1 + 2x + \cdots + nx^{n-1}.\]

  1. Vérifier que, pour tout réel $x :\: (1 - x)g_{n}(x) = 1 - x^{n+1}$.
    On obtient alors, pour tout réel $x \neq 1 :\:\: g_{n}(x) = \dfrac{1 - x^{n+1}}{1 - x}$.
  2. Comparer les fonctions $h_{n}$ et $g'_{n}$, $g'_{n}$ étant la dérivée de la fonction $g_{n}$. En déduire que, pour tout réel $x \neq 1 :\: h_{n}(x) = \dfrac{nx^{n+1} -(n+1)x^n + 1}{(1-x)^2}$.
  3. Soit $S_{n} = f(1) + f(2) + ... + f(n)$, $f$ étant la fonction définie dans la partie A. En utilisant les résultats de la  partie B , déterminer une expression de $S_{n}$ puis sa limite quand $n$ tend vers $+ \infty$.

 

 


Partie A
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
\[f(x) = x \text{e}^{1-x}.\]

    1. Vérifier que pour tout réel $x,\: f(x)= \text{e} \times \dfrac{x}{\text{e}^x}$.
    2. $f(x)=x\text{e}^{1-x} = x\text{e} \times \text{e}^{-x} = x\text{e} \times \dfrac{1}{\text{e}^x} = \text{e} \times \dfrac{x}{\text{e}}$
    3. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
    4. $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{1}{\text{e}^x} = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{x}{\text{e}^x} = -\infty$ et $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)=-\infty$
    5. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement cette limite.
    6. $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{x}{\text{e}^x} = 0^+$ et $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = 0^+$

 

      Comme $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = 0^+$, on déduit que la droite d'équation $y=0$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $+\infty$.
    1. Déterminer la dérivée de la fonction $f$.
    2. $f$ est un produit de fonctions dérivables sur $\mathbb R$, par conséquent $f$ est dérivable sur $\mathbb R$.

 

    $f'(x) = \text{e}^{1-x} – x\text{e}^{1-x} = (1-x)\text{e}^{1-x}$
  1. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ puis dresser le tableau de variation.
  2. La fonction exponentielle étant toujours positive, le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que du signe de $1-x$.


Partie B
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère les fonctions $g_{n}$ et $h_{n}$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
\[g_{n}(x) = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n \quad \text{et}\quad h_{n}(x) = 1 + 2x + \cdots + nx^{n-1}.\]

    1. Vérifier que, pour tout réel $x :\: (1 - x)g_{n}(x) = 1 - x^{n+1}$.
      On obtient alors, pour tout réel $x \neq 1 :\:\: g_{n}(x) = \dfrac{1 - x^{n+1}}{1 - x}$.
    2. $(1-x)g_n(x) = 1 +x + x^2 + \ldots+x^n – (x + x^2 + x^3+ \ldots + x^n+x^{n+1}) = 1-x^{n+1}$ (ce sont des sommes télescopiques).
    3. Comparer les fonctions $h_{n}$ et $g'_{n}$, $g'_{n}$ étant la dérivée de la fonction $g_{n}$. En déduire que, pour tout réel $x \neq 1 :\: h_{n}(x) = \dfrac{nx^{n+1} -(n+1)x^n + 1}{(1-x)^2}$.
    4. $ g’_n(x) = 0 + 1 + 2x + 3x^2 + \ldots + nx^{n-1} = h_n(x)$

 

      Or $g’_n(x) = \dfrac{-(n+1)x^n(1-x)+(1-x^{n+1})}{(1-x)^2}$.

 

      Donc $h_n(x) = \dfrac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(1-x)^2}$
    1. Soit $S_{n} = f(1) + f(2) + ... + f(n)$, $f$ étant la fonction définie dans la partie A. En utilisant les résultats de la partie B , déterminer une expression de $S_{n}$ puis sa limite quand $n$ tend vers $+ \infty$.
    2. $S_n = 1 + 2\text{e}^{-1} + 3\text{e}^{-2}+ \ldots + n\text{e}^{1-n}$

 

      $S_n = h_n(\text{e}^{-1}) = \dfrac{n\text{e}^{-n-1}-(n+1)\text{e}^{-n}+1}{(1-\text{e}^{-1})^2}$

 

      $S_n= \dfrac{\dfrac{n}{\text{e}^{n+1}} – \dfrac{n+1}{\text{e}^{n}}+1}{(1-\text{e}^{-1})^2}$

 

    $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{n}{\text{e}^n} = 0$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{n+1}{\text{e}^n} = 0$ par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} S_n = \dfrac{1}{(1-\text{e}^{-1})^2}$

 


Exercice 2 4 points


Commun à tous les candidats

On considère le cube ABCDEFGH, d'arête de longueur 1, représenté ci-dessous et on munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A} ; \vec{\text{AB}}, \vec{\text{AD}}, \vec{\text{AE}}\right)$.
Amerique du Sud Novembre 2013 cube

  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FD).
  2. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\- 1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (BGE) et déterminer une équation du plan (BGE).
  3. Montrer que la droite (FD) est perpendiculaire au plan (BGE) en un point K de coordonnées K$\left(\frac{2}{3} ; \frac{1}{3} ; \frac{2}{3}\right)$.
  4. Quelle est la nature du triangle BEG ? Déterminer son aire.
  5. En déduire le volume du tétraèdre BEGD.

 

 


Exercice 2 4 points


Commun à tous les candidats

On considère le cube ABCDEFGH, d'arête de longueur 1, représenté ci-dessous et on munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A} ; \vec{\text{AB}}, \vec{\text{AD}}, \vec{\text{AE}}\right)$.
Amerique du Sud Novembre 2013 cube

    1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FD).
    2. $F(1;0;1)$ et $D(0;1;0)$ donc $\vec{FD}(-1;1;-1)$.

 

      Une représentation paramétrique de $(FD)$ est donc $\left\{ \begin{array}{l} x=1-t \\\\y=t\qquad \\\\z=1-t \end{array} \right.$
    1. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\- 1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (BGE) et déterminer une équation du plan (BGE).
    2. $B(1;0;0)$, $E(0;0;1)$ et $G(1;1;1)$

 

      Donc $\vec{BG}(0;1;1)$ et $\vec{BE}(-1;0;1)$.

 

      Ces $2$ vecteurs ne sont pas colinéaires.

 

      $\vec{n}.\vec{BG} = 0 – 1 + 1 = 0$ et $\vec{n}.\vec{BE} = -1 + 0 + 1 = 0$.

 

      Par conséquent, $\vec{n}$ est orthogonal à $2$ vecteurs non colinéaires du plan $(BGE)$.

 

      Il est donc orthogonal au plan.

 

      Une équation du plan $(BGE)$ est donc de la forme $x-y+z+d=0$.

 

      $B$ vérifie cette équation. Par conséquent $1+d=0$ et $d=-1$.

 

      Une équation cartésienne de $(BGE)$ est donc $x-y+z-1=0$.
    1. Montrer que la droite (FD) est perpendiculaire au plan (BGE) en un point K de coordonnées K$\left(\frac{2}{3} ; \frac{1}{3} ; \frac{2}{3}\right)$.
    2. $\vec{n}=-\vec{FD}$ par conséquent $\vec{FD}$ est orthogonal au plan $(BGE)$ et la droite $(FD)$ est perpendiculaire au plan $(BGE)$.

 

      Recherchons les coordonnées du point d’intersection. Celles-ci vérifient le système d’équations de $(FD)$ ainsi que l’équation de $(BGE)$.

 

      Donc $1-t-t+1-t-1=0$ soit $t=\dfrac{1}{3}$.

 

      On obtient donc $x= \dfrac{2}{3}, y = \dfrac{1}{3}$ et $z = \dfrac{2}{3}$.

 

      $K$ est donc bien le point d’intersection de $(FD)$ et de $(BGE)$.
    1. Quelle est la nature du triangle BEG ? Déterminer son aire.
    2. $[BG]$ , $[BE]$ et $[EG]$ sont des diagonales de carrés de côté $1$.

 

      Par conséquent $BG = BE = EG = \sqrt{2}$. Le triangle $BEG$ est donc équilatéral.

 

      Soit $I$ le milieu de $[BE]$ alors, d’après le théorème de Pythagore appliqué dans le triangle rectangle (les médianes sont aussi hauteurs, médiatrices et bissectrices dans un triangle équilatéral) $BGI$ on obtient $GI = \sqrt{\dfrac{3}{2}}$.

 

      L’aire du triangle est donc $\mathcal{A} = \dfrac{BE \times GI}{2} = \dfrac{\sqrt{2} \times \sqrt{\dfrac{3}{2}}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    1. En déduire le volume du tétraèdre BEGD.
    2. Le volume du tétraèdre est $\mathcal{V} = \dfrac{\mathcal{A} \times DK}{3}$.

 

      Or $DK = \sqrt{\dfrac{4}{9} + \dfrac{4}{9} + \dfrac{4}{9}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$.

 

    Donc $\mathcal{V} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{2}{\sqrt{3}}}{3} = \dfrac{1}{3}$

 

 


Exercice 3 5 points


Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près.
Partie A
En utilisant sa base de données, la sécurité sociale estime que la proportion de Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme est de 10 %. L'étude a également permis de prouver que 30 % des Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme, seront victimes d'un accident cardiaque au cours de leur vie alors que cette proportion n'atteint plus que 8 % pour ceux qui ne souffrent pas de cette malformation congénitale.
On choisit au hasard une personne dans la population française et on considère les évènements : $M$ : «La personne présente, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme »
$C$ : «La personne est victime d'un accident cardiaque au cours de sa vie ».

    1. Montrer que $P(M \cap C) = 0,03$.
    2. Calculer $P(C)$.
  1. On choisit au hasard une victime d'un accident cardiaque. Quelle est la probabilité qu'elle présente une malformation cardiaque de type anévrisme ?


Partie B
La sécurité sociale décide de lancer une enquête de santé publique, sur ce problème de malformation cardiaque de type anévrisme, sur un échantillon de $400$ personnes, prises au hasard dans la population française. On note $X$ la variable aléatoire comptabilisant le nombre de personnes de l'échantillon présentant une malformation cardiaque de type anévrisme.

  1. Définir la loi de la variable aléatoire $X$.
  2. Déterminer $P(X = 35)$.
  3. Déterminer la probabilité que $30$ personnes de ce groupe, au moins, présentent une malformation cardiaque de type anévrisme.

Partie C

  1. On considère la variable aléatoire $F$, définie par $F = \dfrac{X}{400}, X$ étant la variable aléatoire de la Partie B . Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire $F$ au seuil de $95$ %.
  2. Dans l'échantillon considéré, $60$ personnes présentent une malformation cardiaque de type anévrisme. Qu'en pensez-vous?

Exercice 3 5 points


Commun à tous les candidats Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près.
Partie A

En utilisant sa base de données, la sécurité sociale estime que la proportion de Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme est de 10%.

L'étude a également permis de prouver que 30% des Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme, seront victimes d'un accident cardiaque au cours de leur vie alors que cette proportion n'atteint plus que 8% pour ceux qui ne souffrent pas de cette malformation congénitale.
On choisit au hasard une personne dans la population française et on considère les évènements :
$M$ : « La personne présente, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme »
$C$ : « La personne est victime d'un accident cardiaque au cours de sa vie ».

        1. Faire un arbre pondéré modélisant la situation.

        1. Montrer que $P(M \cap C) = 0,03$.
        2. $$\begin{array}{ll}P(M \cap C)& =P(M)\times P_M(C)\\ &=0,1\times 0,3\\&=0,03\end{array}$$
      $$P(M \cap C) = 0,03$$
        1. Calculer $P(C)$.
        2. On utilise la partition $\Omega =M\cup \overline{M}$

          on a donc $C =(M\cap C)\cup (\overline{M}\cap C)$ $$\begin{array}{lll}P( C)& =P(M\cap C)+P(\overline{M}\cap C)&\text{ car cette union est disjointe }\\ &= P(M)\times P_M(C)+P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(C)&\\ &=0,1\times 0,3+ 0,9\times 0,08&\\&=0,102&\end{array}$$
      $$P( C) = 0,102$$
    1. On choisit au hasard une victime d'un accident cardiaque. Quelle est la probabilité qu'elle présente une malformation cardiaque de type anévrisme ?
    2. Ici $C$ est réalisé , on veut donc calculer la probabilité conditionnelle $P_C(M)$ $$\begin{array}{lll}P_C(M) & =\dfrac{P(M\cap C)}{P( C)}&\text{ d'après la définition des probabilités conditionnelles. }\\ &=\dfrac{0,03}{0,102}&\\ &=\dfrac{30}{ 102}= \dfrac{5}{ 17}&\end{array}$$
$$P_C(M) = \dfrac{5}{ 17}$$

Partie B
La sécurité sociale décide de lancer une enquête de santé publique, sur ce problème de malformation cardiaque de type anévrisme, sur un échantillon de $400$ personnes, prises au hasard dans la population française. On note $X$ la variable aléatoire comptabilisant le nombre de personnes de l'échantillon présentant une malformation cardiaque de type anévrisme.

    1. Définir la loi de la variable aléatoire $X$.
    2. On répète $400$  fois, de façon indépendante, l’expérience «on choisit une personne au hasard dans la population française » qui comporte 2 issues :

      • « cette personne présente une malformation cardiaque de type anévrisme » considéré comme succès, de probabilité $p=0,1$
      • « cette personne ne présente pas une malformation cardiaque de type anévrisme » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=0,9$

      Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $X$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $400$  et $0,1$ notée $\mathscr{B}(400;0,1)$ .

      Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq 400$, on a $$P(X=k)=\binom{400}{k}\times \left(0,1\right)^k\times\left( 0,9\right)^{400-k}$$

    3. Déterminer $P(X = 35)$ et en donner une interprétation.
    4. 2ND DISTR 0binomFdP( 400 , 0.1,35)EXE
      Avec une calculatrice de type TI $binomFdP(400,0.1,35) \approx 0.0491$

      $$P( X = 35)\approx 0.0491 \text{ à } 10^{-4} \text{ près.}$$
Ayant $ P( X=35)\approx 0,0491$ signifie que la probabilité d'avoir, sur un échantillon de $400$ personnes, prises au hasard dans la population française, exactement 35 personnes de l'échantillon présentant une malformation cardiaque de type anévrisme. française est environ 0,0491.
    1. Déterminer la probabilité que $30$ personnes de ce groupe, au moins, présentent une malformation cardiaque de type anévrisme.
    2. On veut calculer ici $P(X\geq 30) = 1 -P(X\leq 29)$

       

      2ND DISTR AbinomFRép( 400 , 0.1,29)EXE
      Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(400,0.1,29) \approx 0.0357$$

      $$P( X \leq 29)\approx 0.0357 \text{ à } 10^{-4} \text{ près.}$$
Ayant $ P( X\geq 30 )\approx 0,9643$ signifie que la probabilité d'avoir, sur un échantillon de $400$ personnes, prises au hasard dans la population française, au moins 30 personnes de l'échantillon présentant une malformation cardiaque de type anévrisme est environ 0,9643.

Partie C

    1. On considère la variable aléatoire $F$, définie par $F = \dfrac{X}{400}, X$ étant la variable aléatoire de la Partie B . Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire $F$ au seuil de $95$ %.
    2. La proportion $p$ est égale à  $0,1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $400.$
      Comme  $ n =400$ ,   $n \times p  $=40  et $n\times (1-p)=360,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

      En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


      L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{400} = \left[0,1 - 1,96\sqrt{\dfrac{0,1\times 0,9}{400}}~;~0,1 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,1\times 0,9}{400}} \right]$$ 

      L’intervalle de fluctuation asymptotique de $F$ est donc :

 

      $$I_{400} = \left[ 0,1 – 1,96\dfrac{\sqrt{0,1 \times 0,9}}{\sqrt{400}} ; 0,1 + 1,96\dfrac{\sqrt{0,1 \times 0,9}}{\sqrt{400}} \right] = [0,0706;0,1294]$$
    1. Dans l'échantillon considéré, $60$ personnes présentent une malformation cardiaque de type anévrisme. Qu'en pensez-vous?
    2. La fréquence observée est donc de $\dfrac{60}{400} = 0,15 \notin I_{400}$.

 

    Le nombre de personnes présentant une malformation cardiaque de type anévrisme est donc anormalement élevé.

 


Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère l'équation
\[(E) :\quad z^2 - 2z\sqrt{3} + 4 = 0.\]

    1. Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes.
    2. On considère la suite $\left(M_{n}\right)$ des points d'affixes $z_{n} = 2^n \text{e}^{\text{i}(- 1)^n\frac{\pi}{6}}$, définie pour $n \geqslant 1$.
      1. Vérifier que $z_{1}$ est une solution de $(E)$.
      2. Écrire $z_{2}$ et $z_{3}$ sous forme algébrique.
      3. Placer les points $M_{1},\: M_{2},\: M_{3}$ et $M_{4}$ sur la figure donnée en annexe et tracer, sur la figure donnée en annexe, les segments $\left[M_{1}, M_{2}\right],\: \left[M_{2}, M_{3}\right]$ et $\left[M_{3}, M_{4}\right]$.
    3. Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$,  $z_{n} = 2^n \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{(- 1)^n \text{i}}{2}\right)$.
    4. Calculer les longueurs $M_{1}M_{2}$ et $M_{2}M_{3}$.

 

    Pour la suite de l'exercice, on admet que, pour tout entier $n \geqslant 1$, $M_{n}M_{n+1} = 2^n \sqrt{3}$.
  1. On note $\ell_n = M_{1}M_{2} + M_{2}M_{3} + \cdots + M_{n}M_{n+1}$.
    1. Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1,\; \ell_n = 2\sqrt{3}\left(2^n - 1\right)$.
    2. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $\ell_n \geqslant 1000 $.

 

 


Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère l'équation
\[(E) :\quad z^2 - 2z\sqrt{3} + 4 = 0.\]

    1. Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes.
    2. $z^2-2z\sqrt{3}+4 = 0$.

 

      Son discriminant est $\Delta = 4 \times 3 – 16 = -4 < 0$.

 

      Par conséquent $(E)$ possède $2$ racines complexes :

 

      $$ \dfrac{2\sqrt{3} – 2\text{i}}{2} = \sqrt{3} – \text{i} \quad \text{et} \quad \sqrt{3} + \text{i}$$.
    1. On considère la suite $\left(M_{n}\right)$ des points d'affixes $z_{n} = 2^n \text{e}^{\text{i}(- 1)^n\frac{\pi}{6}}$, définie pour $n \geqslant 1$.
        1. Vérifier que $z_{1}$ est une solution de $(E)$.
        2. $z_1 = 2\text{e}^{-\text{i}\pi /6} = 2 \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} – \dfrac{\text{i}}{2} \right) = \sqrt{3} – \text{i}$. Donc $z_1$ est une solution de $(E)$.

        1. Écrire $z_{2}$ et $z_{3}$ sous forme algébrique.
        2. $z_2 = 4\text{e}^{\text{i}\pi /6} = 4 \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\text{i}}{2} \right) = 2\sqrt{3} + 2\text{i}$ et $z_3 = 8\text{e}^{-\text{i}\pi/6} = 8 \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} – \dfrac{\text{i}}{2} \right) = 4\sqrt{3} – 4\text{i}$

        1. Placer les points $M_{1},\: M_{2},\: M_{3}$ et $M_{4}$ sur la figure donnée en annexe et tracer, sur la figure donnée en annexe, les segments $\left[M_{1}, M_{2}\right],\: \left[M_{2}, M_{3}\right]$ et $\left[M_{3}, M_{4}\right]$.
    2. Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$, $z_{n} = 2^n \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{(- 1)^n \text{i}}{2}\right)$.
    3. $z_n = 2^n \left( \cos \left( (-1)^n \dfrac{\pi}{6} \right) + \text{i} \sin \left((-1)^n\dfrac{\pi}{6} \right) \right) $

 

      $z_n=2^n \left( \cos \left( \dfrac{\pi}{6} \right) + (-1)^n \text{i} \sin \left(\dfrac{\pi}{6} \right) \right) = 2^n \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{(-1)^n\text{i}}{2} \right)$
    1. Calculer les longueurs $M_{1}M_{2}$ et $M_{2}M_{3}$.
    2. $M_1M_2 = |z_2 – z_1| = |\sqrt{3} + 3\text{i}| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

 

      $M_2M_3 = |z_3 – z_2| = |2\sqrt{3} -6\text{i}| = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$

 

    Pour la suite de l'exercice, on admet que, pour tout entier $n \geqslant 1$, $M_{n}M_{n+1} = 2^n \sqrt{3}$.
  1. On note $\ell_n = M_{1}M_{2} + M_{2}M_{3} + \cdots + M_{n}M_{n+1}$.
      1. Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1,\; \ell_n = 2\sqrt{3}\left(2^n - 1\right)$.
      2. On a donc :

        $l_n = \sqrt{3}(2 + 2^2 + \ldots + 2^n) = \sqrt{3}(1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^n – 1) = \sqrt{3} \left(\dfrac{1 – 2^{n+1}}{1 – 2} – 1 \right)$.

        $l_n = \sqrt{3}(2^{n+1} – 2) = 2\sqrt{3}(2^n – 1)$.

      1. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $\ell_n \geqslant 1000 $.
      2. On veut que $l_n \ge 1000 \Leftrightarrow 2^n – 1 \ge \dfrac{1000}{2\sqrt{3}} \Leftrightarrow 2^n \ge \dfrac{\sqrt{3} + 500}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow n \text{ln }2 \ge \text{ln } \dfrac{\sqrt{3} + 500}{\sqrt{3}}$

        donc $n \ge \dfrac{\text{ln } \dfrac{\sqrt{3} +500}{\sqrt{3}}}{\text{ln }2}$.

      Par conséquent le plus petit entier $n$ tel que $l_n \ge 1000$ est $9$.

 


Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le gestionnaire d'un site web, composé de trois pages web numérotées de 1 à 3 et reliées entre elles par des liens hypertextes, désire prévoir la fréquence de connexion sur chacune de ses pages web.
Des études statistiques lui ont permis de s'apercevoir que :

    • Si un internaute est sur la page no 1, alors il ira, soit sur la page no 2 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$, soit sur la page nosup> 3 avec la probabilité $\dfrac{3}{4}$.

 

    • Si un internaute est sur la page no 2, alors, soit il ira sur la page no 1 avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$ soit il restera sur la page no 2 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$, soit il ira sur la page no 3 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$.

 

  • Si un internaute est sur la page no 3, alors, soit il ira sur la page no 1 avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$, soit il ira sur la page no 2 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$,soit il restera sur la page no 3 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$.


Pour tout entier naturel $n$, on définit les évènements et les probabilités suivants :
$A_{n}$ : «Après la $n$-ième navigation, l'internaute est sur la page no 1 » et on note $a_{n} = P\left(A_{n}\right)$.

$B_{n}$ : «Après la $n$-ième navigation, l'internaute est sur la page no 2 » et on note $b_{n} = P\left(B_{n}\right)$.

$C_{n}$ : «Après la $n$-ième navigation, l'internaute est sur la page no 3 » et on note $c_{n} = P\left(C_{n}\right)$.

  1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+1} = \dfrac{1}{2} b_{n} + \dfrac{1}{2}c_{n}$.
    On admet que, de m\^eme, $b_{n+1} = \dfrac{1}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}$ et $c_{n+1} = \dfrac{3}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}$.
    Ainsi :
    \[\left\{\begin{array}{l c l} a_{n+1} &=& \dfrac{1}{2} b_{n} + \dfrac{1}{2}c_{n}\\ b_{n+1} &=& \dfrac{1}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}\\ c_{n+1} &=& \dfrac{3}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n} \end{array}\right.\]
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $U_{n} = \begin{pmatrix} a_{n}\\b_{n}\\c_{n}\end{pmatrix}$.
    $U_{0} = \begin{pmatrix} a_{0}\\b_{0}\\c_{0}\end{pmatrix}$ représente la situation initiale, avec $a_{0} + b_{0} + c_{0} = 1$.
    Montrer que, pour tout entier naturel $n, U_{n+1} = MU_{n}$ où $M$ est une matrice $3 \times 3$ que l'on précisera.
    En déduire que, pour tout entier naturel $n, U_{n} = M^nU_{0}$.
  3. Montrer qu'il existe une seule matrice colonne $U =\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ telle que : $x + y + z = 1$ et $MU = U$.
  4. Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir l'expression de $M^n, n$ étant un entier naturel non nul :
    \[M^n = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} + \frac{\left( \frac{- 1}{2}\right)^n \times 2}{3}&\frac{1}{3} + \frac{\left( \frac{- 1}{2}\right)^n }{- 3}&\frac{1}{3} + \frac{\left(\frac{- 1}{2}\right)^n}{- 3}\\ \frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\ \frac{5}{12} + \frac{\left(-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n\right) \times 2}{3}&\frac{5}{12} + \frac{-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n}{-3}&\frac{5}{12} + \frac{-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n }{- 3} \end{pmatrix}\]
    Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $a_{n},   b_{n}$ et $c_{n}$ en fonction de $n$. En déduire que les suites $\left(a_{n}\right),   \left(b_{n}\right)$ et $\left(c_{n}\right)$ convergent vers des limites que l'on précisera.
  5. Interpréter les résultats obtenus et donner une estimation des pourcentages de fréquentation du site à long terme.

 


Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le gestionnaire d'un site web, composé de trois pages web numérotées de 1 à 3 et reliées entre elles par des liens hypertextes, désire prévoir la fréquence de connexion sur chacune de ses pages web.
Des études statistiques lui ont permis de s'apercevoir que :

    • Si un internaute est sur la page no 1, alors il ira, soit sur la page no 2 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$, soit sur la page nosup> 3 avec la probabilité $\dfrac{3}{4}$.

 

    • Si un internaute est sur la page no 2, alors, soit il ira sur la page no 1 avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$ soit il restera sur la page no 2 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$, soit il ira sur la page no 3 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$.

 

  • Si un internaute est sur la page no 3, alors, soit il ira sur la page no 1 avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$, soit il ira sur la page no 2 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$,soit il restera sur la page no 3 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$.


Pour tout entier naturel $n$, on définit les évènements et les probabilités suivants :
$A_{n}$ : «Après la $n$-ième navigation, l'internaute est sur la page no 1 » et on note $a_{n} = P\left(A_{n}\right)$.

$B_{n}$ : «Après la $n$-ième navigation, l'internaute est sur la page no 2 » et on note $b_{n} = P\left(B_{n}\right)$.

$C_{n}$ : «Après la $n$-ième navigation, l'internaute est sur la page no 3 » et on note $c_{n} = P\left(C_{n}\right)$.

    1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+1} = \dfrac{1}{2} b_{n} + \dfrac{1}{2}c_{n}$.
      On admet que, de m\^eme, $b_{n+1} = \dfrac{1}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}$ et $c_{n+1} = \dfrac{3}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}$.
      Ainsi :
      \[\left\{\begin{array}{l c l} a_{n+1} &=& \dfrac{1}{2} b_{n} + \dfrac{1}{2}c_{n}\\ b_{n+1} &=& \dfrac{1}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}\\ c_{n+1} &=& \dfrac{3}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n} \end{array}\right.\]
    2. Après la $(n+1)$-ème navigation, si l’internaute est la page n°$1$, à la $n$-ième navigation il était donc soit sur la page n° $2$ soit sur la page n°$3$.

 

      Par conséquent $a_{n+1} = \dfrac{1}{2}b_n + \dfrac{1}{2}c_n$
    1. Pour tout entier naturel $n$, on pose $U_{n} = \begin{pmatrix} a_{n}\\b_{n}\\c_{n}\end{pmatrix}$.
      $U_{0} = \begin{pmatrix} a_{0}\\b_{0}\\c_{0}\end{pmatrix}$ représente la situation initiale, avec $a_{0} + b_{0} + c_{0} = 1$.
      Montrer que, pour tout entier naturel $n, U_{n+1} = MU_{n}$ où $M$ est une matrice $3 \times 3$ que l'on précisera.
      En déduire que, pour tout entier naturel $n, U_{n} = M^nU_{0}$.
    2. $U_{n+1} = \left(\begin{array}{l} \dfrac{1}{2}b_n+\dfrac{1}{2}c_n \\\\ \dfrac{1}{4}a_n + \dfrac{1}{4}b_n + \dfrac{1}{4}c_n \\\\ \dfrac{3}{4}a_n + \dfrac{1}{4}b_n + \dfrac{1}{4}c_n \end{array} \right)$

 

      $U_{n+1} = \left( \begin{matrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\\\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\\\ \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{matrix} \right) U_n = M\times U_n$ avec $M = \left( \begin{matrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\\\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\\\ \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{matrix} \right)$

 

      Montrons par récurrence que $U_n = M^nU_0$


Initialisation

      : si $n=0$ alors $U_0 = I U_0$ (où $i$ est la matrice identité).

 

      La propriété est donc vraie au rang $0$.


Hérédité

      : supposons la propriété vraie au rang $n$ : $U_n = M^nU_0$.

 

      $U_{n+1} = MU_n = MM^nU_0 = M^{n+1}U_0$.

 

      La propriété est donc vraie ua rang $n+1$.


Conclusion

      : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.

 

      Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $U_n = M^n U_0$
    1. Montrer qu'il existe une seule matrice colonne $U =\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ telle que : $x + y + z = 1$ et $MU = U$.
    2. Soit $U = \left( \begin{matrix} x\\\\ y \\\\ z \end{matrix} \right)$ telle que $x+y+z = 1$ et $U = MU$.

 

      $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x+y+z=1 \\\\x = \frac{1}{2}y + \frac{1}{2}z \\\\y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}y + \frac{1}{4}z \\\\z = \frac{3}{4}x + \frac{1}{4}y + \frac{1}{4}z \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x+y+z=1 \\\\2x=y+z\\\\4y=x+y+z \\\\4z=3x+y+z\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z=2x-y \\\\x+y+2x-y = 1\\\\x-3y+2x-y=0 \\\\3x+y-3(2x-y)=0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z=2x-y \\\\3x=1\\\\3x-4y=0 \\\\-3x+4y=0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z=2x-y \\\\x=\dfrac{1}{3}\\\\y = \dfrac{1}{4} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{1}{3}\\\\y = \dfrac{1}{4} \\\\ z=\dfrac{5}{12} \end{array} \right.$

 

      Il existe donc une seule matrice $U = \left( \begin{matrix} x\\\\ y \\\\ z \end{matrix} \right)$ telle que $x+y+z = 1$ et $U = MU$.
    1. Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir l'expression de $M^n, n$ étant un entier naturel non nul :
      \[M^n = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} + \frac{\left( \frac{- 1}{2}\right)^n \times 2}{3}&\frac{1}{3} + \frac{\left( \frac{- 1}{2}\right)^n }{- 3}&\frac{1}{3} + \frac{\left(\frac{- 1}{2}\right)^n}{- 3}\\ \frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\ \frac{5}{12} + \frac{\left(-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n\right) \times 2}{3}&\frac{5}{12} + \frac{-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n}{-3}&\frac{5}{12} + \frac{-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n }{- 3} \end{pmatrix}\]
      Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $a_{n}, b_{n}$ et $c_{n}$ en fonction de $n$. En déduire que les suites $\left(a_{n}\right), \left(b_{n}\right)$ et $\left(c_{n}\right)$ convergent vers des limites que l'on précisera.
    2. $\left\{ \begin{array}{l} a_n = \left( \dfrac{1}{3} + \dfrac{\left( \dfrac{-1}{2} \right)^n \times 2}{3} \right) a_0 + \left( \dfrac{1}{3} + \dfrac{\left( \dfrac{-1}{2} \right)^n }{-3} \right) b_0 + \left( \dfrac{1}{3} + \dfrac{\left( \dfrac{-1}{2} \right)^n }{-3} \right) c_0 \\\\ b_n = \dfrac{1}{4} (a_0 + b_0 + c_0) \\\\ c_n = \left( \dfrac{5}{12} + \dfrac{-\left( \dfrac{-1}{2} \right)^n \times 2}{3} \right) a_0 + \left( \dfrac{5}{12} + \dfrac{\left( \dfrac{-1}{2} \right)^n }{-3} \right) b_0 + \left( \dfrac{5}{12} + \dfrac{-\left( \dfrac{-1}{2} \right)^n }{-3} \right) c_0 \end{array} \right.$

 

      $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \left(\dfrac{-1}{2} \right)^n = 0$

 

    Donc $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} a_n = \dfrac{1}{3}$ , $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} b_n = \dfrac{1}{4}$ et $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} c_n = \dfrac{5}{12}$ (car $a_0 + b_0 + c_0 = 1$).
  1. Interpréter les résultats obtenus et donner une estimation des pourcentages de fréquentation du site à long terme.
  2. Au bout d’un certain temps la page $1$ du site sera consultée $33,33 \%$ du temps, la page $2$ sera consultée $25 \%$ du temps et la page $3$ sera consultée $41,67 \%$ du temps.

 


 

Exercice 4 : ANNEXE
À rendre avec la copie
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Amerique du Sud Novembre 2013 Ex3 non spe

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Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 14 novembre 2013

 

Exercice 1  5 points


Commun à tous les candidats

Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$ par
\[f(x) = \text{e}^x + \dfrac{1}{x}.\]

  1. Étude d'une fonction auxiliaire
    1. Soit la fonction $g$ dérivable, définie sur $[0 ;  +\infty[$ par \[g(x) = x^2\text{e}^x - 1.\] Étudier le sens de variation de la fonction $g$.
    2. Démontrer qu'il existe un unique réel $a$ appartenant à $[0 ;  +\infty[$ tel que $g(a) = 0$. Démontrer que $a$ appartient à l'intervalle [0,703 ; 0,704[.
    3. Déterminer le signe de $g(x)$ sur $[0 ;  +\infty[$.
  2. Étude de la fonction h $f$
    1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$.
    2. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$. Démontrer que pour tout réel strictement positif $x,\: f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
    3. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$.
    4. Démontrer que la fonction $f$ admet pour minimum le nombre réel $m = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{a}$.
    5. Justifier que $3,43 < m < 3,45$.

 

 


Exercice 1 5 points


Commun à tous les candidats

Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par
\[f(x) = \text{e}^x + \dfrac{1}{x}.\]

  1. Étude d'une fonction auxiliaire
    1. Soit la fonction $g$ dérivable, définie sur $[0 ; +\infty[$ par \[g(x) = x^2\text{e}^x - 1.\] Étudier le sens de variation de la fonction $g$.
    2. $g'(x) = 2x\text{e}^x + x^2\text{e}^x = x\text{e}^x(2+x)$.
      Par conséquent sur $[0;+\infty[$, $g'(x) \ge 0$ (et ne s’annule qu’en $0$) et $g$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    3. Démontrer qu'il existe un unique réel $a$ appartenant à $[0 ; +\infty[$ tel que $g(a) = 0$. Démontrer que $a$ appartient à l'intervalle [0,703 ; 0,704[.
    4. $g$ est continue et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
      $g(0) = -1$
      $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x^2 = +\infty$ , $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \text{e}^x = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}g(x) = +\infty$.
      D'après le théorème de la bijection :
      • $g $ est une fonction dérivable  donc  continue  sur l' intervalle $I = \left[0 ; +\infty\right[$.
      • $g$ est strictement croissante sur l' intervalle $I = \left[0 ; +\infty\right[$.
      • $g \left(0\right)=-1$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}~g(x)=+\infty$
      $g$ réalise donc une bijection de $\left[0 ; +\infty\right[$ sur $\left[-1;+\infty\right[$
      $0\in \left[-1;+\infty\right[$,
      donc l'équation $g(x) = 0 $ a une racine unique $a$ dans $\left[0 ; +\infty\right[$ .

      Encadrement de $\alpha$ à $10^{-3}$ pès :

      Avec une calculatrice on obtient :

        $g\left(0,703\right)\approx -1,8 \times 10^{-3\$  et  $g\left(\6\right)\approx \7$
      On a donc $g\left(0,703\right)<\8<g\left(\6\right)$, soit $g\left(0,703\right)<g\left(a\right)<g\left(\6\right)$
      comme  $g$  est strictement croissante sur $\left[\9;\10\right]$; on déduit $0,703<a< \6$

      $$0,703<a< \6$$
      |0,704|2 \times 10^\{-3\}|0|0|1}
    5. Déterminer le signe de $g(x)$ sur $[0 ; +\infty[$.
    6. Par conséquent, en utilisant le fait que $g$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$
      $g(x) < 0$ sur $[0;a[$, $g(a) = 0$ et $g(x) > 0$ sur $]a;+\infty[$.
  2. Étude de la fonction h $f$
    1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$.
    2. $\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} \text{e}^x = 1$ et $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} f(x) = +\infty$.
      $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \text{e}^x = +\infty$ et $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$.
    3. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$. Démontrer que pour tout réel strictement positif $x,\: f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
    4. $f$ est une somme de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$; elle est donc également dérivable sur cet intervalle.
      Et $f'(x) = \text{e}^x – \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2 \text{e}^x-1}{x^2} = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
    5. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.
    6. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $g(x)$
    7. Démontrer que la fonction $f$ admet pour minimum le nombre réel $m = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{a}$.
    8. $f$ admet donc un minimum en $a$. Or $g(a) = a^2\text{e}^a-1 = 0$.
      d’où $\text{e}^a = \dfrac{1}{a^2}$.
      $m= f(a) = \text{e}^a + \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a}$.
    9. Justifier que $3,43 < m < 3,45$.
    10. $0,703 < a < 0,704$ donc $\dfrac{1}{0,704} < \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{0,703}$
      On a donc également $\dfrac{1}{0,704^2} < \dfrac{1}{a^2} < \dfrac{1}{0,703^2}$ Soit $\dfrac{1}{0,704} + \dfrac{1}{0,704^2} < m < \dfrac{1}{0,703} + \dfrac{1}{0,703^2}$
      D’où $3,43 < m < 3,45$.

 


Exercice 2 5 points


Commun à tous les candidats


Soient deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par $u_{0} = 2$ et $v_{0} = 10$ et pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+1} = \dfrac{2u_{n} + v_{n}}{3} \quad \text{et}\quad v_{n+1} = \dfrac{u_{n} + 3v_{n}}{4}.\]
PARTIE A
On considère l'algorithme suivant :
$$\begin{array}{ |c|c|}\hline \text{Variables :}& N \text{ est un entier }\\ &U, V, W \text{ sont des réels}\\ &K \text{est un entier } \\ \text{Début :}& \text{ Affecter 0 à } K\\ & \text{ Affecter 2 à } U \\ &\text{ Affecter 10 à } V\\ &\text{ Saisir } N\\ &\text{ Tant que } K < N\\ & \text{ Affecter } K + 1 \text{ à } K\\ & \text{ Affecter } U \text{ à } W\\ & \text{ Affecter } \dfrac{2U+V}{3} \text{ à } U\\ & \text{ Affecter } \dfrac{W+3V}{4} \text{ à } V\\ &\text{ Fin tant que }\\ &\text{Afficher } U \\ &\text{ Afficher } V\\ \text{Fin}&\\ \hline \end{array}$$
PARTIE B

    1. Montrer que pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - u_{n+1} = \dfrac{5}{12} \left(v_{n} - u_{n}\right)$.
    2. Pour tout entier naturel $n$ on pose $w_{n} = v_{n} - u_{n}$. Montrer que pour tout entier naturel $n,\: w_{n} = 8 \left(\dfrac{5}{12} \right)^n$.
    1. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante et que la suite $\left(v_{n}\right)$ est décroissante.
    2. Déduire des résultats des questions 1. b. et 2. a. que pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n} \leqslant 10$ et $v_{n} \geqslant 2$.
    3. En déduire que tes suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes.
  1. Montrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ ont la même limite.
  2. Montrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ définie par $t_{n} = 3u_{n} + 4v_{n}$ est constante. En déduire que la limite commune des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ est $\dfrac{46}{7}$.

 


Exercice 2 5 points


Commun à tous les candidats


Soient deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par $u_{0} = 2$ et $v_{0} = 10$ et pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+1} = \dfrac{2u_{n} + v_{n}}{3} \quad \text{et}\quad v_{n+1} = \dfrac{u_{n} + 3v_{n}}{4}.\]
PARTIE A
On considère l'algorithme suivant :
$$\begin{array}{ |c|c|}\hline \text{Variables :}& N \text{ est un entier }\\ &U, V, W \text{ sont des réels}\\ &K \text{est un entier } \\ \text{Début :}& \text{ Affecter 0 à } K\\ & \text{ Affecter 2 à } U \\ &\text{ Affecter 10 à } V\\ &\text{ Saisir } N\\ &\text{ Tant que } K < N\\ & \text{ Affecter } K + 1 \text{ à } K\\ & \text{ Affecter } U \text{ à } W\\ & \text{ Affecter } \dfrac{2U+V}{3} \text{ à } U\\ & \text{ Affecter } \dfrac{W+3V}{4} \text{ à } V\\ &\text{ Fin tant que }\\ &\text{Afficher } U \\ &\text{ Afficher } V\\ \text{Fin}&\\ \hline \end{array}$$

K W U V
$0$   $2$ $10$
$1$ $2$ $\frac{14}{3}$ $8$
$2$ $\frac{14}{3}$ $\frac{52}{9}$ $\frac{43}{6}$

PARTIE B

 

    1. Montrer que pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - u_{n+1} = \dfrac{5}{12} \left(v_{n} - u_{n}\right)$.
    2. $v_{n+1} – u_{n+1} = \dfrac{u_n+3v_n}{4}-\dfrac{2u_n+v_n}{3} = \dfrac{3u_n+9v_n-8u_n-4v_n}{12}$
      $v_{n+1} – u_{n+1} = \dfrac{-5u_n+5v_n}{12} = \dfrac{5}{12}(v_n-u_n)$
    3. Pour tout entier naturel $n$ on pose $w_{n} = v_{n} - u_{n}$. Montrer que pour tout entier naturel $n,\: w_{n} = 8 \left(\dfrac{5}{12} \right)^n$.
    4. On a donc $w_{n+1} = \dfrac{5}{12}w_n$ et $w_0 = 10 – 2 = 8$.
      $(w_n)$ est donc une suite géoémtrique de raison $\dfrac{5}{12}$ et de premier terme $8$.
      D’où $w_n = 8 \times \left(\dfrac{5}{12} \right)^n$.
    1. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante et que la suite $\left(v_{n}\right)$ est décroissante.
    2. $u_{n+1} – u_n = \dfrac{2u_n+v_n}{3} – u_n = \dfrac{v_n-u_n}{3} = \dfrac{w_n}{3} > 0$.
      La suite $(u_n)$ est donc croissante.
      $v_{n+1} – v_n = \dfrac{u_n+3v_n}{4} – v_n = \dfrac{u_n-v_n}{4} = \dfrac{-w_n}{4} < 0$.
      La suite $(v_n)$ est donc décroissante.
    3. Déduire des résultats des questions 1. b. et 2. a. que pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n} \leqslant 10$ et $v_{n} \geqslant 2$.
    4. On a donc $u_0 <u_1< … < u_n < … <v_n < … < v_1 < v_0$.
      On ne peut pas trouver $2$ indices $n$ et $m$ tels que $u_n > v_m$.
      En effet, si $n < m$ alors $u_m > u_n > v_m$ ce qui est impossible car $v_n – u_n > 0$ pour tout $n$.
      Si $n > m$ alors $u_n > v_m > v_n$ ce qui est encore impossible.
      Donc, pour tout $n$, on a $b_n \ge u_0 = 2$ et $u_n \le v_0 = 10$.
      Remarque : les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dites adjacentes
    5. En déduire que tes suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes.
    6. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée; elle converge donc.
      De même, la suite $(v_n)$ est décroissante et minorée. Elle converge aussi.
  1. Montrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ ont la même limite.
  2. On appelle $U$ et $V$ les limites des suites $(u_n)$ et $(v_n)$.
    On a donc $U = \dfrac{2U+V}{3}$ et $V = \dfrac{U+3V}{4}$.
    D’où $3U=2U+V \Leftrightarrow U = V$.
    Les $2$ suites ont donc bien la même limite $U$.
  3. Montrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ définie par $t_{n} = 3u_{n} + 4v_{n}$ est constante. En déduire que la limite commune des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ est $\dfrac{46}{7}$.
  4. $t_{n+1} = 3u_{n+1} + 4v_{n+1} = 2u_n+v_n+u_n+3v_n = 3u_n+4v_n = t_n$.
    La suite $(t_n)$ est donc constante et, pour tout $n$, on a donc $t_n = t_0 = 3u_0+4v_0=46$.
    En passant à la limite on obtient alors $46 = 3U + 4U$ soit $U = \dfrac{46}{7}$.

 

 


Exercice 3 5 points


Commun à tous les candidats

Tous les résultats numériques devront être donnés sous forme décimale et arrondis au dix-millième.
Une usine fabrique des billes sphériques dont le diamètre est exprimé en millimètres. Une bille est dite hors norme lorsque son diamètre est inférieur à 9 mm ou supérieur à 11 mm.
Partie A

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque bille choisie au hasard dans la production associe son diamètre exprimé en mm. On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $10$ et d'écart-type $0,4$.
    Montrer qu'une valeur approchée à 0,0001 près de la probabilité qu'une bille soit hors norme est 0,0124 . On pourra utiliser la table de valeurs donnée en annexe.
  2. On met en place un contrôle de production tel que 98 % des billes hors norme sont écartés et 99 % des billes correctes sont conservées. On choisit une bille au hasard dans la production. On note $N$ l'évènement : «la bille choisie est aux normes », $A$ l'évènement : «la bille choisie est acceptée à l'issue du contrôle ».
    1. Construire un arbre pondéré qui réunit les données de l'énoncé.
    2. Calculer la probabilité de l'évènement $A$.
    3. Quelle est la probabilité pour qu'une bille acceptée soit hors norme ?

Partie B
Ce contrôle de production se révélant trop coûteux pour l'entreprise, il est abandonné : dorénavant, toutes les billes produites sont donc conservées, et elles sont conditionnées par sacs de 100 billes. On considère que la probabilité qu'une bille soit hors norme est de \np{0,0124}. On admettra que prendre au hasard un sac de $100$ billes revient à effectuer un tirage avec remise de $100$ billes dans l'ensemble des billes fabriquées. On appelle $Y$ la variable aléatoire qui à tout sac de $100$ billes associe le nombre de billes hors norme de ce sac.

  1. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $Y$ ?
  2. Quels sont l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire $Y$ ?
  3. Quelle est la probabilité pour qu'un sac de $100$ billes contienne exactement deux billes hors norme ?
  4. Quelle est la probabilité pour qu'un sac de $100$ billes contienne au plus une bille hors norme ?

Exercice 3 5 points


Commun à tous les candidats

Tous les résultats numériques devront être donnés sous forme décimale et arrondis au dix-millième.
Une usine fabrique des billes sphériques dont le diamètre est exprimé en millimètres. Une bille est dite hors norme lorsque son diamètre est inférieur à 9 mm ou supérieur à 11 mm.
Partie A

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque bille choisie au hasard dans la production associe son diamètre exprimé en mm. On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $10$ et d'écart-type $0,4$.
    Montrer qu'une valeur approchée à 0,0001 près de la probabilité qu'une bille soit hors norme est 0,0124 . On pourra utiliser la table de valeurs donnée en annexe.
    • Avec la table :
      On cherche donc :
      $P\left( (X <9) \cup (X > 11) \right) = P(X < 9) + P(X > 11)$ car les événements sont disjoints.
      $P\left( (X <9) \cup (X > 11) \right) = 0,00620967 + 1 – P(X < 11) = 0,00620967 + 1 – 0,99379034 = 0,01241933$
      $P\left( (X <9) \cup (X > 11) \right) = 0,01241933 \approx 0,0124$.
      Remarque : attention à ne pas confondre les numéros des lignes de calcul avec la valeur de $d$ dans l’annexe !
    • Avec la calculatrice :

      2ND DISTR 2NORMALFRép( -10^(99) , 9,$10$,$0,4$)EXE
      Avec une calculatrice de type TI

      $$NormalFR\text{é}p(-10^{99},9,10,0,4) \approx 0,00620967$$

      $$P( X \leq 9)\approx 0,00620967 \text{ à } 10^{-8} \text{ près.}$$

       

      2ND DISTR 2NORMALFRép( $11$ , $10^{99}$,10,$0,4$)EXE
      Avec une calculatrice de type TI

      $$NormalFR\text{é}p(11,10^{99},10,0,4) \approx 0,00620967$$

      $$P( X \geq 11)\approx 0,00620967 \text{ à } 10^{-8} \text{ près.}$$
      Ainsi $P\left( (X <9) \cup (X > 11) \right) =2\times 0,00620967 = 0,01241933$.
  1. On met en place un contrôle de production tel que 98 % des billes hors norme sont écartés et 99 % des billes correctes sont conservées. On choisit une bille au hasard dans la production. On note $N$ l'évènement : «la bille choisie est aux normes », $A$ l'évènement : «la bille choisie est acceptée à l'issue du contrôle ».
    1. Construire un arbre pondéré qui réunit les données de l'énoncé.
    2. Calculer la probabilité de l'évènement $A$.
    3. $p(A) = p(A \cap N) + p(A \cap \bar{N})$ (d’après la formule des probabilités totales).
      $p(A) = 0,9876 \times 0,99 + 0,0124 \times 0,02 = 0,9780$.
    4. Quelle est la probabilité pour qu'une bille acceptée soit hors norme ?
    5. On cherche $p_A(\bar{N}) = \dfrac{p(A \cap \bar{N})}{p(A} = \dfrac{0,0124 \times 0,02}{0,9780} \approx 3 \times 10^{-4}$.

Partie B
Ce contrôle de production se révélant trop coûteux pour l'entreprise, il est abandonné : dorénavant, toutes les billes produites sont donc conservées, et elles sont conditionnées par sacs de 100 billes. On considère que la probabilité qu'une bille soit hors norme est de 0,0124 . On admettra que prendre au hasard un sac de $100$ billes revient à effectuer un tirage avec remise de $100$ billes dans l'ensemble des billes fabriquées. On appelle $Y$ la variable aléatoire qui à tout sac de $100$ billes associe le nombre de billes hors norme de ce sac.

  1. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $Y$ ?
  2. On répète $100$  fois, de façon indépendante, l’expérience «On tire au hasard une bille dans l'ensemble des billes fabriquées » qui comporte 2 issues :

    • « la bille est hors norme » considéré comme succès, de probabilité $p=0,124$
    • « la bille choisie est aux normes » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p= 0,9876$

    Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $Y$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $100$  et $0,124$ notée $\mathscr{B}(100;0,124)$ .

    Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq 100$, on a $$P(Y=k)=\binom{100}{k}\times \left(0,124\right)^k\times\left( 0,9876\right)^{100-k}$$

  3. Quels sont l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire $Y$ ?
  4. $E(Y) = np = 1,24$ et $\sigma(Y) = \sqrt{np(1-p)} \approx 1,1066$.
  5. Quelle est la probabilité pour qu'un sac de $100$ billes contienne exactement deux billes hors norme ?
  6. 2ND DISTR 0binomFdP( 100 , 0,0124,2)EXE
    Avec une calculatrice de type TI $binomFdP(100,0,0124,2) \approx 0,2241$

    $$P( Y = 2)\approx 0,2241 \text{ à } 10^{-4} \text{ près.}$$
  7. Quelle est la probabilité pour qu'un sac de $100$ billes contienne au plus une bille hors norme ?
  8. $P(Y \le 1) = P(Y=0) + P(Y=1) $
    $P(Y \le 1) = (1-0,0124)^100 + \binom{100}{1}\times 0,0124 \times (1-0,0124)^{99} \approx 0,6477$
    ou de façon plus directe:

     

    2ND DISTR AbinomFRép( 100 , 0,0124,1)EXE
    Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(100,0,0124,1) \approx 0,6477$$

    $$P( Y \leq 1)\approx 0,6477 \text{ à } 10^{-4} \text{ près.}$$

 


Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(\text{O},\vec{u},\vec{v}\right)$.
On note $\mathbb{C}$ l'ensemble des nombres complexes.
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

  1. Proposition : Pour tout entier naturel $n :\: (1 + \text{i})^{4n} = (- 4)^n$.
  2. Soit (E) l'équation $(z - 4)\left(z^2 - 4z + 8\right) = 0$ où $z$ désigne un nombre complexe.
    Proposition : Les points dont les affixes sont les solutions, dans $\mathbb{C}$, de (E) sont les sommets d'un triangle d'aire 8.
  3. Proposition : Pour tout nombre réel $\alpha,\: 1 + \text{e}^{2i\alpha} = 2\text{e}^{\text{i}\alpha} \cos(\alpha)$.
  4. Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = \dfrac{1}{2}(1 + \text{i})$ et $M_{n}$ le point d'affixe $\left(z_{\text{A}}\right)^n$ où $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
    Proposition : si $n - 1$ est divisible par 4, alors les points O, A et $M_{n}$ sont alignés.
  5. Soit j le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{2\pi}{3}$.
    Proposition : $1 + \text{j} + \text{j}^2 = 0$.

Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(\text{O},\vec{u},\vec{v}\right)$.
On note $\mathbb{C}$ l'ensemble des nombres complexes.
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

  1. Proposition : Pour tout entier naturel $n :\: (1 + \text{i})^{4n} = (- 4)^n$.
  2. Affirmation vraie
    >$(1+\text{i})^{4n} = \left((1+\text{i})^4 \right)^n = \left( \left(\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\pi /4}\right)^4 \right)^n = (4\text{e}^{\text{i}\pi})^n = (-4)^n$
  3. Soit (E) l'équation $(z - 4)\left(z^2 - 4z + 8\right) = 0$ où $z$ désigne un nombre complexe.
    Proposition : Les points dont les affixes sont les solutions, dans $\mathbb{C}$, de (E) sont les sommets d'un triangle d'aire 8.
  4. Affirmation fausse
    Cherchons les solutions de $z^2-4z+8 = 0$.
    $\Delta = (-4)^2-4\times 8 = -16 < 0$.
    Cette équation possède donc $2$ solutions complexes :
    $\dfrac{4-4\text{i}}{2} = 2 – 2\text{i}$ et $2 + 2\text{i}$.
    Les solutions de (E) sont donc les nombres $4$, $2 – 2\text{i}$ et $2 + 2\text{i}$.
    On appelle $A$, $B$ et $C$ les points dont ces nombres sont les affixes.
    $B$ et $C$ sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses et $A$ est sur c et axe.
    Par conséquent $ABC$ est isocèle en $A$.
    Le milieu de $[BC]$ a pour affixe $2$ et $BC = |z_C – z_B| = |4\text{i}| = 4$.
    L’aire du triangle $ABC$ est donc $\dfrac{4\times(4-2)}{2} = 4$.
  5. Proposition : Pour tout nombre réel $\alpha,\: 1 + \text{e}^{2i\alpha} = 2\text{e}^{\text{i}\alpha} \cos(\alpha)$.
  6. Affirmation vraie
    $1 + \text{e}^{2\text{i}\alpha} = 1 + \cos(2\alpha) + \text{i} \sin(2\alpha) = 1 + 3\cos^2(\alpha) – 1 + 2\text{i}\sin(\alpha)\cos(\alpha)$
    $1 + \text{e}^{2\text{i}\alpha} =2\cos^2(\alpha)+2\text{i}\sin(\alpha)\cos(\alpha) = 2\cos(\alpha)\left( \cos(\alpha) + \text{i}\sin(\alpha) \right) = 2\text{e}^{\text{i}\alpha}\cos(\alpha)$.
  7. Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = \dfrac{1}{2}(1 + \text{i})$ et $M_{n}$ le point d'affixe $\left(z_{\text{A}}\right)^n$ où $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
    Proposition : si $n - 1$ est divisible par 4, alors les points O, A et $M_{n}$ sont alignés.
  8. Affirmation vraie
    affixe de $\vec{OA} : a = \dfrac{1}{2}(1+i)$
    affixe de $\vec{OM_n} : m_n = \left(\dfrac{1}{2}(1+i) \right)^n$.
    $O$, $A$ et $M_n$ sont alignés $\Leftrightarrow \dfrac{m_n}{a}\in \mathbb R$.
    Or $\dfrac{m_n}{a} = \left( \dfrac{1}{2}(1+i)\right) ^{n-1} = \left( \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\pi/4} \right) \right)^{n-1} = \dfrac{\sqrt{2}^{n-1}}{2^{n-1}}\text{e}^{(n-1)\text{i}\pi/4}$
    $\dfrac{m_n}{a}\in \mathbb R \Leftrightarrow \dfrac{n-1}{4}\in \mathbb N \Leftrightarrow n-1$ divisible par $4$.
  9. Soit j le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{2\pi}{3}$.
    Proposition : $1 + \text{j} + \text{j}^2 = 0$.
  10. Affirmation vraie
    $j=\text{e}^{2\text{i}\pi/3} = \cos \dfrac{2\pi}{3} + \text{i} \sin \dfrac{2\pi}{3} = -0,5 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$.
    Donc $j^2 = \text{e}^{4\text{i}\pi/3} = \cos \dfrac{4\pi}{3} + \text{i}\sin \dfrac{4\pi}{3} = -0,5 – \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$
    Finalement $1+j+j^2 = 1 – 0,5 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i} – 0,5 – \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i} = 0$
    remarque : on pouvait également dire que $1+j+j^2 = \dfrac{1-j^3}{1-j}$.
    Et $1-j^3 = 1 – \text{e}^{2\text{i}\pi}=0$.

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On note $E$ l'ensemble des vingt-sept nombres entiers compris entre $0$ et $26$.

On note $A$ l'ensemble dont les éléments sont les vingt-six lettres de l'alphabet et un séparateur entre deux mots, noté «$\star$ » considéré comme un caractère.

Pour coder les éléments de $A$, on procède de la façon suivante :
Premièrement : On associe à chacune des lettres de l'alphabet, rangées par ordre alphabétique, un nombre entier naturel compris entre 0 et 25, rangés par ordre croissant. On a donc $a \to 0,\: b \to 1, \ldots z \to 25$.

On associe au séparateur «$\star$ » le nombre 26.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a&b&c&d&e&f&g&h&i&j&k&l&m&n\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\ \hline \end{array}$$
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline o&p&q&r&s&t&u&v&w&x&y&z&\star \\ \hline 14&15&13&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26 \\ \hline \end{array}$$
On dit que $a$ a pour rang $0, b$ a pour rang 1, ... , $z$ a pour rang $25$ et le séparateur «$\star$ » a pour rang $26$.

Deuxièmement : à chaque élément $x$ de $E$, l'application $g$ associe le reste de la division euclidienne de $4x + 3$ par $27$.

On remarquera que pour tout $x$ de $E,\: g(x)$ appartient à $E$.

Troisièmement : Le caractère initial est alors remplacé par le caractère de rang $g(x)$. Exemple : $s \to 18, \quad g(18) = 21$ et $21 \to v$. Donc la lettre $s$ est remplacée lors du codage par la lettre $v$.

  1. Trouver tous les entiers $x$ de $E$ tels que $g(x) = x$ c'est-à-dire invariants par $g$.
    En déduire les caractères invariants dans ce codage.
  2. Démontrer que, pour tout entier naturel $x$ appartenant à $E$ et tout entier naturel $y$ appartenant à $E$, si $y \equiv 4x + 3$ modulo 27 alors $x \equiv 7y + 6$ modulo 27. En déduire que deux caractères distincts sont codés par deux caractères distincts.
  3. Proposer une méthode de décodage.
  4. Décoder le mot «$vfv$ ».

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On note $E$ l'ensemble des vingt-sept nombres entiers compris entre $0$ et $26$.

On note $A$ l'ensemble dont les éléments sont les vingt-six lettres de l'alphabet et un séparateur entre deux mots, noté «$\star$ » considéré comme un caractère.

Pour coder les éléments de $A$, on procède de la façon suivante :
Premièrement : On associe à chacune des lettres de l'alphabet, rangées par ordre alphabétique, un nombre entier naturel compris entre 0 et 25, rangés par ordre croissant. On a donc $a \to 0,\: b \to 1, \ldots z \to 25$.

On associe au séparateur «$\star$ » le nombre 26.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a&b&c&d&e&f&g&h&i&j&k&l&m&n\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\ \hline \end{array}$$
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline o&p&q&r&s&t&u&v&w&x&y&z&\star \\ \hline 14&15&13&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26 \\ \hline \end{array}$$
On dit que $a$ a pour rang $0, b$ a pour rang 1, ... , $z$ a pour rang $25$ et le séparateur «$\star$ » a pour rang $26$.

Deuxièmement : à chaque élément $x$ de $E$, l'application $g$ associe le reste de la division euclidienne de $4x + 3$ par $27$.

On remarquera que pour tout $x$ de $E,\: g(x)$ appartient à $E$.

Troisièmement : Le caractère initial est alors remplacé par le caractère de rang $g(x)$. Exemple : $s \to 18, \quad g(18) = 21$ et $21 \to v$. Donc la lettre $s$ est remplacée lors du codage par la lettre $v$.

  1. Trouver tous les entiers $x$ de $E$ tels que $g(x) = x$ c'est-à-dire invariants par $g$.
    En déduire les caractères invariants dans ce codage.
  2. On cherche les valeurs de $x$ telles que $4x+3 \equiv x [27]$.
    $\Leftrightarrow 3x + 3 \equiv 0 [27]$
    $\Leftrightarrow 3(x + 1) \equiv 0 [27]$
    $\Leftrightarrow$ il existe $k\in \mathbb Z$ tel que $3(x+1) = 27k$
    $\Leftrightarrow$ il existe $k\in \mathbb Z$ tel que $x+1 = 9k$
    $\Leftrightarrow$ il existe $k\in \mathbb Z$ tel que $x = 9k – 1$
    $\Leftrightarrow x \in \{8;17;26\}$
    Les seuls caractères invariants sont donc $i$, $r$ et $\star$
  3. Démontrer que, pour tout entier naturel $x$ appartenant à $E$ et tout entier naturel $y$ appartenant à $E$, si $y \equiv 4x + 3$ modulo 27 alors $x \equiv 7y + 6$ modulo 27. En déduire que deux caractères distincts sont codés par deux caractères distincts.
  4. Si $u \equiv 4x + 3 [27]$ alors$ 7y+6 \equiv 28x + 21 + 6 [27] \equiv 28x [27] \equiv x[27]$
    Considérons $2$ caractères distincts codés par les nombres $x$ et $z$.
    On sait que $0 \le x \le 26$ et $0 \le z \le 26$.
    Si $g(x) = g(z) = y$ alors $x \equiv 7y +6 [27]$ et $z \equiv 7y+6$ et par conséquent $x \equiv z [27]$.
    Ce qui est impossible puisque les caractères étaient distincts.
    Donc $2$ caractères distincts sont codés par $2$ caractères distincts.
  5. Proposer une méthode de décodage.
  6. Pour décoder un caractère $y$ il suffit de calculer $7y+6$ modulo $27$.
  7. Décoder le mot «$vfv$ ».
  8. $v$ est codé par $21$ et $f$ est codé par $5$.
    $7 \times 21 + 6 = 153 \equiv 18 [27]$ : caratère $s$
    $7 \times 5 + 6 = 41 \equiv 14 [27]$ : caractère $o$
    Par conséquent $vfv$ est décodé en $sos$.

 


 

Annexe de l'exercice 3

 

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline &A&B\\ \hline 1&d &P(X \leq d)\\ \hline 2&0 &3,06E-138\\ \hline 3&1 &2,08E-112\\ \hline 4&2 &2,75E-89\\ \hline 5&3 &7,16E-69\\ \hline 6&4 &3,67E-51\\ \hline 7&5 &3,73E-36\\ \hline 8&6 &7,62E-24\\ \hline 9&7 &3,19E-14\\ \hline 10&8 &2,87E-07\\ \hline 11&9 &0,00620967\\ \hline 12&10 &0,5\\ \hline 13&11 &0,99379034\\ \hline 14&12 & 0,99999971\\ \hline 15&13 &1\\ \hline 16&14 & 1\\ \hline 17&15 &1\\ \hline 18&16 &1 \\ \hline 19&17 &1\\ \hline 20&18 &1\\ \hline 21&19 &1\\ \hline 22&20 &1\\ \hline 23&21 &1\\ \hline 24&22 &1\\ \hline 25& &\\ \hline \end{array}$$

Copie d'écran d'une feuille de calcul

 

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Baccalauréat S Métropole 20 juin 2013

Exercice 1 4 points


Commun à tous les candidats

Une jardinerie vend de jeunes plants d'arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35 % des plants proviennent de l'horticulteur H$_{1}$, 25 % de l'horticulteur H$_{2}$ et le reste de l'horticulteur H$_{3}$. Chaque horticulteur livre deux catégories d'arbres : des conifères et des arbres à feuilles. La livraison de l'horticulteur H$_{1}$ comporte 80 % de conifères alors que celle de l'horticulteur H$_{2}$ n'en comporte que 50 % et celle de l'horticulteur H$_{3}$ seulement 30 %.

  1. Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.
    On envisage les événements suivants :
    • $H_{1}$ : «l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$_{1}$ »,
    • $H_{2}$ : «l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$_{2}$ »,
    • $H_{3}$ : «l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$_{3}$ »,
    • $C$  : «l'arbre choisi est un conifère »,
    • $F$  : «l'arbre choisi est un arbre feuillu ».

    1. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
    2. Calculer la probabilité que l'arbre choisi soit un conifère acheté chez l'horticulteur H$_{3}$.
    3. Justifier que la probabilité de l'évènement $C$ est égale à $0,525$.
    4. L'arbre choisi est un conifère. Quelle est la probabilité qu'il ait été acheté chez l'horticulteur H$_1$ ? On arrondira à $10^{-3}$.
  2. On choisit au hasard un échantillon de $10$ arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de $10$ arbres dans le stock. On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l'échantillon choisi.
    1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    2. Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement $5$ conifères?
      On arrondira à $10^{-3}$.
    3. Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ? On arrondira à $10^{-3}$.


Correction de l'exercice 1 (4 points)


Commun à tous les candidats

 

    1. Un arbre pondéré représentant la situation :
      Metropole 2013 Bac S 19-Juin 2013 arb
    2. On veut calculer $p\left (H_3\cap C\right )=p\left (H_3 \right )\times p_{H_3}\left (C\right )=0,40\times 0,50=0,20$
      $p\left (H_3\cap C\right )=0,20$
    3. Calculons la probabilité de l'événement $C$.
      $C=\left (H_1\cap C \right )\cup \left (H_2\cap C \right )\left (H_3\cap C \right )$.
      La formule des probabilités totales donne
      $$p\left (H_1\cap C \right )+p \left (H_2\cap C \right )+p\left (H_3\cap C \right )=p(H_1)\times p_{H_1}(C)+p(H_2) \times p_{H_2}(C)+p(H_3)\times p_{H_3}(C)$$
      soit $p(C)= 0,35\times 0,80+ 0,25\times 0,50+ 0,40\times 0,30=0,525$
      $p(C)=0,525$
    4. On veut calculer la probabilité de l'événement &\laquo;  L'arbre a été acheté chez $H_1$ sachant que c'est un conifère&\raquo; .
      soit à calculer la probabilité conditionnelle $p_{C}\left (H_1\right )=\dfrac{p\left (H_1\cap C\right )}{p(C)}=\dfrac{0,35\times 0,80}{0,525}$

      $p_{C}\left (H_1\right )\approx 0,533$
    1. On est en présence d'un schéma de Bernoulli: Succès : &\laquo;  l'arbre choisi au hasard est un conifère &\raquo;  avec la probabilité $p=0,525 $
      Echec : &\laquo;  l'arbre choisi au hasard est un arbre à feuilles&\raquo;  avec la probabilité $q=1-p= 0,475$
      On répète 10 fois cette expérience de façon indépendante et on considère la variable aléatoire $X$ qui comptabilise le nombre de succès .
      $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left (10;0,525\right )$ de paramètres $n=10$ et $p=0,525$
    2. Calculons la probabilité que l'échantillon prélevé contienne exactement 5 conifères et donnons-en une valeur approchée à $10^{-3}$, près.
      Pour tout entier $k \in[0;10]$; on a : $$p(X=k)=\binom{10}{k}\times 0,525^k\times0,475^{10-k}.$$ On veut $p(X=5) \binom{10}{5}\times 0,525^5\times0,475^5.$
      $p(X=5)\approx 0,243$

    3. Calculons la probabilité que l'échantillon prélevé contienne au moins deux arbres feuillus et donnons-en une valeur approchée à $10^{-3}$, près.
      On veut calculer ici la probabilité de l'événement $X\leq 8$
      $p(X \leq 8)=1-p(X>8)=1-p(X=9)-p(X=10)=1-\binom{10}{9}\times 0,525^9\times0,475^1-\binom{10}{10}\times 0,525^10 \approx 0,984 $

      La probabilité que l'échantillon prélevé contienne au moins deux arbres feuillus est environ $0,984$ à $10^{-3}$, près. 
      Remarque :$P(X\leq 8)$ peut s'obtenir avec la calculatrice par :$binomFR\text{é}p(10,0.525,8)$

Exercice 2 7 points

Commun à tous les candidats


Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O}, \vec{i}, \vec{j}\right)$, la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $] 0 ; + \infty[$.
France Metropole 2013 Ex2
On dispose des informations suivantes :

  • les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (1, 0), (1, 2), (0, 2);
  • la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point B et la droite (BC) est tangente à $\mathcal{C}$ en B;
  • il existe deux réels positifs $a$ et $b$ tels que pour tout réel strictement positif $x$,

\[f(x) = \dfrac{a+ b\ln x}{x}. \]

    1. En utilisant le graphique, donner les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$.
    2. Vérifier que pour tout réel strictement positif $x,\: f'(x) = \dfrac{(b - a) - b \ln x}{x^2}$.
    3. En déduire les réels $a$ et $b$.
    1. Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0\,, +\infty[,\: f'(x)$ a le même signe que $- \ln x$.
    2. Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+ \infty$. On pourra remarquer que pour tout réel $x$ strictement positif, $f(x) = \dfrac{2}{x} + 2\;\dfrac{\ln x}{x}$.
    3. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
    1. Démontrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]0\,, 1]$.
    2. Par un raisonnement analogue, on démontre qu'il existe un unique réel $\beta$ de l'intervalle $]1\,, + \infty]$ tel que $f(\beta) = 1$. Déterminer l'entier $n$ tel que $n < \beta < n + 1$.
  1. On donne l'algorithme ci-dessous.
    $$\begin{array}{|l l|}\hline \text{Variables : }& a, b \text{ et } m \text{ sont des nombres réels.}\\ \text{Initialisation :}& \text{Affecter à } a \text{ la valeur 0. } \\ & \text{ Affecter à } b \text{ la valeur 1. }\\ \text{Traitement :}& \text{ Tant que } b - a > 0,1\\ &\begin{array}{l|l} &\text{ Affecter à } m \text{ la valeur } \dfrac{1}{2}(a + b).\\ & \text{ Si } f(m) < 1 \text{ alors Affecter à } a \text{ la valeur } m.\\ & \text{Sinon Affecter à } b \text{ la valeur } m.\\ &F \text{ Fin de Si.}\\ \end{array}\\ &\text{ Fin de Tant que.}\\ \text{ Sortie : }& \text{ Afficher } a.\\ & \text{ Afficher } b.\\ \hline \end{array} $$
    1. Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l'on recopiera sur la copie.
      $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline &\text{étape 1 }&\text{étape 2 }&\text{étape 3 }&\text{étape 4 }&\text{étape 5 }\\ \hline a&0&&&&\\ \hline b&1&&&&\\ \hline b - a&&&&&\\ \hline m&&&&&\\ \hline \end{array}$$
    2. Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme ?
    3. Modifier l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche les deux bornes d'un encadrement de $\beta$ d'amplitude $10^{-1}$.
  2. Le but de cette question est de démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ partage le rectangle OABC en deux domaines d'aires égales.
    1. Justifier que cela revient à démontrer que $\displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^1 f(x)\:\text{d}x = 1$.
    2. En remarquant que l'expression de $f(x)$ peut s'écrire $\dfrac{2}{x} + 2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln x$, terminer la démonstration.

Correction de l'exercice 2 (7 points)


Commun à tous les candidats

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé , dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},\vec{j}\right)$, la courbe représentative $ \mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]0;+\infty[$.
On dispose des informations suivantes:

  • Les points $A, B, C$ ont pour coordonnées respectives (1, 0), (1, 2), (0, 2);
  • la courbe $ \mathcal{C}$ passe par le point $B$ et la droite $(BC)$ est tangente à $ \mathcal{C}$ en $B$;

  • il existe deux réels positifs $a$ et $b$ tels que pour tout réel strictement positif $x$, $f(x)=\dfrac{a+b\ln x }{x}$
    1. En utilisant le graphique, donner les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$.
      Le point $B(1,2)$ est un point de $ \mathcal{C}$, donc $f(1)=2$
      La tangente à $ \mathcal{C}$ au point $B$ d'abscisse 1 est horizontale , donc $f'(1)=0$.
      $f(1)=2$ et $f'(1)=0$.
    2. Vérifier que pour tout réel strictement positif $x, f'(x)=\dfrac{(b-a)-b\ln x }{x^2} $
      $f=\dfrac{u}{v}$, donc $f'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$
      ici $u(x)=a+b\ln x$ et $v(x)=x$
      on a donc $u'(x)=\dfrac{b}{x}$ et $v'(x)=1$
      puis $f'(x)=\dfrac{\dfrac{b}{x}\times x -1\times \left (a+b\ln x\right )}{x^2}=\dfrac{b-a-b\ln x }{x^2} $
      $f'(x)=\dfrac{(b-a)-b\ln x }{x^2} $.
    3. En déduire les réels $a$ et $b$.
      $f(1)=2 $ donc $\dfrac{a+b \ln 1}{1}=2$ donc $ a=2$, en effet $\ln 1=0$.
      $f'(1)=0$ donc $ \dfrac{(b-a)-b\ln 1 }{1^2}=0 $ donc $ b-a=0 $ donc $ b=a=2$
      $a=2$ et $b=2$ ainsi $f(x)=\dfrac{2+2\ln x }{x}$
    1. Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty[$ , $f'(x)$ a le même signe que $-\ln x $.
      D'après la question 1. $f'(x)=\dfrac{(b-a)-b\ln x }{x^2} =\dfrac{-2 \ln x }{x^2}$, on a remplacé $a$ et $b$ par 2.
      Comme on travaille sur $]0;+\infty[$, on a $x^2>0$ et 2>0 ,
      donc $f'(x)$ a le signe de $-\ln x$.
    2. Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+\infty$.
      On pourra remarquer que pour tout réel $x$ strictement positif, $f(x)=\dfrac{2}{x} +\dfrac{2\ln x}{x}$
      • Limite en $0^+$ : sur $]0;+\infty[;f(x)=\dfrac{2+2\ln x }{x}=\left (2+2\ln x\right )\times \dfrac{ 1}{x}$
        $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to 0^+} (2+2\ln x)=-\infty\\ \lim\limits_{x \to 0^+}~\dfrac{1}{x}=+\infty \end{array}\right\}$ par produit on obtient: $\lim\limits_{x \to 0^+}~f(x)=-\infty$
      • Limite en $+\infty$ : sur $]0;+\infty[;f(x)=\dfrac{2+2\ln x }{x}=\dfrac{2}{x} +\dfrac{2\ln x}{x}$
        $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty}~\dfrac{2}{x}=0\\ \lim\limits_{x \to +\infty}~\dfrac{2\ln x}{x}=0 \end{array}\right\}$ par somme on obtient: $\lim\limits_{x \to +\infty}~f(x)=0$
        On a utilisé la limite de référence :$\lim\limits_{x \to +\infty}~\dfrac{ \ln x}{x}=0$
        $\lim\limits_{x \to +\infty}~f(x)=0$
    3. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$. On sait que la dérivée a le signe de $-\ln x $ sur $]0;+\infty[$.
      $f'(x)>0 \Leftrightarrow -\ln x > 0 \Leftrightarrow \ln x < 0 \Leftrightarrow0< x<1.$
      $f'(x)=0 \Leftrightarrow x=1.$

      Metropole 2013 Bac S 19-Juin 2013 tab var
    1. Démontrer que l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]0,1]$.
      $\left.\begin{array}{ll} &\bullet \quad f \text{ est continue sur } I=]0;1] \text{ (elle est dérivable sur )} I ;\\ &\bullet \quad f \text{ est strictement croissante sur } I ;\\ &\bullet \quad f(1)=2 ;\\ &\bullet \quad \lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=-\infty.\\\end{array}\right\}$ . Comme $1 \in ]-\infty;2]$ l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$ dans $I$
      Ainsi l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$ dans $I$
    2. Par un raisonnement analogue, on démontre qu'il existe un unique réel $\beta$ de l'intervalle $]1;+\infty[$ tel que $f(\beta )=1$.
      Déterminer l'entier $n$ tel que $n< \beta<n+ 1$
      soit $f(5)>f(\beta)>f(6)$
      comme $f$ est strictement décroissante sur $[1;+\infty[$; on déduit $5<\beta< 6$
      $5<\beta< 6$
  1. On donne l'algorithme ci-dessous.
    $$\begin{array}{|l l|}\hline \text{Variables : }& a, b \text{ et } m \text{ sont des nombres réels.}\\ \text{Initialisation :}& \text{Affecter à } a \text{ la valeur 0. } \\ & \text{ Affecter à } b \text{ la valeur 1. }\\ \text{Traitement :}& \text{ Tant que } b - a > 0,1\\ &\begin{array}{l|l} &\text{ Affecter à } m \text{ la valeur } \dfrac{1}{2}(a + b).\\ & \text{ Si } f(m) < 1 \text{ alors Affecter à } a \text{ la valeur } m.\\ & \text{Sinon Affecter à } b \text{ la valeur } m.\\ &F \text{ Fin de Si.}\\ \end{array}\\ &\text{ Fin de Tant que.}\\ \text{ Sortie : }& \text{ Afficher } a.\\ & \text{ Afficher } b.\\ \hline \end{array} $$
    1. Faire tourner l'algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l'on recopiera sur la copie.
      $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline &\text{ étape 1 } & \text{ étape 2 } &\text{ étape 3 } &\text{ étape 4 } & \text{ étape 5 } \\ \hline a & 0 & 0 & 0,25 & 0,375 & 0,4375 \\ \hline b & 1 & 0,5 & 0,5 & 0,5 & 0,5 \\ \hline b-a & 1 & 0,5 & 0,25 &0,125 & 0,0625\\ \hline m & 0,5 & 0,25 & 0,375 & 0,4375 & \text{ L'algorithme s'arrête car la condition } b-a\leq 0,1 \text{est réalisée }\\ \hline \end{array}$$
    2. Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme?
      Cet algorithme fournit un encadrement à 0,1 près de l'unique solution $\alpha$ de l'équation $f(x)=1$ se trouvant dans l'intervalle $]0,1]$. La méthode utilisée est la dichotomie.
    3. Modifier l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche les deux bornes d'un encadrement de $\beta$ d'amplitude $10^{-1}$.
      $$\begin{array}{|l l|}\hline \text{Variables : }& a, b \text{ et } m \text{ sont des nombres réels.}\\ \text{Initialisation :}& \text{Affecter à } a \text{ la valeur 5. } \\ & \text{ Affecter à } b \text{ la valeur 6. }\\ \text{Traitement :}& \text{ Tant que } b - a > 0,1\\ &\begin{array}{l|l} &\text{ Affecter à } m \text{ la valeur } \dfrac{1}{2}(a + b).\\ & \text{ Si } f(m) < 1 \text{ alors Affecter à } a \text{ la valeur } m.\\ & \text{Sinon Affecter à } b \text{ la valeur } m.\\ &F \text{ Fin de Si.}\\ \end{array}\\ &\text{ Fin de Tant que.}\\ \text{ Sortie : }& \text{ Afficher } a.\\ & \text{ Afficher } b.\\ \hline \end{array} $$
  2. Le but de cette question est de démontrer que la courbe $ \mathcal{C}$ partage le rectangle $OABC$ en deux domaines d'aires égales.
    1. Justifier que cela revient à démontrer que $\displaystyle\int_{\dfrac{1}{e}}^{1}f(x)\;dx=1$.
      Le rectangle $OABC$ a pour aire $\mathcal{A}=OA \times BC =2 (u.a.)$
      On résout l'équation $f(x)=0$ sur $]0;+\infty[$
      $f(x)=0 \Leftrightarrow \dfrac{2+2\ln x }{x} \Leftrightarrow 2+2\ln x =0 \Leftrightarrow \ln x =-1 \Leftrightarrow x=e^{-1} \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{e}$.
      La courbe $ \mathcal{C}$ rencontre l'axe des abscisses au point d'abscisse $x=\dfrac{1}{e}$.
      On doit donc montrer que l'aire du domaine délimité par la courbe $ \mathcal{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=\dfrac{1}{e}$ et $x=1$ vaut $1 u.a.$.
      Comme $f$ est continue, positive sur $\left [\dfrac{1}{e};1\right ]$, en effet :
      si $x\geq \dfrac{1}{e}$ alors $\ln x\geq \ln\left (\dfrac{1}{e}\right )$
      soit $1+\ln x\geq 0$ puis en multipliant par $\dfrac{2}{x}>0$ sur $]0;++\infty[$, on obtient $f(x)\geq 0$,
      cette aire vaut $\mathcal{B}= \int_{\dfrac{1}{e}}^{1}f(x)\;dx$.
      On doit donc établir $\mathcal{B}=1$ soit $\displaystyle\int_{\dfrac{1}{e}}^{1}f(x)\;dx=1$.
    2. En remarquant que l'expression de $f(x)$ peut s'écrire $\dfrac{2}{x} +2\times \dfrac{1}{x}\times \ln x $, terminer la démonstration.
      $f(x)=\dfrac{2}{x} +2\times \dfrac{1}{x}\times \ln x =2\times \dfrac{1}{x}+2 u'(x)\times u(x)$ où $u(x)=\ln x$ .
      On note $F$ une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$.
      $F(x)=2\ln x +\left (\ln x \right )^2$. On a utilisé le fait que $u'u^n$ a pour primitive $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ pour $n\neq -1$.
      $$\int_{\dfrac{1}{e}}^{1}f(x)\;dx=F(1)-F\left (\dfrac{1}{e}\right )=2\ln 1 +\left (\ln 1 \right )^2 -\left (2\ln\left (\dfrac{1}{e}\right )+\left (\ln \left (\dfrac{1}{e}\right )\right )^2\right ) =0-(-2+1)=1$$ En effet $\ln\left (\dfrac{1}{e}\right )=-\ln e=-1$


Exercice 3 4 points

Commun à tous les candidats
Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

  1. Proposition 1 : Dans le plan muni d'un repère orthonormé, l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie l'égalité $|z - \text{i}| = |z + 1|$ est une droite.

  2. Proposition 2 : Le nombre complexe $\left(1 + \text{i}\sqrt{3}\right)^4$ est un nombre réel.

  3. Soit ABCDEFGH un cube.
  4. France Metropole 2013 Ex3
  5. Proposition 3 : Les droites (EC) et (BG) sont orthogonales.
  6. L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$. Soit le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $x + y + 3z + 4 = 0$. On note S le point de coordonnées $(1\,, -2\,, - 2)$.
    Proposition 4 : La droite qui passe par S et qui est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$ a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l @{\;=\;} l} x =&2 + t\\ y=& - 1 + t\\ z=&1 + 3t \end{array}\right.$, $t \in \textbf{R}$.

Correction de l'exercice 3 (4 points)


Commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

  1. Proposition 1: Dans le plan muni d'un repère orthonormé, l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie l'égalité $|z-i|=|z+1|$ est une droite.
    On note $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $i$ et $-1$.
    $|z-i|=|z+1| \Leftrightarrow |z-i|=|z-(-1)| \Leftrightarrow \left|z_M-z_A \right|=\left|z_M-z_B\right| \Leftrightarrow AM=BM $
    L'ensemble cherché est la médiatrice de $[AB]$, la proposition 1 est donc vraie.
  2. Proposition 2: Le nombre complexe $(1+i \sqrt 3 )^4$ est un nombre réel.
    On met $u=1+i \sqrt 3$ sous forme exponentielle .
    $|u|=\sqrt{1^2+\sqrt 3^2}=\sqrt 4=2$
    Ainsi $u=2 \left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right )=2e^{i\frac{\pi}{3}}$
    On a alors $(1+i \sqrt 3 )^4 =\left( 2e^{i\frac{\pi}{3}}\right )^4=2^4e^{i\frac{4\pi}{3}}=16e^{i\frac{4\pi}{3}}=16\left (\cos\left (\frac{4\pi}{3}\right )+i\sin\left (\frac{4\pi}{3}\right )\right)=16\left (-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-8-8i\sqrt3$
    Le nombre complexe $(1+i \sqrt 3 )^4$ n'est pas un nombre réel,la proposition 2 est donc fausse.

    Remarque (4 étant un petit exposant ) : $(1+i \sqrt 3 )^2=1+2i\sqrt 3-3=-2+2i\sqrt 3$
    alors $(1+i \sqrt 3 )^4= \left ((1+i \sqrt 3 )^2\right )^2=(-2+2i\sqrt 3)^2=4-8i\sqrt 3-12=-8-8i\sqrt 3$
  3. Soit $ABCDEFGH$ un cube.
    Proposition 3:Les droites $(EC)$ et $(BG)$ sont orthogonales. Figure On rapporte l'espace au repère orthonormal $\left (A,\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE}\right )$ en choisissant $AB$ comme unité de longueur.
    On a , dans ce repère $E(0~,0~,1~);C(1~,1~,0~);\vec{EC}(1~, 1~,-1~);$
    $B(1~,0~,0~);G(1~,1~,1~);\vec{BG}(0~, 1~, 1~);$
    $\vec{EC}.\vec{BG}=xx'+yy'+zz'=0+1-1=0$
    Ayant $\vec{EC}.\vec{BG}=0$, les droites $(EC)$ et $(BG)$ sont orthogonales.

    Les droites $(EC)$ et $(BG)$ sont orthogonales.La proposition 3 est exacte.
  4. L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},\vec{j},\vec{j},\vec{k}\right)$. Soit le plan $P$ d'équation cartésienne $x+y+3z+4=0$. On note S le point de coordonnées (1,2,-2).
    Proposition 4: La droite qui passe par $S$ et qui est perpendiculaire au plan $P$ a pour représentation paramétrique : \[\left\{\begin{array}{l c r} x&=&2+t
    y&=&-1+t
    z&=&1+3t \end{array}\right. \quad \text{avec}~ t \in \mathbb{R}.\] Une droite $D$ perpendiculaire au plan $P$ admet pour vecteur directeur un vecteur normal du plan $P$, soit ici $\vec{n}(1,1,3)$
    $S(1,-2,-2) \in D \Leftrightarrow \text{ il existe } t \in \mathbb{R}, \left\{\begin{array}{l c r} x_S&=&2+t\\ y_S&=&-1+t\\ z_S&=&1+3t \\ \end{array}\right. \Leftrightarrow \text{ il existe } t \in \mathbb{R}, \left\{\begin{array}{l c r} 1&=&2+t \\ -2&=&-1+t\\ -2&=&1+3t \\\end{array}\right.$
    $S(1,-2,-2) \in D \Leftrightarrow \text{ il existe } t \in \mathbb{R}, \left\{\begin{array}{l c r} t&=&-1 \\ t&=&-1\\ t&=&-1\\ \end{array}\right. $ Il existe bien $t\in \mathbb{R} $ tel que $t=-1$ donc $S( 1,-2,-2)\in D$
    La droite $D$ perpendiculaire au plan $P$ passant par $S$ a pour représentation paramétrique : $$\left\{\begin{array}{l c r} x&=&2+t \\ y&=&-1+t\\ z&=&1+3t\\ \end{array}\right. \quad ~ t \in \mathbb{R}.$$

Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Soit la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\textbf{N}$ par :
\[u_{0} = 2 \quad \text{et pour tout entier naturel } \:n, \:u_{n+1} = \dfrac{2}{3}u_{n} + \dfrac{1}{3}n + 1.\]

    1. Calculer $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ et $u_{4}$. On pourra en donner des valeurs approchées à $10^{- 2}$ près.
    2. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.

    1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$,
      \[u_{n} \leqslant n + 3.\]
    2. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{1}{3} \left(n + 3 - u_{n}\right).\]
    3. En déduire une validation de la conjecture précédente.
  1. On désigne par $\left(v_{n}\right)$ la suite définie sur $\textbf{N}$ par $v_{n} = u_{n} - n$.
    1. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$.
    2. En déduire que pour tout entier naturel $n$, \[u_{n} = 2\left(\dfrac{2}{3} \right)^n + n\]
    3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
  2. Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose: \[S_{n} = \sum_{k=0}^n u_{k} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n}\quad \text{et} \quad T_{n} = \dfrac{S_{n}}{n^2}.\]
    1. Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$.
    2. Déterminer la limite de la suite $\left(T_{n}\right)$.

Correction de l'exercice 4 (5 points)


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Soit la suite numérique $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par:
$u_0=2$ et pour tout entier naturel $n, u_{n+1}=\dfrac{2}{3} u_n+\dfrac{1}{3}n+1.$

    1. Calculer $u_1, u_2, u_3$ et $u_4$. On pourra en donner des valeurs approchées à $ 10^{-2}$ près.
      • $n=0$ dans la relation : $u_{n+1}=\dfrac{2}{3} u_n+\dfrac{1}{3}n+1$ donne $u_1=\dfrac{2}{3} u_0+\dfrac{1}{3}\times 0+1=\dfrac{2}{3} \times 2+1=\dfrac{7}{3}\approx 2,33$
      • $n=1$ donne $u_2=\dfrac{2}{3} u_1+\dfrac{1}{3}\times 1+1=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{7}{3}+\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{14}{9}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{26}{9}\approx 2,89$
      • $n=2$ donne $u_3=\dfrac{2}{3} u_2+\dfrac{1}{3}\times 2+1=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{26}{9}+\dfrac{5}{3} =\dfrac{52}{27}+\dfrac{45}{27}=\dfrac{97}{27}\approx 3,59$
      • $n=3$ donne $u_4=\dfrac{2}{3} u_3+\dfrac{1}{3}\times 3+1=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{97}{27}+2 =\dfrac{194}{81}+\dfrac{162}{81}=\dfrac{356}{81}\approx 4,40$
    2. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
      Au vu des premiers termes, la suite $(u_n)$ semble strictement croissante.
    1. Démontrer que pour tout entier naturel $n,u_n \leq n+3$.
      notons $P(n)$ la propriété $u_n \leq n+3$:
      • Initialisation : $u_0=2$ et $2\leq 3$ donc $P(0)$ est vraie.
      • Hérédité : Soit $p\geq0$, on suppose que: $u_p\leq p+3~(HR)$
        On doit prouver que : $ u_{p+1}\leq (p+1)+3$, c'est-à-dire $ u_{p+1}\leq p+4$.
        On utilise la relation $ u_{p+1}=\dfrac{2}{3} u_p+\dfrac{1}{3}p+1$
        En multipliant par $\dfrac{2}{3}>0$ de part et d'autre dans $(HR)$, on obtient : $\dfrac{2}{3} u_p\leq \dfrac{2}{3}\left (p+3~\right )$.
        En ajoutant $\dfrac{1}{3}p+1$ de part et d'autre :
        $\dfrac{2}{3} u_p +\dfrac{1}{3}p+1\leq \dfrac{2}{3}\left (p+3~\right )+\dfrac{1}{3}p+1$.
        soit $u_{p+1}\leq \dfrac{2}{3}p+2+\dfrac{1}{3}p+1$
        c'est-à-dire :$u_{p+1}\leq p+3\leq p+4$
      • Conclusion : Le principe de récurrence s'appliquant, on a pour tout entier $n\geq 0 ;u_n\leq n+3$
    2. Démontrer que pour tout entier naturel $n, u_{n+}1-u_n=\dfrac{1}{3}\left (n+3-u_n\right )$.
      $ u_{n+1} -u_n=\dfrac{2}{3} u_n+\dfrac{1}{3}n+1-u_n=-\dfrac{1}{3} u_n+\dfrac{1}{3}n+1=\dfrac{1}{3}\left (n+3-u_n\right )$
    3. En déduire une validation de la conjecture précédente.
      D'après 2.a., pour tout $n\geq 0$, $u_n\leq n+3$
      donc $n+3-u_n\geq 0$
      puis en multipliant par $ \dfrac{1}{3}>0$ , on obtient $\dfrac{1}{3}\left (n+3-u_n\right )\geq 0$
      donc pour tout entier $n\geq 0$ , on a $ u_{n+1} -u_n\geq 0$, On a donc prouvé que la suite $(u_n)$ est croissante.
  1. On désigne par $(v_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n=u_n-n$.
    1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$.
      Pour tout $n\geq 0,v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)= \dfrac{2}{3} u_n+\dfrac{1}{3}n+1-n-1=\dfrac{2}{3} u_n-\dfrac{2}{3}n=\dfrac{2}{3} \left (u_n-n\right )=\dfrac{2}{3}v_n$
      Ayant pour tout entier naturel $n; v_{n+1}=\dfrac{2}{3}v_n$ : la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$.
    2. En déduire que pour tout entier naturel $n, u_n=2\left (\dfrac{2}{3}\right )^n+n$.
      Comme $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$, et de plus $v_0=u_0-0=2$;
      on a pour tout $n\geq 0, v_n=q^n \times v_0=\left (\dfrac{2}{3}\right )^n\times 2$
      De $v_n=u_n-n$ on déduit :$u_n=v_n+n=2\left (\dfrac{2}{3}\right )^n+n$
    3. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
      $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{n \to +\infty}~2\left (\dfrac{2}{3}\right )^n=0\\ \lim\limits_{n \to +\infty}~n=+\infty \end{array}\right\}$ par somme on obtient: $\lim\limits_{n \to +\infty}~u_n=+\infty$.
      On a utilisé la limite de référence :$\lim\limits_{n \to +\infty}q^n=0$ si $-1<q<1$

     


Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On étudie la population d'une région imaginaire. Le 1 er  janvier 2013, cette région comptait   250000  habitants dont 70 % résidaient à la campagne et 30 % en ville.
L'examen des données statistiques recueillies au cours de plusieurs années amène à choisir de modéliser l'évolution de la population pour les années à venir de la façon suivante :

  • l'effectif de la population est globalement constant,
  • chaque année, 5 % de ceux qui résident en ville décident d'aller s'installer à la campagne et 1 % de ceux qui résident à la campagne choisissent d'aller habiter en ville.


Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ le nombre d'habitants de cette région qui résident en ville au 1 er  janvier de l'année $(2013 + n)$ et $c_{n}$ le nombre de ceux qui habitent à la campagne à la même date.

  1. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_{n+1}$ et $c_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$ et $c_{n}$.
  2. Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}0,95&0,01\\0,05& 0,99\end{pmatrix}$.
    On pose $X = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ où $a,\: b$ sont deux réels fixés et $Y = AX$. Déterminer, en fonction de $a$ et $b$, les réels $c$ et $d$ tels que $Y = \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}$.
  3. Les résultats précédents permettent d'écrire que pour tout entier naturel $n$,
    $X_{n+1} = AX_{n}$ où $X_{n} = \begin{pmatrix}v_{n}\\c_{n}\end{pmatrix}$. On peut donc en déduire que pour tout entier naturel $n,\: X_{n} = A^n X_{0}$.

  4. Soient les matrices $P = \begin{pmatrix}1&- 1\\5&1\end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}$.
    1. Calculer $PQ$ et $QP$. En déduire la matrice $P^{-1}$ en fonction de $Q$.
    2. Vérifier que la matrice $P^{-1}AP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera.
    3. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, $A^n = P D^n P^{- 1}$.
  5. Les résultats des questions précédentes permettent d'établir que \[v_{n} = \dfrac{1}{6}\left(1 + 5 \times 0,94^n\right)v_{0} + \dfrac{1}{6}\left(1 - 0,94^n\right)c_{0}.\]
    Quelles informations peut-on en déduire pour la répartition de la population de cette région à long terme ?

Correction de l'exercice de Spécialité (5 points)


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On étudie la population d'une région imaginaire. Le 1 er  janvier 2013, cette région comptait 250000 ~habitants dont 70 % résidaient à la campagne et 30 % en ville. L'examen des données statistiques recueillies au cours de plusieurs années amène à choisir de modéliser l'évolution de la population pour les années à venir de la façon suivante :

  • l'effectif de la population est globalement constant,
  • chaque année, 5 % de ceux qui résident en ville décident d'aller s'installer à la campagne et 1 % de ceux qui résident à la campagne choisissent d'aller habiter en ville.

Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ le nombre d'habitants de cette région qui résident en ville au 1 er janvier de l'année $(2013 + n)$ et $c_{n}$ le nombre de ceux qui habitent à la campagne à la même date.

  1. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_{n+1}$ et $c_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$ et $c_{n}$.
    Chaque année, 5 % de ceux qui résident en ville décident d'aller s'installer à la campagne et 1 % de ceux qui résident à la campagne choisissent d'aller habiter en ville.
    Donc pour tout entier naturel $n$, $\left \{ \begin{array}{rcl} v_{n+1} & = & 95\%v_n+1\%c_n \\ c_{n+1} & = & 5\%v_n+99\%c_n \end{array} \right.$
    Ainsi $\left \{\begin{array}{rcl} v_{n+1} & = & 0,95v_n+0,01c_n \\ c_{n+1} & = & 0,05v_n+0,99 c_n \end{array} \right.$
    $\begin{pmatrix}v_{n+1}\\c_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,95v_n+0,01c_n\\0,05v_n+0,99 c_n \end{pmatrix}$
  2. Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}0,95&0,01\\0,05& 0,99\end{pmatrix}$. On pose $X = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ où $a,\: b$ sont deux réels fixés et $Y = AX$.
    Déterminer, en fonction de $a$ et $b$, les réels $c$ et $d$ tels que $Y = \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}$.
    Comme $A = \begin{pmatrix}0,95&0,01\\0,05& 0,99\end{pmatrix}$ on a $Y = \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}=AX=\begin{pmatrix}0,95&0,01\\0,05& 0,99\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,95a+0,01b\\0,05a+0,99b\end{pmatrix}$. $\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,95a+0,01b\\0,05a+0,99b\end{pmatrix}$
    Les résultats précédents permettent d'écrire que pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1} = AX_{n}$ où $X_{n} = \begin{pmatrix}v_{n}\\c_{n}\end{pmatrix}$. On peut donc en déduire que pour tout entier naturel $n,\: X_{n} = A^n X_{0}$.
  3. Soient les matrices $P = \begin{pmatrix}1&- 1\\5&1\end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}$.
    1. Calculer $PQ$ et $QP$. En déduire la matrice $P^{-1}$ en fonction de $Q$. \\ $P\times Q= \begin{pmatrix}1&- 1\\5&1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&0\\0&6\end{pmatrix}=6 Id_2$ $Q \times P = \begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1&- 1\\5&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&0\\0&6\end{pmatrix}=6 Id_2$, donc $P$ est inversible et
      $P^{- 1}=\dfrac{1}{6}Q=\dfrac{1}{6} \begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}$.
    2. Vérifier que la matrice $P^{-1}AP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera.
      $$P^{-1}AP=\dfrac{1}{6} \underbrace{ \begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,95&0,01\\0,05& 0,99\end{pmatrix}}\times \begin{pmatrix}1&- 1\\5&1\end{pmatrix} $$ $$P^{-1}AP=\dfrac{1}{6} \begin{pmatrix}1&-4,7\\1&0,94\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1&- 1\\5&1\end{pmatrix} $$ $$P^{-1}AP=\dfrac{1}{6} \begin{pmatrix}6&0\\0&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0,94\end{pmatrix} $$
      On a donc $P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&0\\0&0,94\end{pmatrix}=D $
    3. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, $A^n = P D^n P^{- 1}$.
      Montrons par récurrence sur $n$ que pour tout entier naturel $n$ non nul : $A^n = P \times D^n \times P^{- 1} $
      • Initialisation : $D=P^{- 1}\times A\times P$ (question précédente). d'où en multipliant à gauche par $P$ et à droite par $P^{- 1}$ , il vient :
        $P \times D^1 \times P^{- 1}=P\times P^{- 1}\times A\times P\times P^{- 1} $ et donc n a bien $A^1 = P \times D^1 \times P^{- 1}$
      • Hérédité : Supposons qu'il existe $k \geq 1$ tel que $A^k = P \times D^k \times P^{- 1}$. Alors $A^{k+1} = A^k \times A = \left(P \times D^k \times P^{- 1} \right) \times \left(P \times D \times P^{- 1} \right) =P \times D^k \times \left(P^{- 1} \times P \right) \times D \times P^{- 1} =$ $ P \times D^k \times I \times D \times P^{- 1} = P \times \left(D^k \times D \right)\times P^{- 1} =P \times D^{k+1}\times P^{- 1}$. La formule est donc vraie au rang $k + 1$. On a donc démontré par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul : $A^n = P \times D^n \times P^{- 1}$.
  4. Les résultats des questions précédentes permettent d'établir que \[v_{n} = \dfrac{1}{6}\left(1 + 5 \times 0,94^n\right)v_{0} + \dfrac{1}{6}\left(1 - 0,94^n\right)c_{0}.\] Quelles informations peut-on en déduire pour la répartition de la population de cette région à long terme ?
    Si $-1<q<1$ alors :$\lim\limits_{n \to +\infty}q^n=0$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty}0,94^n=0$
    $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{n \to +\infty}~\dfrac{1}{6}\left(1 + 5 \times 0,94^n\right)v_{0}= \dfrac{1}{6}v_0\\ \lim\limits_{n \to +\infty}~\dfrac{1}{6}\left(1 - 0,94^n\right)c_{0}=\dfrac{1}{6}c_0 \end{array}\right\}$ par somme on obtient: $\lim\limits_{n \to +\infty}~v_{n}= \dfrac{1}{6}v_0+ \dfrac{1}{6}c_0=\dfrac{1}{6}\left (v_0+c_0\right )=\dfrac{250\;000}{6}\approx 41 667$
    La population en ville sera, au bout d'un grand nombre d'années de 41 667 habitants, soit environ $\dfrac{1}{6}$ de la population totale .
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Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2013

Exercice 1 4 points


Commun à tous les candidats

Partie A
Restitution organisée de connaissances
Soit $\Delta$ une droite de vecteur directeur $\vec{v}$ et soit P un plan. On considère deux droites sécantes et contenues dans P : la droite D$_{1}$ de vecteur directeur $\vec{u_{1}}$ et la droite D$_{2}$ de vecteur directeur $\vec{u_{2}}$. Montrer que $\Delta$ est orthogonale à toute droite de P si et seulement si $\Delta$ est orthogonale à D$_{1}$ et à D$_{2}$.

Partie B
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les trois points
\[\text{A}(0 ; - 1 ; 1),\quad \text{B}(4 ; -3 ; 0)\:\: \text{et}\:\: \text{C}(- 1 ; -2 ; -1).\] On appelle P le plan passant par A, B et C. On appelle $\Delta$ la droite ayant pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& t\\y &=& 3t - 1\\z &=& -2t + 8 \end{array}\right.$ avec $t$ appartenant à $\mathbb{R}$. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

  1. Affirmation 1 : $\Delta$ est orthogonale à toute droite du plan P.
  2. Affirmation 2 : les droites $\Delta$ et (AB) sont coplanaires.
  3. Affirmation 3 : Le plan P a pour équation cartésienne $x + 3y - 2z + 5 = 0$.
  4. On appelle D la droite passant par l'origine et de vecteur directeur $\vec{u}(11 ; - 1 ; 4)$.
    Affirmation 4 : La droite D est strictement parallèle au plan d'équation $x + 3y - 2z + 5 = 0$.

Exercice 1 4 points


Commun à tous les candidats

Partie A
Restitution organisée de connaissances
Soit $\Delta$ une droite de vecteur directeur $\vec{v}$ et soit P un plan. On considère deux droites sécantes et contenues dans P : la droite D$_{1}$ de vecteur directeur $\vec{u_{1}}$ et la droite D$_{2}$ de vecteur directeur $\vec{u_{2}}$. Montrer que $\Delta$ est orthogonale à toute droite de P si et seulement si $\Delta$ est orthogonale à D$_{1}$ et à D$_{2}$.

Partie B
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les trois points
\[\text{A}(0 ; - 1 ; 1),\quad \text{B}(4 ; -3 ; 0)\:\: \text{et}\:\: \text{C}(- 1 ; -2 ; -1).\] On appelle P le plan passant par A, B et C. On appelle $\Delta$ la droite ayant pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& t\\y &=& 3t - 1\\z &=& -2t + 8 \end{array}\right.$ avec $t$ appartenant à $\mathbb{R}$. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

Si $\Delta$ est orthogonale à toute droite de $P$ alors $\Delta$ est en particulier orthogonale à $D_1$ et à $D_2$.

Réciproquement, si $\Delta$ est orthogonale à $D_1$ et $D_2$, on a alors $\vec{u_1}.\vec{v} = 0$ et $\vec{u_2}.\vec{v} = 0$. Les $2$ droites $D_1$ et $D_2$ étant sécantes, les vecteurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ forment une base du plan $P$.

Soit $\vec{u}$ un vecteur directeur d’une droite $D$ de $P$. Il existe donc $2$ réels $a$ et $b$ tels que : $\vec{u}=a\vec{u_1}+b\vec{u2}$.

Par conséquent $\vec{u}.\vec{v} = a\vec{u_1}.\vec{v}+b\vec{u_2}.\vec{v} = 0$.

Les droites $D$ et $\Delta$ sont bien orthogonales.

  1. Affirmation 1 : $\Delta$ est orthogonale à toute droite du plan P.
  2. $\vec{AB}(4;-2;-1)$ et $\vec{AC}(-1;-1;-2)$. On constate que $\dfrac{4}{-1} \ne \dfrac{-2}{-1}$. Par conséquent ces $2$ vecteurs ne sont colinéaires et les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont sécantes.
    Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{v}(1;3;-2)$.
    $\vec{v}.\vec{AB} = 1 \times 4 + 3 \times (-2) – 2 \times (-1) = 4 – 6 + 2 = 0$
    $\vec{v}.\vec{AC} = 1 \times (-1) + 3 \times (-1) – 2 \times (-2) = -1 – 3 + 4 = 0$
    La droite $\Delta$ est donc orthogonale à $2$ droites sécantes de $P$. Elle est, par conséquent, orthogonale à toute droite du plan $P$ d’après la propriété démontrée dans la partie A.
    Affirmation vraie
  3. Affirmation 2 : les droites $\Delta$ et (AB) sont coplanaires.
  4. Une représentation paramétrique de $(AB)$ est : $\left\{ \begin{array}{l} x=4k \\\\y=-1-2k \qquad k\in\mathbb{R}\\\\z=1-k \end{array} \right.$.
    Essayons de trouver un point commun à $(AB)$ et $\Delta$.
    $\left\{ \begin{array}{l} t=4k \\\\3t-1=-1-2k \\\\-2t+8=1-k \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=4k \\\\12k-1=-1-2k \\\\-8k-8=1-k \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=4k \\\\k=0 \\\\k=1 \end{array} \right.$
    Les $2$ droites sont orthogonales et n’ont pas de point commun. Elles ne sont donc pas coplanaires.
    Affirmation fausse
  5. Affirmation 3 : Le plan P a pour équation cartésienne $x + 3y - 2z + 5 = 0$.
  6. $\vec{v}(1;3;-2)$ est normal au plan $P$. Une équation cartésienne de $P$ est donc de la forme : $x+3y-2z+d = 0$.
    Le point $A\in P$. Donc $3 \times (-1) – 2 \times 1 + d = 0$ soit $d = 5$.
    Affirmation vraie
  7. On appelle D la droite passant par l'origine et de vecteur directeur $\vec{u}(11 ; - 1 ; 4)$.

    ffirmation 4
    : La droite D est strictement parallèle au plan d'équation $x + 3y - 2z + 5 = 0$.
  8. Regardons si $\vec{v}$ et $\vec{u}$ sont orthogonaux.
    $\vec{v}.\vec{u} = 11 \times 1 – 1 \times 3 + 4 \times (-2) = 11 – 3 – 8 = 0$.
    $D$ est donc parallèles au plan au plan $P$ ou contenue dans ce plan.
    Or l’origine du repère n’appartient pas au plan $P$ (car $0 \ne 5$).
    Affirmation fausse


Exercice 2 6 points


Commun à tous les candidats

Pour tout réel $k$ strictement positif, on désigne par $f_{k}$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ telle que :
\[f_{k}(x) = kx\text{e}^{-kx}.\] On note $\mathcal{C}_{k}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal $\left(\text{O}, \vec{i}, \vec{j}\right)$.
Partie A : Étude du cas $k = 1$
On considère donc la fonction $f_{1}$ définie sur $\mathbb{R}$ par
\[f_{1}(x) = x\text{e}^{- x}.\]

  1. Déterminer les limites de la fonction $f_{1}$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. En déduire que la courbe $\mathcal{C}_{1}$ admet une asymptote que l'on précisera.
  2. Étudier les variations de $f_{1}$ sur $\mathbb{R}$ puis dresser son tableau de variation sur $\mathbb{R}$.
  3. Démontrer que la fonction $g_{1}$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que : \[g_{1}(x) = - (x + 1)\text{e}^{- x}\] est une primitive de la fonction $f_{1}$ sur $\mathbb{R}$.
  4. Étudier le signe de $f_{1}(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$.
  5. Calculer, en unité d'aire, l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}_{1}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \ln 10$.



Partie B : Propriétés graphiques

On a représenté sur le graphique ci-dessous les courbes $\mathcal{C}_{2}$, $\mathcal{C}_{a}$ et $\mathcal{C}_{b}$ où $a$ et $b$ sont des réels strictement positifs fixés et T la tangente à $\mathcal{C}_{b}$ au point O origine du repère.

Antilles Sept 2013 Ex2 courbes

  1. Montrer que pour tout réel $k$ strictement positif, les courbes $\mathcal{C}_{k}$ passent par un même point.
    1. Montrer que pour tout réel $k$ strictement positif et tout réel $x$ on a \[f'_{k}(x) = k(1 - kx)\text{e}^{- kx}.\]
    2. Justifier que, pour tout réel $k$ strictement positif, $f_{k}$ admet un maximum et calculer ce maximum.
    3. En observant le graphique ci-dessus, comparer $a$ et 2. Expliquer la démarche.
    4. Écrire une équation de la tangente à $\mathcal{C}_{k}$ au point O origine du repère.
    5. En déduire à l'aide du graphique une valeur approchée de $b$.


Exercice 2 6 points


Commun à tous les candidats

Pour tout réel $k$ strictement positif, on désigne par $f_{k}$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ telle que :
\[f_{k}(x) = kx\text{e}^{-kx}.\] On note $\mathcal{C}_{k}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal $\left(\text{O}, \vec{i}, \vec{j}\right)$.
Partie A : Étude du cas $k = 1$
On considère donc la fonction $f_{1}$ définie sur $\mathbb{R}$ par
\[f_{1}(x) = x\text{e}^{- x}.\]

  1. Déterminer les limites de la fonction $f_{1}$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. En déduire que la courbe $\mathcal{C}_{1}$ admet une asymptote que l'on précisera.
  2. $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to - \infty}~x=- \infty\\ \lim\limits_{x \to - \infty}~\text{e\=\5 \end{array}\right\}$ par \8 on obtient: $\lim\limits_{x \to - \infty}~\6=\7$ ^\{-x\}|+\infty|f_1(x)|- \infty|produit} $f_1(x) = x\text{e}^{-x}=\dfrac{x}{\text{e}^{x}}$ D'après une limite usuelle , on a $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\text{e}^{x}}{x} =+\infty$, donc par inverse on obtient : $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x}{\text{e}^{x}} =0$
       Comme  $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f_1(x) = 0$; la courbe $\mathcal{C}_1$ possède donc une asymptote horizontale d’équation $y=0$ au voisinage de $+\infty$.
  3. Étudier les variations de $f_{1}$sur $\mathbb{R}$ puis dresser son tableau de variation sur $\mathbb{R}$.
  4. $f_1 $ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : 

    $f_1=uv$ d'où $f_1'=u' v+uv' $ avec pour tout réel $x$, dans $D_ \{ f_1\}$ :
    $$\left\{ \begin{array}{l} u(x)~ =x \\ v(x)~ =\text{e\ \end{array}\right.$$ d'où : $$\left\{ \begin{array}{l} u'(x)~ =\4 \\ v'(x)~ =\5 \end{array}\right.$$

    Ainsi :
     $$f_1'(x)=\left(\4\right) \times \left( \text{e\\right) +\left(\5\right) \times \left( x\right)$$

    ^\{-x\}|1|-\text\{e\}^\{-x\}}
    $$f_1'(x)=(1-x)\text{e}^{-x}$$
    Comme la fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ ; le signe de $f_1′(x)$ ne dépend que de celui de $1-x$. On obtient donc le tableau de variations suivant :

  5. Démontrer que la fonction $g_{1}$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que : \[g_{1}(x) = - (x + 1)\text{e}^{- x}\] est une primitive de la fonction $f_{1}$ sur $\mathbb{R}$.
  6. $g_1 $ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : 

    $g_1=uv$ d'où $g_1'=u' v+uv' $ avec pour tout réel $x$, dans $D_ \{ g_1\}$ :
    $$\left\{ \begin{array}{l} u(x)~ = - (x + 1) \\ v(x)~ =\text{e\ \end{array}\right.$$ d'où : $$\left\{ \begin{array}{l} u'(x)~ =\4 \\ v'(x)~ =\5 \end{array}\right.$$

    Ainsi :
     $$g_1'(x)=\left(\4\right) \times \left( \text{e\\right) +\left(\5\right) \times \left( - (x + 1)\right)$$

    ^\{-x\}|-1|-\text\{e\}^\{-x\}}
    $$g_1'(x)=(-1+x+1)\text{e}^{-x}=x\text{e}^{-x}=f_1(x)$$
    $g_1$ est donc bien une primitive de $f_1$ sur $\mathbb{R}$.
  7. Étudier le signe de $f_{1}(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$.
  8. Comme la fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ ; $f_1(x)$ est du signe de $x$. Donc $f_1(x) < 0$ sur $]-\infty;0[$, $f_1(x) > 0$ sur $]0;+\infty[$ et $f_1(0)=0$.
  9. Calculer, en unité d'aire, l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}_{1}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \ln 10$.
  10. L'aire demandée correspond donc à :
    $$\int_0^{\text{ln }10} f_1(x)\text{d}x = \left[-(x+1)\text{e}^{-x}\right]_0^{\text{ln } 10} = – \dfrac{\text{ln }(10) + 1}{10} + 1 = \dfrac{9 – \text{ln }(10)}{10} ~\text{u.a.}$$



Partie B : Propriétés graphiques

On a représenté sur le graphique ci-dessous les courbes $\mathcal{C}_{2}$, $\mathcal{C}_{a}$ et $\mathcal{C}_{b}$ où $a$ et $b$ sont des réels strictement positifs fixés et T la tangente à $\mathcal{C}_{b}$ au point O origine du repère.

Antilles Sept 2013 Ex2 courbes

  1. Montrer que pour tout réel $k$ strictement positif, les courbes $\mathcal{C}_{k}$ passent par un même point.
  2. $f_1(x) = kx\text{e}^{-kx}$ donc $f_k(0)=0$.
    Par conséquent toutes les courbes $\mathcal{C}_k$ passent par l’origine du repère.
    1. Montrer que pour tout réel $k$ strictement positif et tout réel $x$ on a \[f'_{k}(x) = k(1 - kx)\text{e}^{- kx}.\]
    2. $f_k $ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : 

      $f_k=uv$ d'où $f_k'=u' v+uv' $ avec pour tout réel $x$, dans $D_ \{ f_k\}$ :
      $$\left\{ \begin{array}{l} u(x)~ =x \\ v(x)~ =\text{e\ \end{array}\right.$$ d'où : $$\left\{ \begin{array}{l} u'(x)~ =\4 \\ v'(x)~ =\5 \end{array}\right.$$

      Ainsi :
       $$f_k'(x)=\left(\4\right) \times \left( \text{e\\right) +\left(\5\right) \times \left( x\right)$$

      ^\{-kx\}|1|-k\text\{e\}^\{-x\}}
      $$f_k'(x)=k(1 - kx)\text{e}^{- kx}$$
    3. Justifier que, pour tout réel $k$ strictement positif, $f_{k}$ admet un maximum et calculer ce maximum.
    4. $f_k’(x)$ est donc du signe de $(1-kx)$.
      La fonction $f_k$ est par conséquent croissante sur $\left]-\infty;\dfrac{1}{k}\right]$ et croissante sur $\left[\dfrac{1}{k};+\infty\right[$.
      Elle admet donc un maximum en $\dfrac{1}{k}$ et $f_k\left(\dfrac{1}{k}\right)=\text{e}^{-1}$.
    5. En observant le graphique ci-dessus, comparer $a$ et 2. Expliquer la démarche.
    6. L’abscisse du sommet est $\dfrac{1}{k}$. Graphiquement, on constate que le sommet de $\mathcal{C}_a$ est situé, horizontalement, avant celui de $\mathcal{C}_2$.
      Par conséquent $a > 2$.
    7. Écrire une équation de la tangente à $\mathcal{C}_{k}$ au point O origine du repère.
    8. La tangente $T_k$ à $\mathcal{C\$ au point d'abscisse $a= \3$ a pour équation : $$y=\6'(\3)(x-\3)+\6(\3)$$ Ici $a= \3$, on calcule successivement :

      • $\6\left(\3 \right)=\4$
      • $\6'\left (\3\right )=\5$

      Ainsi $T_k:y=\5\left (x-\3\right )+\4$

      _\{k\}|0|0|k|f_k}
      Une équation de la tangente en $O$ est donc $y= kx$.
    9. En déduire à l'aide du graphique une valeur approchée de $b$.
    10. On constate que le coefficient directeur de $T$ est environ $\dfrac{0,6}{0,2} = 3$. Donc $b=3$.

Exercice 3 4 points


Commun à tous les candidats

Une entreprise industrielle fabrique des pièces cylindriques en grande quantité. Pour toute pièce prélevée au hasard, on appelle $X$ la variable aléatoire qui lui associe sa longueur en millimètre et $Y$ la variable aléatoire qui lui associe son diamètre en millimètre. On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu_{1} = 36$ et d'écart-type $\sigma_{1} = 0,2$ et que $Y$ suit la loi normale de moyenne $\mu_{2} = 6$ et d'écart-type $\sigma_{2} = 0,05$.

  1. Une pièce est dite conforme pour la longueur si sa longueur est comprise entre $\mu_{1} - 3\sigma_{1}$ et $\mu_{1} + 3\sigma_{1}$. Quelle est une valeur approchée à $10^{- 3}$ près de la probabilité $p_{1}$ pour qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme pour la longueur ?

  2. Une pièce est dite conforme pour le diamètre si son diamètre est compris entre 5,88 mm et 6,12 mm. Le tableau donné ci-contre a été obtenu à l'aide d'un tableur. Il indique pour chacune des valeurs de $k$, la probabilité que $Y$ soit inférieure ou égal à cette valeur. Déterminer à $10^{- 3}$ près la probabilité $p_{2}$ pour qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme pour le diamètre (on pourra s'aider du tableau ci-contre). $$\begin{array}{|c|c|}\hline k & p(Y \leqslant k)\\ \hline 5,8 &3,16712 \text{E}-05\\ \hline 5,82 &0,000159109 \\ \hline 5,84 &0,000687138 \\ \hline 5,86 &0,00255513 \\ \hline 5,88 &0,008197536 \\ \hline 5,9 &0,022750132 \\ \hline 5,92 &0,054799292 \\ \hline 5,94 &0,11506967 \\ \hline 5,96 &0,211855399 \\ \hline 5,98 &0,344578258 \\ \hline 6 &0,5 \\ \hline 6,02 &0,655421742 \\ \hline 6,04 &0,788144601 \\ \hline 6,06 &0,88493033 \\ \hline 6,08 &0,945200708 \\ \hline 6,1 &0,977249868 \\ \hline 6,12 &0,991802464 \\ \hline 6,14 &0,99744487 \\ \hline 6,16 &0,999312862 \\ \hline 6,18 &0,999840891 \\ \hline 6,2 &0,999968329 \\ \hline \end{array}$$
  3. On prélève une pièce au hasard. On appelle $L$ l'évènement «la pièce est conforme pour la longueur » et $D$ l'évènement «la pièce est conforme pour le diamètre ».
    On suppose que les évènements $L$ et $D$ sont indépendants.
    1. Une pièce est acceptée si elle est conforme pour la longueur et pour le diamètre. Déterminer la probabilité pour qu'une pièce prélevée au hasard ne soit pas acceptée (le résultat sera arrondi à $10^{-2}$).
    2. Justifier que la probabilité qu'elle soit conforme pour le diamètre sachant qu'elle n'est pas conforme pour la longueur, est égale à $p_{2}$.

Exercice 3 4 points


Commun à tous les candidats

Une entreprise industrielle fabrique des pièces cylindriques en grande quantité. Pour toute pièce prélevée au hasard, on appelle $X$ la variable aléatoire qui lui associe sa longueur en millimètre et $Y$ la variable aléatoire qui lui associe son diamètre en millimètre. On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu_{1} = 36$ et d'écart-type $\sigma_{1} = 0,2$ et que $Y$ suit la loi normale de moyenne $\mu_{2} = 6$ et d'écart-type $\sigma_{2} = 0,05$.

  1. Une pièce est dite conforme pour la longueur si sa longueur est comprise entre $\mu_{1} - 3\sigma_{1}$ et $\mu_{1} + 3\sigma_{1}$. Quelle est une valeur approchée à $10^{- 3}$ près de la probabilité $p_{1}$ pour qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme pour la longueur ?

  2. On cherche donc la probabilité $P(µ1-3\sigma_1 \le X \le µ_1+3\sigma_1) \approx 0,997$ (formule du cours).

  3. Une pièce est dite conforme pour le diamètre si son diamètre est compris entre 5,88 mm et 6,12 mm.
    Le tableau donné ci-contre a été obtenu à l'aide d'un tableur. Il indique pour chacune des valeurs de $k$, la probabilité que $Y$ soit inférieure ou égal à cette valeur. Déterminer à $10^{- 3}$ près la probabilité $p_{2}$ pour qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme pour le diamètre (on pourra s'aider du tableau ci-contre).} $$\begin{array}{|c|c|}\hline k & p(Y \leqslant k)\\ \hline 5,8 &3,16712 \text{E}-05\\ \hline 5,82 &0,000159109 \\ \hline 5,84 &0,000687138 \\ \hline 5,86 &0,00255513 \\ \hline 5,88 &0,008197536 \\ \hline 5,9 &0,022750132 \\ \hline 5,92 &0,054799292 \\ \hline 5,94 &0,11506967 \\ \hline 5,96 &0,211855399 \\ \hline 5,98 &0,344578258 \\ \hline 6 &0,5 \\ \hline 6,02 &0,655421742 \\ \hline 6,04 &0,788144601 \\ \hline 6,06 &0,88493033 \\ \hline 6,08 &0,945200708 \\ \hline 6,1 &0,977249868 \\ \hline 6,12 &0,991802464 \\ \hline 6,14 &0,99744487 \\ \hline 6,16 &0,999312862 \\ \hline 6,18 &0,999840891 \\ \hline 6,2 &0,999968329 \\ \hline \end{array}$$
  4. On cherche donc $P(5,88 \le Y \le 6,12) = P(Y \le 6,12) – P(Y \le 5,88) \approx 0,984$.

    2ND DISTR 2NORMALFRép( 5.88 , 6.12,6,0.05)EXE
    Avec une calculatrice de type TI

    $$NormalFR\text{é}p(5.88,6.12,6,0.05) \approx 0.984$$

    $$P(5.88 \leq Y \leq 6.12)\approx 0.984 \text{ à } 10^{-3} \text{ près.}$$

     

  5. On prélève une pièce au hasard. On appelle $L$ l'évènement «la pièce est conforme pour la longueur » et $D$ l'évènement «la pièce est conforme pour le diamètre ».
    On suppose que les évènements $L$ et $D$ sont indépendants.
    1. Une pièce est acceptée si elle est conforme pour la longueur et pour le diamètre. Déterminer la probabilité pour qu'une pièce prélevée au hasard ne soit pas acceptée (le résultat sera arrondi à $10^{-2}$).
    2. On cherche donc $P(D \cap L) = P(D) \times P(L)$ car les$2$ événements sont indépendants.
      Par conséquent $p(D \cap L) = p_1 \times p_2 \approx 0,98 \text{ à } 10^{-2} \text{ près}$.
      La probabilité que la pièce ne soit pas acceptée est donc de $1-0,98 = 0,02$.
    3. Justifier que la probabilité qu'elle soit conforme pour le diamètre sachant qu'elle n'est pas conforme pour la longueur, est égale à $p_{2}$.
    4. $D$ et $L$ sont indépendants. Il en est donc de même pour $\bar{D}$ et $L$.
      Par conséquent $p_{\bar{D}}(L) = p(L) = p_2$.


Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les deux parties sont indépendantes.
Le robot Tom doit emprunter un pont sans garde-corps de 10 pas de long et de 2 pas de large. Sa démarche est très particulière :

  • Soit il avance d'un pas tout droit ;
  • Soit il se déplace en diagonale vers la gauche (déplacement équivalent à un pas vers la gauche et un pas tout droit) ;
  • Soit il se déplace en diagonale vers la droite (déplacement équivalent à un pas vers la droite et un pas tout droit).

On suppose que ces trois types de déplacement sont aléatoires et équiprobables.
L'objectif de cet exercice est d'estimer la probabilité $p$ de l'évènement $S$ «Tom traverse le pont » c'est-à-dire «Tom n'est pas tombé dans l'eau et se trouve encore sur le pont au bout de 10 déplacements ».
Partie A : modélisation et simulation
On schématise le pont par un rectangle dans le plan muni d'un repère orthonormé (O , I, J) comme l'indique la figure ci-dessous. On suppose que Tom se trouve au point de coordonnées (0 ; 0) au début de la traversée. On note $(x ; y)$ les coordonnées de la position de Tom après $x$ déplacements.
Figure

On a écrit l'algorithme suivant qui simule la position de Tom au bout de $x$ déplacements :

Antilles Septembre 2013 Ex4
$$\begin{array}{|l|}\hline x, y, n \text{ sont des entiers}\\ \text{ Affecter à } x \text{ la valeur 0}\\ \text{ Affecter à } y \text{ la valeur 0}\\ \text{ Tant que } y \geqslant - 1 \text{ et } y \leqslant 1 \text{ et } x \leqslant 9\\ \hspace{1.5cm}\text{ Affecter à } n \text{ une valeur choisie au hasard entre - 1, 0 et 1}\\ \hspace{1.5cm}\text{ Affecter à } y \text{ la valeur } y + n\\ \hspace{1.5cm}\text{ Affecter à } x \text{ la valeur } x + 1 \\ \text{ Fin tant que } \\ \text{ Afficher } \ll \text{ la position de Tom est } (x\; ;\;y) \gg \\ \hline \end{array}$$

  1. On donne les couples suivants : $(-1 ; 1)$ ; (10 ; 0); (2 ; 4) ; (10 ; 2). Lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme ? Justifier la réponse.
  2. Modifier cet algorithme pour qu'à la place de «la position de Tom est $(x ; y)$ », il affiche finalement «Tom a réussi la traversée » ou «Tom est tombé ».


Partie B
Pour tout $n$ entier naturel compris entre 0 et 10, on note :
$A_{n}$ l'évènement «après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée $- 1$ ».
$B_{n}$ l'évènement «après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée 0 ».
$C_{n}$ l'évènement «après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée 1 ». On note $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ les probabilités respectives des évènements $A_{n}, B_{n}, C_{n}$.

  1. Justifier que $a_{0} = 0, b_{0} = 1, c_{0} = 0$.
  2. Montrer que pour tout entier naturel $n$ compris entre $0$ et $9$, on a \[\left\{\begin{array}{l c l} a_{n+1} &=& \dfrac{a_{n} + b_{n}}{3}\\ b_{n+1} &=& \dfrac{a_{n} + b_{n} + c_{n}}{3} \end{array}\right.\]
    On pourra s'aider d'un arbre pondéré.
  3. Calculer les probabilités $p\left(A_{1}\right),\: p\left(B_{1}\right)$ et $p\left(C_{1}\right)$.
  4. Calculer la probabilité que Tom se trouve sur le pont au bout de deux déplacements.
  5. À l'aide d'un tableur, on a obtenu la feuille de calcul ci-contre qui donne des valeurs approchées de $a_{n},\: b_{n},\: c_{n}$ pour $n$ compris entre 0 et 10. Donner une valeur approchée à $0,001$ près de la probabilité que Tom traverse le pont (on pourra s'aider du tableau ci-dessous). $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline n &a_{n} &b_{n} &c_{n} \\ \hline 0 &0 &1 &0\\ \hline 1 &0,333333 &0,333333 &0,333333\\ \hline 2 &0,222222 &0,333333 &0,222222\\ \hline 3 &0,185185 &0,259259 &0,185185\\ \hline 4 &0,148148 &0,209877 &0,148148\\ \hline 5 &0,119342 &0,168724 &0,119342\\ \hline 6 &0,096022 &0,135802 &0,096022\\ \hline 7 &0,077275 &0,109282 &0,077275\\ \hline 8 &0,062186 &0,087944 &0,062186\\ \hline 9 &0,050043 &0,070772 &0,050043\\ \hline 10 &0,040272 &0,056953 &0,040272\\ \hline \end{array} $$

 


Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les deux parties sont indépendantes.
Le robot Tom doit emprunter un pont sans garde-corps de 10 pas de long et de 2 pas de large. Sa démarche est très particulière :

  • Soit il avance d'un pas tout droit ;
  • Soit il se déplace en diagonale vers la gauche (déplacement équivalent à un pas vers la gauche et un pas tout droit) ;
  • Soit il se déplace en diagonale vers la droite (déplacement équivalent à un pas vers la droite et un pas tout droit).

On suppose que ces trois types de déplacement sont aléatoires et équiprobables.
L'objectif de cet exercice est d'estimer la probabilité $p$ de l'évènement $S$ «Tom traverse le pont » c'est-à-dire «Tom n'est pas tombé dans l'eau et se trouve encore sur le pont au bout de 10 déplacements ».
Partie A : modélisation et simulation
On schématise le pont par un rectangle dans le plan muni d'un repère orthonormé (O , I, J) comme l'indique la figure ci-dessous. On suppose que Tom se trouve au point de coordonnées (0 ; 0) au début de la traversée. On note $(x ; y)$ les coordonnées de la position de Tom après $x$ déplacements.
Figure

On a écrit l'algorithme suivant qui simule la position de Tom au bout de $x$ déplacements :

Antilles Septembre 2013 Ex4
$$\begin{array}{|l|}\hline x, y, n \text{ sont des entiers}\\ \text{ Affecter à } x \text{ la valeur 0}\\ \text{ Affecter à } y \text{ la valeur 0}\\ \text{ Tant que } y \geqslant - 1 \text{ et } y \leqslant 1 \text{ et } x \leqslant 9\\ \hspace{1.5cm}\text{ Affecter à } n \text{ une valeur choisie au hasard entre - 1, 0 et 1}\\ \hspace{1.5cm}\text{ Affecter à } y \text{ la valeur } y + n\\ \hspace{1.5cm}\text{ Affecter à } x \text{ la valeur } x + 1 \\ \text{ Fin tant que } \\ \text{ Afficher } \ll \text{ la position de Tom est } (x\; ;\;y) \gg \\ \hline \end{array}$$

  1. On donne les couples suivants : $(-1 ; 1)$ ; (10 ; 0); (2 ; 4) ; (10 ; 2). Lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme ? Justifier la réponse.
  2. L’algorithme nous indique que nous sortons de la boucle quand $y < -1$,$y > 1$ ou $x>9$.
    La variable $x$ est initialisée à $0$ et est augmentée de $1$ à chaque tour de boucle. Elle ne prend donc que des valeurs positives.
    $(-1;1)$ ne peut donc pas être obtenu.
    $(10;0)$ correspond au cas où toutes les valeurs de $y$ sont comprises entre $-1$ et $1$. On sort donc de la boucle du fait de la condition sur $x$. Ce couple peut être obtenu.
    $(2;4)$ ne peut être obtenu car la plus grande valeur que peut prendre $y$ est $3$ (et on sort de la boucle à ce moment là!).
    $(10;2)$ peut être obtenu en étant parti précédemment su couple $(9;1)$ et ayant choisi $1$ pour $n$.
  3. Modifier cet algorithme pour qu'à la place de «la position de Tom est $(x ; y)$ », il affiche finalement «Tom a réussi la traversée » ou «Tom est tombé ».
  4. Si $(y \ge -1 \text{ et } y \le 1)$
    $\qquad$ alors Afficher « Tom a réussi la traversée ».
    $\qquad$ sinon Afficher « Tom est tombé ».
    Fin Si


Partie B
Pour tout $n$ entier naturel compris entre 0 et 10, on note :
$A_{n}$ l'évènement «après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée $- 1$ ».
$B_{n}$ l'évènement «après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée 0 ».
$C_{n}$ l'évènement «après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée 1 ». On note $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ les probabilités respectives des évènements $A_{n}, B_{n}, C_{n}$.

  1. Justifier que $a_{0} = 0, b_{0} = 1, c_{0} = 0$.
  2. Quand $n = 0$, Tom est au point de coordonnées $(0;0)$.
    Donc $a_0 = 0$, $b_0 = 1$ et $c_0 = 0$.
  3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ compris entre $0$ et $9$, on a \[\left\{\begin{array}{l c l} a_{n+1} &=& \dfrac{a_{n} + b_{n}}{3}\\ b_{n+1} &=& \dfrac{a_{n} + b_{n} + c_{n}}{3} \end{array}\right.\]
    On pourra s'aider d'un arbre pondéré.
  4. Si Tom se trouve sur un point d’ordonnée $-1$ après $(n+1)$ déplacements, c’est qu’il vient soit d’un point d’ordonnée $0$ (c’est-à-dire $B_n$) ou d’ordonnée $-1$ (c’est-à-dire $A_n$).
    Les trois types de déplacements sont équiprobables donc $a_{n+1} = \dfrac{a_n+b_n}{3}$.
    Si Tom se trouve sur un point d’ordonnée $0$ après $(n+1)$ déplacements, c’est qu’il vient d’un point d’ordonnée $-1$ ($A_n$), d’ordonnée $0$ ($B_n$) ou d’ordonnée $1$ ($C_n$).
    Les trois types de déplacements sont équiprobables donc $b_{n+1} = \dfrac{a_n+b_n+c_n}{3}$.
    Pour la même raison que pour $a_{n+1}$, on a $c_{n+1} = \dfrac{c_n+b_n}{3}$.
  5. Calculer les probabilités $p\left(A_{1}\right),\: p\left(B_{1}\right)$ et $p\left(C_{1}\right)$.
  6. $p(A_1) = \dfrac{0+1}{3} = \dfrac{1}{3}$ et $p(B_1) = \dfrac{0 + 1 0}{3}=\dfrac{1}{3}$.
    Au premier déplacement, Tom ne peut pas tomber donc $p(C_1) = 1 – p(A_1) – p(B_1) = \dfrac{1}{3}$.
  7. Calculer la probabilité que Tom se trouve sur le pont au bout de deux déplacements.
  8. $p(A_2) = \dfrac{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}}{3} = \dfrac{2}{9}$
    $p(B_2) = \dfrac{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}}{3} = \dfrac{1}{3}$
    $p(C_2) = \dfrac{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}}{3} = \dfrac{2}{9}$.
  9. À l'aide d'un tableur, on a obtenu la feuille de calcul ci-contre qui donne des valeurs approchées de $a_{n},\: b_{n},\: c_{n}$ pour $n$ compris entre 0 et 10. Donner une valeur approchée à $0,001$ près de la probabilité que Tom traverse le pont (on pourra s'aider du tableau ci-dessous). $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline n &a_{n} &b_{n} &c_{n} \\ \hline 0 &0 &1 &0\\ \hline 1 &0,333333 &0,333333 &0,333333\\ \hline 2 &0,222222 &0,333333 &0,222222\\ \hline 3 &0,185185 &0,259259 &0,185185\\ \hline 4 &0,148148 &0,209877 &0,148148\\ \hline 5 &0,119342 &0,168724 &0,119342\\ \hline 6 &0,096022 &0,135802 &0,096022\\ \hline 7 &0,077275 &0,109282 &0,077275\\ \hline 8 &0,062186 &0,087944 &0,062186\\ \hline 9 &0,050043 &0,070772 &0,050043\\ \hline 10 &0,040272 &0,056953 &0,040272\\ \hline \end{array} $$
  10. Les trois événements $A_{10}$, $B_{10}$ et $C_{10}$ sont disjoints donc :
    $$p(A_{10} \cup B_{10} \cup C_{10}) = a_{10}+b_{10}+c_{10} \approx 0,137$$

 


Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A
On considère l'algorithme suivant :
$$\begin{array}{|l|}\hline A \text{ et } X \text{sont des nombres entiers }\\ \text{ Saisir un entier positif } A\\ \text{ Affecter à } X \text{ la valeur de } A\\ \text{ Tant que } X \text{ supérieur ou égal à 26}\\ \hspace{1.25cm}\text{ Affecter à } X \text{ la valeur } X - 26\\ \text{ Fin du tant que }\\ \text{ Afficher } X\\ \hline \end{array}$$

  1. Qu'affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 3 ?
  2. Qu'affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 55 ?
  3. Pour un nombre entier saisi quelconque, que représente le résultat fourni par cet algorithme?


Partie B
On veut coder un bloc de deux lettres selon la procédure suivante (détaillée en quatre étapes) :
Étape 1 : chaque lettre du bloc est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M\\\hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\\hline \hline N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z \\ \hline 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\\hline \end{array}$$

On obtient une matrice colonne $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ où $x_{1}$ correspond à la première lettre du mot et $x_{2}$ correspond à la deuxième lettre du mot.

Étape 2 : $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ est transformé en $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ tel que
\[\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}\]
La matrice $C = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}$ est appelée la matrice de codage.

Étape 3 : $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ est transformé en $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ tel que \[\left\{\begin{array}{l c l c l c l l} z_{1}& \equiv& y_{1}\: (26)& \text{avec}\:\: 0 &\leqslant& z_{1}&\leqslant& 25\\ z_{2}& \equiv& y_{2}\: (26)& \text{avec}\:\: 0 &\leqslant& z_{2}&\leqslant& 25 \end{array}\right.\]
Étape 4 : $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ est transformé en un bloc de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné dans l'étape 1.
\begin{array}{|l} \text{ Exemple } : \text{ RE } \to \begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}\to \text{ DP }\\ \text{Le bloc RE est donc codé en DP}\\ \end{array} Justifier le passage de $\begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}$ à $\begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix}$ puis à $\begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}$.

  1. Soient $x_{1},\:x_{2},\:x'_{1},\:x'_{2}$ quatre nombres entiers compris entre 0 et 25 tels que $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}x'_{1}\\x'_{2}\end{pmatrix}$ sont transformés lors du procédé de codage en $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$.
    1. Montrer que $\left\{\begin{array}{l c l} 3x_{1}+ x_{2} & \equiv& 3x'_{1} + x'_{2} \quad (26)\\ 5x_{1}+ 2x_{2}&\equiv&5x'_{1} + 2x'_{2} \quad (26). \end{array}\right.$
    2. En déduire que $x_{1} \equiv x'_{1}\quad (26)$ et $x_{2} \equiv x'_{2} \quad (26)$ puis que $x_{1} = x'_{1}$ et $x_{2} = x'_{2}$.
  2. On souhaite trouver une méthode de décodage pour le bloc DP :
    1. Vérifier que la matrice $C' = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}$ est la matrice inverse de $C$.
    2. Calculer $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ tels que $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}$.
    3. Calculer $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ tels que $\left\{\begin{array}{l c l} x_{1}&\equiv &y_{1}\quad (26)\:\: \text{avec}\:0 \leqslant x_{1} \leqslant 25\\ x_{2}&\equiv &y_{2}\quad (26)\:\: \text{avec}\:0 \leqslant x_{2} \leqslant 25\\ \end{array}\right.$
    4. Quel procédé général de décodage peut-on conjecturer ?
  3. Dans cette question nous allons généraliser ce procédé de décodage. On considère un bloc de deux lettres et on appelle $z_{1}$ et $z_{2}$ les deux entiers compris entre 0 et 25 associés à ces lettres à l'étape 3. On cherche à trouver deux entiers $x_{1}$ et $x_{2}$ compris entre 0 et 25 qui donnent la matrice colonne $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ par les étapes 2 et 3 du procédé de codage. Soient $y'_{1}$ et $y'_{2}$ tels que $\begin{pmatrix}y'_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = C' \begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ où $C' = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}$.
    Soient $x_{1}$ et $x_{2}$, les nombres entiers tels que $\left\{\begin{array}{l c l} x_{1}&\equiv & y'_{1} \quad (26) \: \text{avec}\:0 \leqslant x_{1}\leqslant 25\\ x_{2}&\equiv &y'_{2} \quad (26) \: \text{avec}\:0 \leqslant x_{2}\leqslant 25 \end{array}\right.$
    Montrer que $\left\{\begin{array}{l c l} 3x_{1}+ x_{2} & \equiv& z_{1} \quad (26)\\ 5x_{1}+ 2x_{2}&\equiv&z_{2} \quad (26). \end{array}\right.$. Conclure.
  4. Décoder QC.


Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A
On considère l'algorithme suivant :
$$\begin{array}{|l|}\hline A \text{ et } X \text{sont des nombres entiers }\\ \text{ Saisir un entier positif } A\\ \text{ Affecter à } X \text{ la valeur de } A\\ \text{ Tant que } X \text{ supérieur ou égal à 26}\\ \hspace{1.25cm}\text{ Affecter à } X \text{ la valeur } X - 26\\ \text{ Fin du tant que }\\ \text{ Afficher } X\\ \hline \end{array}$$

  1. Qu'affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 3 ?
  2. Si on saisit le nombre $3$, l’algorithme affiche $3$.
  3. Qu'affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 55 ?
  4. Si on saisit le nombre $55$ l’algorithme affiche $3$.
  5. Pour un nombre entier saisi quelconque, que représente le résultat fourni par cet algorithme?
  6. Cet algorithme fournit le reste de la division euclidienne de $A$ par $26$.


Partie B
On veut coder un bloc de deux lettres selon la procédure suivante (détaillée en quatre étapes) :
Étape 1 : chaque lettre du bloc est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M\\\hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\\hline \hline N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z \\ \hline 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\\hline \end{array}$$

On obtient une matrice colonne $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ où $x_{1}$ correspond à la première lettre du mot et $x_{2}$ correspond à la deuxième lettre du mot.

Étape 2 : $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ est transformé en $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ tel que
\[\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}\]
La matrice $C = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}$ est appelée la matrice de codage.

Étape 3 : $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ est transformé en $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ tel que \[\left\{\begin{array}{l c l c l c l l} z_{1}& \equiv& y_{1}\: (26)& \text{avec}\:\: 0 &\leqslant& z_{1}&\leqslant& 25\\ z_{2}& \equiv& y_{2}\: (26)& \text{avec}\:\: 0 &\leqslant& z_{2}&\leqslant& 25 \end{array}\right.\]
Étape 4 : $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ est transformé en un bloc de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné dans l'étape 1.
\begin{array}{|l} \text{ Exemple } : \text{ RE } \to \begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}\to \text{ DP }\\ \text{Le bloc RE est donc codé en DP}\\ \end{array} Justifier le passage de $\begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}$ à $\begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix}$ puis à $\begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}$.

  • Étape 1 :$\text{ RE } \to \begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}$ en utilisant le tableau
  • Étape 2 :$\begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}$ est transformé en $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ tel que
    \[\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\times 17 + 1\times 4\\5\times 17 + 2\times 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix}\]
  • Étape 3 : \[\left\{\begin{array}{l c l c l c l l} 55& \equiv& 3\: (26)& \text{avec}\:\: 0 &\leqslant& 3&\leqslant& 25\\93& \equiv& 15\: (26)& \text{avec}\:\: 0 &\leqslant& 13&\leqslant& 25 \end{array}\right.\]
  • Étape 4 :$ \begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix} \to \text{ DP } $ en utilisant le tableau
    On a donc bien : \begin{array}{|l}  \text{ RE } \to \begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}\to \text{ DP }\\ \text{Le bloc RE est donc codé en DP}\\ \end{array}
  1. Soient $x_{1},\:x_{2},\:x'_{1},\:x'_{2}$ quatre nombres entiers compris entre 0 et 25 tels que $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}x'_{1}\\x'_{2}\end{pmatrix}$ sont transformés lors du procédé de codage en $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$.
    1. Montrer que $\left\{\begin{array}{l c l} 3x_{1}+ x_{2} & \equiv& 3x'_{1} + x'_{2} \quad (26)\\ 5x_{1}+ 2x_{2}&\equiv&5x'_{1} + 2x'_{2} \quad (26). \end{array}\right.$
    2. On a donc $y_1 = 3x_1 + x_2$ et $y_2=5x_1+2x_2$ ainsi que $y’_1 = 3x’_1+x’_2$ et $y’_2=5x’_1+2x’_2$.
      Or $z_1 \equiv y_1~(26)$ et $z_1 \equiv y’_1~(26)$ par conséquent $y_1 \equiv y’_1 ~(26)$.
      D’où $3x_1+x_2 \equiv 3x’_1+x’_2 ~(26)$.
      De même $z_2 \equiv y_2 ~(26)$ et $z_2 \equiv y’_2 ~(26)$ par conséquent $y_2 \equiv y’_2 ~(26)$
      Et $5x_1+2x_2 \equiv 5x’_1 + 2x’_2 ~(26)$.
    3. En déduire que $x_{1} \equiv x'_{1}\quad (26)$ et $x_{2} \equiv x'_{2} \quad (26)$ puis que $x_{1} = x'_{1}$ et $x_{2} = x'_{2}$.
    4. On appelle $L_1$ la ligne $3x_1 + x_2 \equiv 3x’_1 + x’_2 ~(26)$ et $L_2$ la ligne $5x_1 + 2x_2 \equiv 5x’_1 + 2x’_2 ~(26)$.
      Alors $2l_1-L2$ donne $x_1 \equiv x’_1~(26)$ et $3L_2 – 5L_1$ donne $x_2 \equiv x’_2~(26)$.
      Les nombres $x_1$, $x_2$, $x’_1$ et $x’_2$ sont des entiers compris entre $0$ et $25$.
      Par conséquent ils sont égaux à leur reste dans la division euclidienne par $26$.
      Cela signifie donc que $x_1 = x’_1$ et $x_2 = x’_2$.
  2. On souhaite trouver une méthode de décodage pour le bloc DP :
    1. Vérifier que la matrice $C' = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}$ est la matrice inverse de $C$.
    2. $C \times C’ = \left( \begin{matrix} 1&0\\\\0&1 \end{matrix} \right)$. Par conséquent $C’$ est bien la matrice inverse de la matrice $C$.
    3. Calculer $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ tels que $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}$.
    4. $\left( \begin{matrix} y_1 \\\\ y_2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 \times 3 – 1 \times 15 \\\\-5 \times 3 + 3 \times 15 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -9 \\\\ 30 \end{matrix} \right)$
    5. Calculer $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ tels que $\left\{\begin{array}{l c l} x_{1}&\equiv &y_{1}\quad (26)\:\: \text{avec}\:0 \leqslant x_{1} \leqslant 25\\ x_{2}&\equiv &y_{2}\quad (26)\:\: \text{avec}\:0 \leqslant x_{2} \leqslant 25\\ \end{array}\right.$
    6. Alors $-9 = -26 + 17$ donc $x_1 = 17$ et $30 = 26 + 4$ d’où $x_2 = 4$.
    7. Quel procédé général de décodage peut-on conjecturer ?
    8. On peut donc conjecturer que $\left\{\begin{array}{lr} x_1\equiv 2y_1 – y_2~(26) & \text{avec } 0 \le x_1 \le 25 \\\\x_2 \equiv -5y_1 + 3y_2~(26) & \text{avec } 0 \le x_2 \le 25 \end{array} \right.$
  3. Dans cette question nous allons généraliser ce procédé de décodage. On considère un bloc de deux lettres et on appelle $z_{1}$ et $z_{2}$ les deux entiers compris entre 0 et 25 associés à ces lettres à l'étape 3. On cherche à trouver deux entiers $x_{1}$ et $x_{2}$ compris entre 0 et 25 qui donnent la matrice colonne $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ par les étapes 2 et 3 du procédé de codage. Soient $y'_{1}$ et $y'_{2}$ tels que $\begin{pmatrix}y'_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = C' \begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ où $C' = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}$.
    Soient $x_{1}$ et $x_{2}$, les nombres entiers tels que $\left\{\begin{array}{l c l} x_{1}&\equiv & y'_{1} \quad (26) \: \text{avec}\:0 \leqslant x_{1}\leqslant 25\\ x_{2}&\equiv &y'_{2} \quad (26) \: \text{avec}\:0 \leqslant x_{2}\leqslant 25 \end{array}\right.$
    Montrer que $\left\{\begin{array}{l c l} 3x_{1}+ x_{2} & \equiv& z_{1} \quad (26)\\ 5x_{1}+ 2x_{2}&\equiv&z_{2} \quad (26). \end{array}\right.$. Conclure.
  4. $3x_1+x_2 \equiv 6y_1 – 3y_2 – 5y_1 + 3y_2 \equiv y_1 \equiv z_1 ~(26)$
    $5x_1+2x_2 \equiv 10y_1 – 5y_2 – 10y_1 + 6y_2 \equiv y_2 \equiv z_2 ~(26)$
    Par conséquent $\left( \begin{matrix} x_1 \\\\ x_2 \end{matrix} \right)$ est bien le couple de nombres initial ayant permis d’obtenir $\left( \begin{matrix} y_1 \\\\ y_2 \end{matrix} \right)$ à l’aide du procédé de codage.
  5. Décoder QC.
  6. $QC \rightarrow \left( \begin{matrix} 16 \\\\ 2 \end{matrix} \right)$
    Alors $y’_1 = 16 \times 2 – 1 \times 2 = 30$ et $y’_2 = -5 \times 16 + 3 \times 2 = -74$.
    Par conséquent $x’_1 = 4$ et $x’_2 = 4$.
    Le code $QC$ provenait donc de $EE$.

 

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Baccalauréat S Asie 18 juin 2013

Exercice 1  5 points


Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième.

Partie A
Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète 80 % de ses boîtes chez le fournisseur A et 20  % chez le fournisseur B.
10 % des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20 % de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides. On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants :

  • évènement A : «la boîte provient du fournisseur A »
  • évènement B : «la boîte provient du fournisseur B »
  • évènement S : «la boîte présente des traces de pesticides ».

 

  1. Traduire l'énoncé sous forme d'un arbre pondéré.
    1. Quelle est la probabilité de l'évènement $B \cap \overline{S}$ ?
    2. Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à $0,88$.
  2. On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides.
    Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?


Partie B
Le gérant d'un salon de thé achète $10$ boîtes chez le grossiste précédent. On suppose que le stock de ce dernier est suffisamment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de $10$ boîtes avec remise. On considère la variable aléatoire $X$ qui associe à ce prélèvement de $10$ boîtes, le nombre de boîtes sans trace de pesticides.

  1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
  2. Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides.
  3. Calculer la probabilité qu'au moins $8$ boîtes ne présentent aucune trace de pesticides.

Partie C
À des fins publicitaires, le grossiste affiche sur ses plaquettes: «88 % de notre thé est garanti sans trace de pesticides ».
Un inspecteur de la brigade de répression des fraudes souhaite étudier la validité de l'affirmation. À cette fin, il prélève $50$ boîtes au hasard dans le stock du grossiste et en trouve $12$ avec des traces de pesticides.
On suppose que, dans le stock du grossiste, la proportion de boîtes sans trace de pesticides est bien égale à $0,88$. On note $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $50$ boîtes, associe la fréquence des boîtes ne contenant aucune trace de pesticides.

  1. Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire $F$ au seuil de 95 %.
  2. L'inspecteur de la brigade de répression peut-il décider, au seuil de 95 %, que la publicité est mensongère ?

Exercice 1 5 points


Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième.

Partie A
Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète 80 % de ses boîtes chez le fournisseur A et 20 % chez le fournisseur B.
10 % des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20 % de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides. On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants :

  • évènement A : «la boîte provient du fournisseur A »
  • évènement B : «la boîte provient du fournisseur B »
  • évènement S : «la boîte présente des traces de pesticides ».

 

  1. Traduire l'énoncé sous forme d'un arbre pondéré.
    1. Quelle est la probabilité de l'évènement $B \cap \overline{S}$ ?
    2. $p \left( B \cap \bar{S} \right) = 0,2 \times 0,8 = 0,16$
    3. Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à $0,88$.
    4. On utilise la propriété des probabilités totales.
      $p\left( \bar{S} \right) = p \left( A \cap \bar{S} \right) + p \left( B \cap \bar{S} \right)$ $=0,8\times 0,9 + 0,16 $ $=0,88$
  2. On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides.
    Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?
  3. On cherche $p_S(B) = \dfrac{p(B \cap S)}{p(S)} = \dfrac{0,2 \times 0,2}{1 – 0,88}$ $= \dfrac{1}{3}$ $\approx 0,33$


Partie B
Le gérant d'un salon de thé achète $10$ boîtes chez le grossiste précédent. On suppose que le stock de ce dernier est suffisamment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de $10$ boîtes avec remise. On considère la variable aléatoire $X$ qui associe à ce prélèvement de $10$ boîtes, le nombre de boîtes sans trace de pesticides.

  1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
  2. On répète $10$  fois, de façon indépendante, l’expérience «On tire au hasard une boîte chez le grossiste » qui comporte 2 issues :

    • « La boîte est sans trace de pesticides » considéré comme succès, de probabilité $p=0,88$
    • « La boîte présente des traces de pesticides » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=0,12$

    Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $X$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $10$  et $0,88$ notée $\mathscr{B}(10;0,88)$ .

    Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq 10$, on a $$P(X=k)=\binom{10}{k}\times \left(0,88\right)^k\times\left( 0,12\right)^{10-k}$$

  3. Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides.
  4. 2ND DISTR 0binomFdP( 10 , 0,88,10)EXE
    Avec une calculatrice de type TI $binomFdP(10,0,88,10) \approx 0,89$

    $$P( X = 10)\approx 0,89 \text{ à } 10^{-2} \text{ près.}$$
  5. Calculer la probabilité qu'au moins $8$ boîtes ne présentent aucune trace de pesticides.

Partie C
À des fins publicitaires, le grossiste affiche sur ses plaquettes: «88 % de notre thé est garanti sans trace de pesticides ».
Un inspecteur de la brigade de répression des fraudes souhaite étudier la validité de l'affirmation. À cette fin, il prélève $50$ boîtes au hasard dans le stock du grossiste et en trouve $12$ avec des traces de pesticides.
On suppose que, dans le stock du grossiste, la proportion de boîtes sans trace de pesticides est bien égale à $0,88$. On note $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $50$ boîtes, associe la fréquence des boîtes ne contenant aucune trace de pesticides.

  1. Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire $F$ au seuil de 95 %.
  2. La proportion $p$ est égale à  $0,88$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $50.$
    Comme  $ n =50$ ,   $n \times p  $=44  et $n\times (1-p)=6,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

    En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


    L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{50} = \left[0,88 - 1,96\sqrt{\dfrac{0,88\times 0,12}{50}}~;~0,88 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,88\times 0,12}{50}} \right]$$ 

    $$I_{50}= [0,78;0,98]$$
  3. L'inspecteur de la brigade de répression peut-il décider, au seuil de 95 %, que la publicité est mensongère ?
  4. La fréquence observée du nombres de boîtes ne contenant pas de pesticides est $f = \frac{50 – 12}{50} = 0,76$.
    $~$
    Mais $f \notin I_{50}$ et $f < 0,78$. L’échantillon n’est pa représentatif de ce qu’annonce le grossiste.
    $~$
    L’inspecteur de la brigade de répression peut décider que la publicité est mensongère.

 

Exercice 2      6 points


Commun à tous les candidats


On considère les fonctions $f$ et $g$ définies pour tout réel $x$ par :
\[f(x) = \text{e}^x \quad \text{et}\quad g(x) = 1 - \text{e}^{- x}.\] Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan, notées respectivement $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$, sont fournies en annexe.
Partie A
Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes. Tracer aux mieux ces tangentes sur la figure de l'annexe.
Partie B

Dans cette partie, on admet l'existence de ces tangentes communes.
On note $\mathcal{D}$ l'une d'entre elles. Cette droite est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A d'abscisse $a$ et tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point B d'abscisse $b$.

    1. Exprimer en fonction de $a$ le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A.
    2. Exprimer en fonction de $b$ le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point B.
    3. En déduire que $b = - a$.
  1. Démontrer que le réel $a$ est solution de l'équation \[2( x - 1)\text{e}^x + 1 = 0.\]

Partie C
On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\mathbb{R}$ par
\[\varphi(x) = 2(x -1)\text{e}^x + 1.\]

    1. Calculer les limites de la fonction $\varphi$ en $- \infty$ et $+ \infty$.
    2. Calculer la dérivée de la fonction $\varphi$, puis étudier son signe.
    3. Dresser le tableau de variation de la fonction $\varphi$ sur $\mathbb{R}$. Préciser la valeur de $\varphi(0)$.
    1. Démontrer que l'équation $\varphi(x) = 0$ admet exactement deux solutions dans $\mathbb{R}$.
    2. On note $\alpha$ la solution négative de l'équation $\varphi(x) = 0$ et $\beta$ la solution positive de cette équation. À l'aide d'une calculatrice, donner les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ arrondies au centième.


Partie D
Dans cette partie, on démontre l'existence de ces tangentes communes, que l'on a admise dans la partie B. On note E le point de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ d'abscisse $\alpha$ et F le point de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ d'abscisse $- \alpha$ ($\alpha$ est le nombre réel défini dans la partie C).

  1. Démontrer que la droite (EF) est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point E.
  2. Démontrer que (EF) est tangente à $\mathcal{C}_{g}$ au point F.

Annexe Exercice 2 à rendre avec la copie

 


 

Exercice 2 6 points


Commun à tous les candidats


On considère les fonctions $f$ et $g$ définies pour tout réel $x$ par :
\[f(x) = \text{e}^x \quad \text{et}\quad g(x) = 1 - \text{e}^{- x}.\] Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan, notées respectivement $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$, sont fournies en annexe.
Partie A
Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes. Tracer aux mieux ces tangentes sur la figure de l'annexe.
Partie B

Dans cette partie, on admet l'existence de ces tangentes communes.
On note $\mathcal{D}$ l'une d'entre elles. Cette droite est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A d'abscisse $a$ et tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point B d'abscisse $b$.

    1. Exprimer en fonction de $a$ le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A.
    2. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A est égal à $f'(a)$.
      Or $f'(x) = \text{e}^{x}$,
      donc $f'(a) = \text{e}^{a}$.
    3. Exprimer en fonction de $b$ le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point B.
    4. De même le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point B est égal à $g'(b)$.
      Or $g'(x) = - \left(- \text{e}^{-x}\right)=\text{e}^{-x}$,
      donc $g'(b) = \text{e}^{- b}$.
    5. En déduire que $b = - a$.
    6. Si les deux tangentes sont égales le coefficient directeur de leurs équations réduites sont égaux, soit : $f'(a) = g'(b) \iff \text{e}^{a} = \text{e}^{- b}$ et appliquant la fonction logarithme népérien : $a = - b \iff b = - a$.
  1. Démontrer que le réel $a$ est solution de l'équation \[2( x - 1)\text{e}^x + 1 = 0.\]
  2. Une équation réduite de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A est égale à :
    $$y - \text{e}^a = \text{e}^{a}(x - a) \iff y = x\text{e}^{a} + \text{e}^a(1 - a)$$ Une équation réduite de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point B est égale à : $$y - \left(1 - \text{e}^{- b}\right) = \text{e}^{- b}(x - b) \iff y = x\text{e}^{ - b} + 1 - \text{e}^{- b} - b\text{e}^{- b}$$
    Ou en remplaçant $- b$ par $a$ : $$y = x\text{e}^{a} + 1 - \text{e}^{a} + a\text{e}^{a} \iff y = x\text{e}^{a} + 1 + \text{e}^{a}(a - 1)$$ Si les deux tangentes sont égales, leurs équations réduites sont les mêmes. On a déjà vu l'égalité des coefficients directeurs.
    Les ordonnées à l'origine sont aussi les mêmes soit : $\text{e}^a(1 - a) = 1 + \text{e}^{a}(a - 1) \iff \text{e}^a(2 - 2a) = 1 \iff 2(a - 1)\text{e}^a + 1 = 0$.
    Donc $a$ est solution de l'équation dans $\mathbb R$ : $$2( x -1)\text{e}^x + 1 = 0.$$

Partie C
On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\mathbb{R}$ par
\[\varphi(x) = 2(x -1)\text{e}^x + 1.\]

    1. Calculer les limites de la fonction $\varphi$ en $- \infty$ et $+ \infty$.
    2. Sur $\mathbb R$, : $\varphi(x) = 2x\text{e}^x - 2\text{e}^x + 1$.
      On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$, d'où par somme de limite : $\displaystyle\lim_{x to - \infty} \varphi(x) = 1$.
      La droite d'équation $y = 1$ est asymptote horizontale à la courbe représentative de $\varphi$.
      On a $\displaystyle\lim_{x to + \infty} (x - 1) = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty$, d'où par somme de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \varphi(x) = + \infty$.
    3. Calculer la dérivée de la fonction $\varphi$, puis étudier son signe.
    4. Somme de fonctions dérivable sur $\mathbb R$, $\varphi$ est dérivable sur $\mathbb R$ et : $\varphi'(x) = 2\text{e}^x + 2(x - 1)\text{e}^x = 2x\text{e}^x$.
      Comme, quel que soit $x \in \mathbb R$; \: $\text{e}^x > 0$, le signe de $\varphi'(x)$ est celui de $x$. Donc sur $]- \infty~;~0[, \, \varphi'(x) < 0$ : la fonction est décroissante sur cet intervalle et sur $]0~;~+ \infty[$, :$\varphi'(x) > 0$ : la fonction $\varphi$ est croissante sur cet intervalle.
      D'où le tableau de variations :
    5. Dresser le tableau de variation de la fonction $\varphi$ sur $\mathbb{R}$. Préciser la valeur de $\varphi(0)$.
    6. $$\varphi(0)=-2e^0 + 1 = -1$$
    1. Démontrer que l'équation $\varphi(x) = 0$ admet exactement deux solutions dans $\mathbb{R}$.
      • En appliquant le théorème de la bijection sur $]-\infty;0[$ :
        D'après le théorème de la bijection :
        • $\varphi $ est une fonction dérivable (donc continue) sur l' intervalle $I = \left]-\infty ; 0\right]$.
        • $\varphi$ est strictement décroissante sur l' intervalle $I = \left]-\infty ; 0\right]$.
        • $\lim\limits_{x \to -\infty}~\varphi(x)=-1$ et $\varphi \left(0\right)=+\infty$
        $\varphi$ réalise donc une bijection de $\left]-\infty ; 0\right]$ sur $\left[+\infty;-1\right[$
        $0\in \left[+\infty;-1\right[$,
        donc l'équation $\varphi(x) = 0 $ a une racine unique $\beta$ dans $\left]-\infty ; 0\right]$ .
        $\varphi(-1,68)\approx 0,001$ et $\varphi(-1,67)\approx -0,005$ Ainsi $\varphi(-1,67) <\varphi(\beta)<\varphi(-1,68)$, comme $\varphi$ est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$; on déduit : $-1,68\leqslant\beta\leqslant-1,67$
        $ \beta\approx -1,67$
        Détaillons la démarche !
        La calculatrice donne successivement :
        $\varphi(- 2) \approx 0,18$ et $\varphi(- 1) \approx -0,47$, donc $- 2 < \beta < - 1$ ;
        $\varphi(- 1,7) \approx 0,013$ et $\varphi(- 1,6) \approx -0,05$, donc $- 1,7 < \beta < - 1,6$ ;
        $\varphi(- 1,68) \approx 0,001$ et $\varphi(- 1,67) \approx -0,005$, donc $- 1,68 < \beta < - 1,67$ ;
        Conclusion au centième près $\alpha \approx - 1,68$.
      • En appliquant le théorème de la bijection sur $[0;+\infty[$ :
        D'après le théorème de la bijection :
        • $\varphi $ est une fonction dérivable  donc  continue  sur l' intervalle $I = \left[0 ; -1\right[$.
        • $\varphi$ est strictement croissante sur l' intervalle $I = \left[0 ; -1\right[$.
        • $\varphi \left(0\right)=+\infty$ et $\lim\limits_{x \to -1}~\varphi(x)=+\infty$
        $\varphi$ réalise donc une bijection de $\left[0 ; -1\right[$ sur $\left[+\infty;+\infty\right[$
        $0\in \left[+\infty;+\infty\right[$,
        donc l'équation $\varphi(x) = 0 $ a une racine unique $\alpha$ dans $\left[0 ; -1\right[$ .

        $\varphi(0,76)\approx -0,03$ et $\varphi(0,77)\approx 0,006$\\ Ainsi $\varphi(0,76)<\varphi(\alpha)<\varphi(0,77)$, comme $\varphi$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$; on déduit : $0,76\leqslant\alpha\leqslant0,77$
        $\alpha\approx 0,77$
    2. On note $\alpha$ la solution négative de l'équation $\varphi(x) = 0$ et $\beta$ la solution positive de cette équation. À l'aide d'une calculatrice, donner les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ arrondies au centième.


Partie D
Dans cette partie, on démontre l'existence de ces tangentes communes, que l'on a admise dans la partie B. On note E le point de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ d'abscisse $\alpha$ et F le point de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ d'abscisse $- \alpha$ ($\alpha$ est le nombre réel défini dans la partie C).

  1. Démontrer que la droite (EF) est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point E.
  2. Démontrons que le coefficient directeur de la droite (EF) est $e^{\alpha}$:
    On sait que E appartient à la droite (EF) et à la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$. E$\left(\alpha~;~\text{e}^{\alpha}\right)$ et F$\left(- \alpha~;~1 - \text{e}^{\alpha}\right)$.
    Le coefficient directeur de $(EF)$ est $$m_{(EF)}=\dfrac{y_F-y_E}{x_F-x_E}=\dfrac{1-e^{\alpha}-e^{\alpha}}{-\alpha-\alpha}=\dfrac{1-2e^{\alpha}}{-2\alpha}$$ On procède alors par équivalence.
    $$\begin{array}{ll} m_{(EF)}=\text{e}^{\alpha}&\iff \dfrac{1-2e^{\alpha}}{-2\alpha}=\text{e}^{\alpha}\\ &\iff 1-2e^{\alpha} =-2\alpha\text{e}^{\alpha}\\ &\iff 2\alpha\text{e}^{\alpha} -2e^{\alpha} +1=0\\ &\iff 2(\alpha-1)\text{e}^{\alpha} +1=0\\ &\iff \varphi(\alpha)=0\end{array}$$ Or l'égalité $ \varphi(\alpha)=0$ est vraie et donc
    le coefficient directeur de la droite (EF) est $e^{\alpha}$
    F appartient à cette tangente si et seulement si : $1 - \text{e}^{\alpha} - \text{e}^{\alpha} = \text{e}^{\alpha}(- \alpha - \alpha) \iff 1 - 2\text{e}^{-\alpha} = - 2\text{e}^{\alpha} \iff 2(\alpha - 1)\text{e}^{\alpha} + 1 = 0$ ce qui a été démontré à la question 2. b. de la partie C.
    Conclusion : la droite (EF) est bien la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $\alpha$.
  3. Démontrer que (EF) est tangente à $\mathcal{C}_{g}$ au point F.
  4. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point d'abscisse $- \alpha$ est $\text{e}^{- (- \alpha)} = \text{e}^{\alpha}.$ On a vu dans la question précédente que la droite (EF) a pour coefficient directeur $\text{e}^{\alpha}$ et contient le point F.
    Conclusion la droite (EF) est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point d'abscisse $- \alpha$.

 


Exercice 3 4 points 


Commun à tous les candidats

Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d'elles est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Dans les questions 1. et 2., le plan est rapporté au repère orthonormé direct $\left(\text{O},\vec{u},\vec{v}\right)$.
On considère les points A, B, C, D et E d'affixes respectives :
\[a = 2 + 2\text{i},\quad b = - \sqrt{3} + \text{i},\quad c = 1 + \text{i}\sqrt{3},\quad d = - 1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\quad \text{et}\quad e = - 1 + \left(2 + \sqrt{3} \right)\text{i}.\]

  1. Affirmation 1 : les points A, B et C sont alignés.
  2.  Affirmation 2 : les points B, C et D appartiennent à un même cercle de centre E.
  3. Dans cette question, l'espace est muni d'un repère $\left(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$. On considère les points I(1 ; 0 ; 0), J(0 ; 1 ; 0) et K(0 ; 0 ; 1).
    Affirmation 3 : la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 2 - t \\ y &=& 6 - 2 t\\ z &=&-2 + t \end{array}\right.$ où $t \in \mathbb{R}$, coupe le plan (IJK) au point E$\left(- \dfrac{1}{2} ; 1 ; \dfrac{1}{2} \right)$.
  4. Dans le cube ABCDEFGH, le point T est le milieu du segment [HF].
  5. Affirmation 4 : les droites (AT) et (EC) sont orthogonales.

Exercice 3 4 points 


Commun à tous les candidats

Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d'elles est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Dans les questions 1. et 2., le plan est rapporté au repère orthonormé direct $\left(\text{O},\vec{u},\vec{v}\right)$.
On considère les points A, B, C, D et E d'affixes respectives :
\[a = 2 + 2\text{i},\quad b = - \sqrt{3} + \text{i},\quad c = 1 + \text{i}\sqrt{3},\quad d = - 1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\quad \text{et}\quad e = - 1 + \left(2 + \sqrt{3} \right)\text{i}.\]

  1. Affirmation 1 : les points A, B et C sont alignés.
  2. $b-a=-\sqrt{3}+\text{i}-2-2\text{i}$ $=-2-\sqrt{3}-\text{i}$
    $c-a=1+\text{i}\sqrt{3}-2-2\text{i}$ $=-1+\left(-2+\sqrt{3} \right)\text{i}$
    Mais $\left(2+\sqrt{3}\right)(c-a) = -2-\sqrt{3} + \left(2+\sqrt{3}\right) \left(-2+\sqrt{3}\right)\text{i}$ $=-2\sqrt{3}-\text{i}=b-a$
    Donc :
    $$\dfrac{b-a}{c-a} = 2+\sqrt{3} \in \mathbb R$$
    Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
    Affirmation vraie
  3.  Affirmation 2 : les points B, C et D appartiennent à un même cercle de centre E.
  4. $|e-b|=\sqrt{8}$ $\quad |e-c|=\sqrt{8}$ $\quad |e-d| = 2+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
    Affirmation fausse
  5. Dans cette question, l'espace est muni d'un repère $\left(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$. On considère les points I(1 ; 0 ; 0), J(0 ; 1 ; 0) et K(0 ; 0 ; 1).
    Affirmation 3 : la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 2 - t \\ y &=& 6 - 2 t\\ z &=&-2 + t \end{array}\right.$ où $t \in \mathbb{R}$, coupe le plan (IJK) au point E$\left(- \dfrac{1}{2} ; 1 ; \dfrac{1}{2} \right)$.
  6. Une équation cartésienne de $(IJK)$ est de la forme $ax+by+cz+d=0$
    $I \in (IJK)$ donc $a+d=0$. On obtient de même $b+d=0$ et $c+d=0$.
    Soit $a=b=c=-d$. Prenons $d=-1$.
    Une équation de $(IJK)$ est donc
    $$x+y+z-1=0$$
    Regardons si $E$ appartient à ce plan : $\dfrac{-1}{2}+1+\dfrac{1}{2}-1 = 0$. C’est effectivement le cas.
    De plus $E \in \mathcal{D}$ (il suffit de prendre $t=\frac{5}{2}$).
    Affirmation vraie
  7. Dans le cube ABCDEFGH, le point T est le milieu du segment [HF].

    Affirmation 4 : les droites (AT) et (EC) sont orthogonales.
  8. (EFGH) est un carré donc le milieu T de [HF] est le milieu de [EG]. On a donc $\vec{ET} =\dfrac{1}{2}\vec{EG}$
    En prenant par exemple le repère $(A, \vec{AB}; \vec{AD};\vec{AE})$ calculons le produit scalaire : $\vec{AT}.\vec{EC}$ $ = \left(\vec{AE}+\dfrac{1}{2}\left(\vec{AB}+\vec{AD} \right) \right).\left(-\vec{AE}+\vec{AB}+\vec{AC} \right)$
    $\vec{AT}.\vec{EC}$ $=-AE^2+\dfrac{1}{2}AB^2+\dfrac{1}{2}AD^2 = 0$
    Affirmation vraie

 


 

Exercice 4  5 points


Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

Partie A
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ :
\[u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}}.\] On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 1$.
    1. Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}- u_{n} = \dfrac{\left(1 - u_{n} \right)\left(1 + u_{n} \right)}{3+ u_{n}}$.
    2. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
      En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge.


Partie B

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ :
\[u_{n+1} = \dfrac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}}.\] On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|c |c|}\hline \text{Entrée }& \text{Soit un entier naturel non nul } n\\ \hline \text{Initialisation} &\text{Affecter à } u \text{la valeur 2}\\ \hline \text{Traitement et sortie } &\text{POUR } i \text{ allant de 1 à } n\\ &\hspace{1cm}\text{ Affecter à } u \text{ la valeur } \dfrac{1 + 0,5u}{0,5 + u}\\ &\hspace{1cm} \text{Afficher } u\\ \hline & \text{FIN POUR }\\ \hline \end{array}$$ Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n = 3$. Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline i&1&2& 3\\ \hline u&&&\\ \hline \end{array}$$
  2. Pour $n = 12$, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :
    $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
    i&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline
    u&1,0083 &0,9973 &1,0009 &0,9997 &1,0001 &0,99997 &1,00001 &0,999996 &1,000001 \\ \hline
    \end{array}$$

    Conjecturer le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$ à l'infini.

  3. On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1}$.
    1. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$.
    2. Calculer $v_{0}$ puis écrire $v_{n}$ en fonction de $n$.
    1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n} \neq 1$.
    2. montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} = \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}$.
    3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.

 

Exercice 4  5 points


Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

Partie A
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ :
\[u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}}.\] On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 1$.
  2. Initialisation : $u_0 = 2>1$. La propriété est vraie au rang $0$.
    Hérédité :
    • Méthode 1 :
      Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n > 1$
      Alors
      $$u_{n+1} = \dfrac{1+3u_n}{3+u_n}=\dfrac{3+u_n+2u_n-2}{3+u_n}$$
      $$u_{n+1}=1+\dfrac{2u_n-2}{3+u_n}$$
      D’après l’hypothèse de récurrence : $2u_n-2 > 0$. On a de plus $3+u_n > 0$. Donc $u_{n+1} > 1$.
      La propriété est vraie au rang $n+1$.
    • Méthode 2 :
      On étudie le sens de variation de $f: x\mapsto \dfrac{1 + 3x}{3 + x} $
      Pour tout réel $x \in ]-3;+\infty[$; on a $f'(x)= \dfrac{3(3+x)-3(1+3x)}{(3 + x)^2}= \dfrac{6}{(3 + x)^2} $
      On a clairement $6>0$ et $(3+x)^2>0$; ainsi $f'(x)>0$ sur $]-3;+\infty[$.
      On a ainsi prouvé que $f$ est strictementv croissante sur $]-3;+\infty[$
      D'après l'hypothèse de récurrence, on a: $$u_n>1$$ Comme $f$ est strictement croissante sur $]-3;+\infty[$ on déduit : $$f(u_n)>f(1)$$ soit : $$u_{n+1}>1$$

    Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$.
    En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
    Donc pour tout entier naturel, $u_n > 1$.
    $~$
    Remarque : ne surtout pas faire la division des $2$ inégalités obtenues pour le numérateur et le dénominateur car le passage à l'inverse change le sens des inégalités !
    1. Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}- u_{n} = \dfrac{\left(1 - u_{n} \right)\left(1 + u_{n} \right)}{3+ u_{n}}$.
    2. $u_{n+1} – u_n = \dfrac{1+3u_n}{3+u_n} – u_n $ $=\dfrac{1 + 3u_n -3u_n-u_n^2}{3+u_n}$ $=\dfrac{(1-u_n)(1+u_n)}{3+u_n}$
    3. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
      En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge.
    4. D’après la question $1.$ on sait que $1-u_n < 0$. De plus $1+u_n > 0$ et $3+u_n > 0$
      Donc $u_{n+1}-u_n < 0$.
      La suite $(u_n)$ est donc décroissante.
      La suite est décroissante et minorée par $1$. Elle converge donc.


Partie B

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ :
\[u_{n+1} = \dfrac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}}.\] On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|c |c|}\hline \text{Entrée }& \text{Soit un entier naturel non nul } n\\ \hline \text{Initialisation} &\text{Affecter à } u \text{la valeur 2}\\ \hline \text{Traitement et sortie } &\text{POUR } i \text{ allant de 1 à } n\\ &\hspace{1cm}\text{ Affecter à } u \text{ la valeur } \dfrac{1 + 0,5u}{0,5 + u}\\ &\hspace{1cm} \text{Afficher } u\\ \hline & \text{FIN POUR }\\ \hline \end{array}$$ Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n = 3$. Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline i&1&2& 3\\ \hline u&&&\\ \hline \end{array}$$
  2. i $1$ $2$ $3$
    u $0,800$ $1,077$ $0,976$
  3. Pour $n = 12$, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :
    $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
    i&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline
    u&1,0083 &0,9973 &1,0009 &0,9997 &1,0001 &0,99997 &1,00001 &0,999996 &1,000001 \\ \hline
    \end{array}$$

    Conjecturer le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$ à l'infini.

  4. Il semblerait que la suite $(u_n)$ « oscille » autour de $1$ tout en tendant vers $1$.
    On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1}$.
    1. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$.
    2. $$\begin{array}{ll}v_{n+1}&= \dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+1}\\ &=\dfrac{ \dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n}-1}{1+\dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n} }\\&=\dfrac{\dfrac{1+0,5u_n-0,5-u_n}{0,5+u_n} }{\dfrac{0,5+u_n+1+0,5u_n}{0,5+u_n}}\\ &=\dfrac{0,5-0,5u_n}{1,5+1,5u_n}\dfrac{-0,5}{1,5} \times \dfrac{u_n-1}{1+u_n}\\ &=\dfrac{-1}{3}v_n \end{array}$$ $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $\dfrac{-1}{3}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{1}{3}$
      $~$
    3. Calculer $v_{0}$ puis écrire $v_{n}$ en fonction de $n$.
    4. Comme $(v_n)$ est géométrique, on a $v_n=q^nv_0$
      Donc $v_n=\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{-1}{3} \right)^n$
    1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n} \neq 1$.
    2. Pour tout entier naturel $n$ on a : $\left(\dfrac{-1}{3} \right)^n \le 1$ donc $v_n \le \dfrac{1}{3}$ et $v_n \ne 1$
      $~$
    3. montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} = \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}$.
    4. >$$\begin{array}{ll} v_n = \dfrac{u_n-1}{1+u_n}&\iff (1+u_n)v_n = u_n – 1\\ &\iff v_n+1=u_n-u_n \times v_n\\ &\iff u_n = \dfrac{1+v_n}{1-v_n} \end{array}$$
    5. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
    6. $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n=0$ car $-1 < \dfrac{-1}{3} < 1$.
      Par conséquent :
      $$ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = 1$$

 


 

Exercice 4 5 points : Spécialité


Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité

Un logiciel permet de transformer un élément rectangulaire d'une photographie.

Ainsi, le rectangle initial OEFG est transformé en un rectangle OE$'$F$'$G$'$, appelé image de OEFG.


L'objet de cet exercice est d'étudier le rectangle obtenu après plusieurs transformations successives.
Partie A
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},  \vec{i}, \vec{j}\right)$.

Les points E, F et G ont pour coordonnées respectives (2 ; 2), $(-1 ; 5)$ et $(-3 ; 3)$.

La transformation du logiciel associe à tout point $M(x ; y)$ du plan le point $M'(x' ; y')$, image du point $M$ tel que:
\[\left\{\begin{array}{l c l} x'&=&\dfrac{5}{4}x + \dfrac{3}{4}y\\ y'&=&\dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{4}y \end{array}\right.\]

    1. Calculer les coordonnées des points E$'$, F$'$ et G$'$, images des points E, F et G par cette transformation.
    2. Comparer les longueurs OE et OE$'$ d'une part, OG et OG$'$ d'autre part. Donner la matrice carrée d'ordre 2, notée $A$, telle que: $\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}= A \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}$.

Partie B
Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet F du rectangle OEFG lorsqu'on applique plusieurs fois la transformation du logiciel.

  1. On considère l'algorithme suivant destiné à afficher les coordonnées de ces images successives. Une erreur a été commise. Modifier cet algorithme pour qu'il permette d'afficher ces coordonnées.
    $$\begin{array}{|c|l|}\hline \text{Entrée } &\text{ Saisir un entier naturel non nul } N\\ \hline \text{Initialisation }& \text{Affecter à x la valeur } - 1\\ &\text{ Affecter à }y \text{ la valeur 5 }\\ \hline \text{Traitement}&\text{ POUR } i \text{ allant de 1 à } N\\ &\text{Affecter à } a \text{ la valeur } \frac{5}{4} x + \frac{3}{4}y\\ &\text{Affecter à } b \text{ la valeur } \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}y\\ &\text{Affecter à } x \text{ la valeur } a\\ &\text{Affecter à } y \text{ la valeur } b\\ &\text{FIN POUR}\\ \hline \text{Sortie} &\text{Afficher } x, \text{ afficher }y\\ \hline \end{array}$$

  2. On a obtenu le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline i &1 &2 &3 &4 &5 &10 &15\\ \hline x &2,5 &7,25 &15,625 &31,8125 &63,9063 &2047,9971 &65535,9999 \\ \hline y &5,5 &8,75 &16,375 &32,1875 &64,0938 &2048,0029 &65536,0001 \\ \hline \end{array}$$ Conjecturer le comportement de la suite des images successives du point F.


Partie C

Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet E du rectangle OEFG. On définit la suite des points $E_{n}\left(x_{n} ; y_{n}\right)$ du plan par $E_{0} =$ E et la relation de récurrence :
\[\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix},\]
où $\left(x_{n+1} ; y_{n+1}\right)$ désignent les coordonnées du point $E_{n+1}$.
Ainsi $x_{0} = 2$ et $y_{0} = 2$.

  1. On admet que, pour tout entier $n \geqslant 1$, la matrice $A^n$ peut s'écrire sous la forme : $A^{n} = \begin{pmatrix}\alpha_{n}&\beta_{n}\\\beta_{n}&\alpha_{n}\end{pmatrix}$.
    Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : \[\alpha_{n} = 2^{n-1} + \dfrac{1}{2^{n+1}} \quad \text{et}\quad \beta_{n} = 2^{n-1} - \dfrac{1}{2^{n+1}}.\]
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, le point $E_{n}$ est situé sur la droite d'équation $y = x$. On pourra utiliser que, pour tout entier naturel $n$, les coordonnées $\left(x_{n} ; y_{n}\right)$ du point $E_{n}$ vérifient :
      \[\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}.\]
    2. Démontrer que la longueur O$E_{n}$ tend vers $+ \infty$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.

 

Exercice 4 5 points


Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité

Un logiciel permet de transformer un élément rectangulaire d'une photographie.

Ainsi, le rectangle initial OEFG est transformé en un rectangle OE$'$F$'$G$'$, appelé image de OEFG.


L'objet de cet exercice est d'étudier le rectangle obtenu après plusieurs transformations successives.
Partie A
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},  \vec{i}, \vec{j}\right)$.

Les points E, F et G ont pour coordonnées respectives (2 ; 2), $(-1 ; 5)$ et $(-3 ; 3)$.

La transformation du logiciel associe à tout point $M(x ; y)$ du plan le point $M'(x' ; y')$, image du point $M$ tel que:
\[\left\{\begin{array}{l c l} x'&=&\dfrac{5}{4}x + \dfrac{3}{4}y\\ y'&=&\dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{4}y \end{array}\right.\]

    1. Calculer les coordonnées des points E$'$, F$'$ et G$'$, images des points E, F et G par cette transformation.
    2. Pour $E’$ : $\begin{cases} x’=\dfrac{5}{4} \times 2 + \dfrac{3}{4} \times 2 \\\\y’ = \dfrac{3}{4} \times 2 + \dfrac{5}{4} \times 2 \end{cases}$ $ \Leftrightarrow \begin{cases} x’=4 \\\\y’=4 \end{cases}$
      Pour $F’$ : $\begin{cases} x’ = \dfrac{5}{4} \times (-1) + \dfrac{3}{4} \times 5 \\\\y’ = \dfrac{3}{4} \times (-1) + \dfrac{5}{4} \times 5 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x’=2,5 \\\\y’=5,5 \end{cases}$
      Pour $G’$ : $\begin{cases} x’ = \dfrac{5}{4} \times (-3) + \dfrac{3}{4} \times 3 \\\\y’ = \dfrac{3}{4} \times (-3) + \dfrac{5}{4} \times 3 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x’=-1,5 \\\\y’=1,5 \end{cases}$
      $~$
    3. Comparer les longueurs OE et OE$'$ d'une part, OG et OG$'$ d'autre part. Donner la matrice carrée d'ordre 2, notée $A$, telle que: $\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}= A \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}$.
    4. $OE = \sqrt{2^2+2^2} = \sqrt{8}$ $\quad OE’ = \sqrt{4^2+4^2} = \sqrt{32}$. Donc $OE’ = 2OE$
      $OG = \sqrt{(-3)^2+3^2} = \sqrt{18}$ $\quad OG’ = \sqrt{(-1,5)^2+1,5^2} = \sqrt{4,5}$. Donc $OG = 2OG’$
      On a donc : $A = \begin{pmatrix} \dfrac{5}{4}&\dfrac{3}{4} \\\\ \dfrac{3}{4}&\dfrac{5}{4} \end{pmatrix}$

Partie B
Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet F du rectangle OEFG lorsqu'on applique plusieurs fois la transformation du logiciel.

  1. On considère l'algorithme suivant destiné à afficher les coordonnées de ces images successives. Une erreur a été commise. Modifier cet algorithme pour qu'il permette d'afficher ces coordonnées.
    $$\begin{array}{|c|l|}\hline \text{Entrée } &\text{ Saisir un entier naturel non nul } N\\ \hline \text{Initialisation }& \text{Affecter à x la valeur } - 1\\ &\text{ Affecter à }y \text{ la valeur 5 }\\ \hline \text{Traitement}&\text{ POUR } i \text{ allant de 1 à } N\\ &\text{Affecter à } a \text{ la valeur } \frac{5}{4} x + \frac{3}{4}y\\ &\text{Affecter à } b \text{ la valeur } \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}y\\ &\text{Affecter à } x \text{ la valeur } a\\ &\text{Affecter à } y \text{ la valeur } b\\ &\text{FIN POUR}\\ \hline \text{Sortie} &\text{Afficher } x, \text{ afficher }y\\ \hline \end{array}$$

  2. On veut afficher les images successives. Pour cela, il faut intégrer dans la boucle « Pour », l’affiche de $x$ et de $y$.
    $\ldots$
    Affecter à $x$ la valeur $a$
    Affecter à $y$ la valeur $b$
    Afficher $x$
    Afficher $y$
    FIN POUR
    $~$
  3. On a obtenu le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline i &1 &2 &3 &4 &5 &10 &15\\ \hline x &2,5 &7,25 &15,625 &31,8125 &63,9063 &2047,9971 &65535,9999 \\ \hline y &5,5 &8,75 &16,375 &32,1875 &64,0938 &2048,0029 &65536,0001 \\ \hline \end{array}$$ Conjecturer le comportement de la suite des images successives du point F.
  4. La suite constituée des abscisses des points semble être croissante et aurait pour limite $+\infty$.
    Il en est de même pour les ordonnées.


Partie C

Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet E du rectangle OEFG. On définit la suite des points $E_{n}\left(x_{n} ; y_{n}\right)$ du plan par $E_{0} =$ E et la relation de récurrence :
\[\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix},\]
où $\left(x_{n+1} ; y_{n+1}\right)$ désignent les coordonnées du point $E_{n+1}$.
Ainsi $x_{0} = 2$ et $y_{0} = 2$.

  1. On admet que, pour tout entier $n \geqslant 1$, la matrice $A^n$ peut s'écrire sous la forme : $A^{n} = \begin{pmatrix}\alpha_{n}&\beta_{n}\\\beta_{n}&\alpha_{n}\end{pmatrix}$.
    Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : \[\alpha_{n} = 2^{n-1} + \dfrac{1}{2^{n+1}} \quad \text{et}\quad \beta_{n} = 2^{n-1} - \dfrac{1}{2^{n+1}}.\]
  2. Initialisation : Pour $n=1$ : $2^0+\dfrac{1}{2^2} = \dfrac{5}{4}$ et $2^0 – \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{3}{4}$
    La propriété est donc vraie au rang $1$.
    initialisation : Supposons la propriété vraie au rang $n$.
    $A^{n+1} = A \times A^n$
    Alors $\alpha_{n+1} = \dfrac{5}{4}\alpha_n+\dfrac{3}{4}\beta_n = \left(\dfrac{5}{4}+\dfrac{3}{4} \right)2^{n-1} + \left(\dfrac{5}{4} – \dfrac{3}{4} \right) \times \dfrac{1}{2^{n+1}}$ $=2\times 2^{n-1} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2^{n+1}} $ $=2^n + \dfrac{1}{2^{n+2}}$.
    $\beta_{n+1} = \dfrac{3}{4}\alpha_n+\dfrac{5}{4}\beta_n = \left(\dfrac{5}{4}+\dfrac{3}{4} \right)2^{n-1} + \left(\dfrac{3}{4} – \dfrac{5}{4} \right) \times \dfrac{1}{2^{n+1}}$ $=2\times 2^{n-1} – \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2^{n+1}} $ $=2^n – \dfrac{1}{2^{n+2}}$.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$.
    En la supposant vraie au rang $n$, elle reste vraie au rang suivant.
    Donc pour tout entier naturel $n \ge 1$ on a : $\alpha_n = 2^{n-1}+\dfrac{1}{2^{n+1}}$ et $\beta_n = 2^{n-1} – \dfrac{1}{2^{n+1}}$.
    $~$
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, le point $E_{n}$ est situé sur la droite d'équation $y = x$. On pourra utiliser que, pour tout entier naturel $n$, les coordonnées $\left(x_{n} ; y_{n}\right)$ du point $E_{n}$ vérifient :
      \[\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}.\]
    2. On a $\begin{pmatrix}x_n \\\\y_n \end{pmatrix} =A^n \begin{pmatrix} 2\\\\2 \end{pmatrix}$.
      Donc $x_n = 2\alpha_n + 2\beta_n$ et $y_n=2\beta_n+2\alpha_n$ donc $x_n=y_n$.
      $~$
    3. Démontrer que la longueur O$E_{n}$ tend vers $+ \infty$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
    4. $OE_n = \sqrt{x_n^2+y_n^2}$. Or $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} 2^n = +\infty$ et $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{2^{n+1}} = 0$.
      Donc $$\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \alpha_n = \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \beta_n = +\infty$$
      Par conséquent $$\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} x_n = \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} y_n = +\infty$$
      Finalement :$$\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} OE_n = +\infty$$

 

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