Baccalauréat S Antilles Guyane19 juin 2018 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le droit de pêche dans une réserve marine est réglementé : chaque pêcheur doit posséder une carte d'accréditation annuelle. Il existe deux types de cartes :

• une carte de pêche dite « libre » entre parenthèse le pêcheur mais pas limité en nombre de poissons pêchés);
• une carte de pêche dite « avec quota »(le pêcheur ne doit pas dépasser une certaine quantité hebdomadaire de poisson).

On suppose que le nombre total de pêcheurs reste constant d'année en année.
On note, pour l'année $2017+n$:

• $\ell_n$ la proportion de pêcheurs possédant la carte de pêche libre ;
• $q_n$ la proportion de pêcheurs possédant la carte de pêche avec quota.

On observe que:

• chaque année, 65 % des possesseurs de la carte de pêche libres achète de nouveaux une carte de pêche libre l'année suivante;
• Chaque année, 45 % des possesseurs de la carte de pêche avec quota acheté une carte de pêche libre l'année suivante ;
• En 2017, 40 % des pêcheurs ont acheté une carte de pêche libre. On a donc $\ell_0= 0,4 $ et $q_0= 0,6 $.

On note, pour tout entier naturel $n$, $P_n=\begin{pmatrix} \ell_n\\q_n \end{pmatrix}$.

1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=MP_n$, où $M$ est la matrice carrée $\begin{pmatrix} 0,65 & 0,45 \\ 0,35 & 0,55 \end{pmatrix}$.
On appelle $L$ l’événement “le pêcheur possède une carte de pêche libre” et $Q$ l’événement “le pêcheur possède une carte de pêche avec quota”.
On obtient donc le graphe probabiliste suivant :

Ainsi pour tout entier naturel $n$ on a :
$\ell_{n+1}=0,65\ell_n+0,45q_n$ et $q_{n+1}=0,55q_n+0,35\ell$.
Par conséquent $\begin{pmatrix} \ell_{n+1}\\q_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,65&0,45\\0,35&0,55 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \ell_n\\ q_n \end{pmatrix}$
Soit $P_{n+1}=MP_n$.
$\quad$
2. Calculer la proportion de pêcheurs achetant une carte de pêche avec quota en 2019.
En 2019, on a $n=2$.
Donc $P_2=M\times P_1=M^2P_0=\begin{pmatrix}0,556\\0,444\end{pmatrix}$.
Ainsi $q_2=0,444$.
$44,4\%$ des pêcheurs achètent une carte avec quota en 2019.
$\quad$
3. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :
   
   En vous appuyant sur les résultats précédents, répondre aux deux questions suivantes :
   1. Justifier que $Q$ est une matrice inversible et préciser sa matrice inverse.
      On notera $Q^{-1}$ la matrice inverse de $Q$.
   On a $TQ=QT=\begin{pmatrix}1&0\\0&1 \end{pmatrix}$.
   La matrice $Q$ est donc inversible et $Q^{-1}=T$.
   $\quad$
   
   2. Justifier que $M=QDQ^{-1}$ et démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : \[M^n=QD^nQ^{-1}.\]
   On a $D=Q^{-1}MQ \\\iff QDQ^{-1}=M$.
   $\quad$
   Montrons par récurrence sur $n$ que $M^n=QD^nQ^{-1}$.
   Initialisation : Si $n=1$ alors $QD^1Q^{-1}=QDQ^{-1}=M$
   La propriété est vraie au rang $1$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $M^n=QD^nQ^{-1}$.
   Montrons qu’elle est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $M^{n+1}=QD^{n+1}Q^{-1}$.
   Alors
   $\begin{align*} M^{n+1}&=M\times M^n \\
   &=QDQ^{-1}\times QD^nQ^{-1} \\
   &=QDD^nQ^{-1} \\
   &=QD^{n+1}Q^{-1}
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $M^n=QD^nQ^{-1}$.
   $\quad$
4. On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[ M^n=\frac{1}{16}\begin{pmatrix} 9+7\times 0,2 ^n&9-9\times 0,2^n\\ 7-7\times 0,2^n&7+9\times 0,2^n \end{pmatrix}. \]
   1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $P_n=M^nP_0$.
   Montrons par récurrence sur $n$ que $P_n=M^nP_0$.
   Initialisation : Si $n=1$ alors $P_1=MP_0$.
   La propriété est vraie ai rang $1$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $P_n=M^nP_0$.
   Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $P_{n+1}=M^{n+1}P_0$.
   $\begin{align*} P_{n+1}&=MP_n \\
   &=M\times M^nP_0 \\
   &=M^{n+1}P_0
   \end{align*}$
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $P_n+M^nP_0$.
   $\quad$
   
   2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$: \[ \ell_n=\frac{9}{16}-\frac{13}{80}\times 0,2^n. \]
   Ainsi
   $P_{n}=M_n\begin{pmatrix}0,4\\0,6\end{pmatrix}$
   Par conséquent
   $\begin{align*} \ell_n&=\dfrac{1}{16}\left[0,4\left(9+7\times 0,2^n\right)+0,6\left(9-9\times 0,2^n\right)\right] \\
   &=\dfrac{1}{16}\left(3,6+2,8\times 0,2^n+5,4-5,4\times 0,2^n\right) \\
   &=\dfrac{1}{16}\left(9-2,6\times 0,2^n\right) \\
   &=\dfrac{9}{16}-\dfrac{13}{80}\times 0,2^n
   \end{align*}$
   $\quad$
5. La proportion de pêcheurs achetant la carte de pêche libre dépassera-t-elle 60 % ?
Pour tout entier naturel $n$ on a $\dfrac{13}{80}\times 0,2^n>0$
Donc $\ell_n < \dfrac{9}{16}<0,6$
La proportion de pêcheur achetant la carte de pêche libre ne dépassera jamais $60\%$.
$\quad$