Baccalauréat S Antilles Guyane19 juin 2018 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le directeur d'une réserve marine a recensé $3\;000$ cétacés dans cette réserve au 1$^{er}$ juin 2017. Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en « réserve marine» ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à $2\;000$.
Une étude lui permet d'élaborer un modèle selon lequel, chaque année:

• entre le 1$^{er}$ juin et le 31 octobre, 80 cétacés arrivent dans la réserve marine;
• entre le 1$^{er}$ novembre et le 31 mai, la réserve subit une baisse de 5 % de son effectif par rapport à celui du 31 octobre qui précède.

On modélise l'évolution du nombre de cétacés par une suite $(u_n)$. Selon ce modèle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de cétacés au 1$^{er}$ juin de l'année $2017+n$. On a donc $u_0= 3\;000$ .

1. Justifier que $u_1= 2\;926 $.
n a $u_1=(1-0,05)\times (u_0+80)=0,95\times 3~080=2~926$.
$\quad$
2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 0,95 u_n+76$.
$80$ cétacés arrivent dans la réserve sur la première période.
On a ainsi $u_n+80$ cétacés.
Il y a ensuite une baisse de $5\%$ de son effectif sur une seconde période.
Donc $u_{n+1}=0,95\left(u_n+80\right)=0,95u_n+76$.
$\quad$
3. À l'aide d'un tableur, on a calculé les 8 premiers termes de la suite $(u_n)$. Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l'unité. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &A&B&C&D&E&F&G&H&I\\ \hline 1& n &0&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline 2& u_n & 3\;000 & 2\;926 & 2\;856 & 2\;789 & 2\;725 & 2\;665 & 2\;608 & 2\;553 \\ \hline \end{array}$$ Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C2 afin d'obtenir, par recopie vers la droite, les termes de la suite $(u_n)$ ?
On a pu saisir $=0,95*B2+76$.
$\quad$
4. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant 1 \;520 $.
   Montrons ce résultat par récurrence.
   Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0 = 3~000 \geqslant 1~520$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \geqslant 1~520$.
   Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1} \geqslant 1~520$
   $$\begin{array} {ll}u_n \geqslant 1~520 &\iff 0,95u_n \geqslant 1~444 \\ &\iff 0,95u_n+76 \geqslant 1~520 \\ \ &\iff u_{n+1} \geqslant 1~520 \end{array}$$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\geqslant 1~520$.
   $\quad$
   
   2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
   Soit $n$ un entier naturel. On a alors :
   $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=0,95u_n+76-u_n \\
   &=-0,05u_n+76 \\
   &\\\leqslant 0,05\times 1~520+76 \\
   &\\\leqslant 0
   \end{align*}$
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
   $\quad$
   
   3. Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente. On ne cherchera pas ici la valeur de la limite.
   La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $1~520$. Elle converge donc.
5. On déisgne par $(v_n)$ la suite définie par, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n- 1\;520 $.
   1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,95 dont on précisera le premier terme.
   Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-1~520 \\ \iff u_n=v_n+1~520$.
   $$\begin{array}{ll} v_{n+1}&=u_{n+1}-1~520 \\ &=0,95u_n+76-1~520 \\ &=0,95u_n-1~444 \\ &=0,95\left(v_n+1~520\right)-1~444 \\ &=0,95v_n+1~444-1~444 \\ &=0,95v_n \end{array}$$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $v_0=u_0-1~520=1~480$.
   $\quad$
   
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n= 1\;480 \times 0,95 ^n+ 1\;520 $.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a :
   $v_n=1~480\times 0,95^n$ et $u_n=v_n+1~520=1~480\times 0,95^n+1~520$.
   $\quad$
   
   3. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
   On a $-1<0,95<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,95^n=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=1~520$.
   $\quad$
6. Recopier et compléter l'algorithme suivant pour déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur à 2\;000 . $$\begin{array}{|l|}\hline n\leftarrow 0 \\ u\leftarrow 3\;000 \\ \text{ Tant que } \ldots\\ \phantom{xxxx} n\leftarrow \ldots \\ \phantom{xxxx} u\leftarrow \ldots \\ \text{Fin de Tant que }\\\hline \end{array}$$ La notation « $\leftarrow$» correspond à une affectation de valeur, ainsi « $n\leftarrow 0$» signifie « Affecter à $n$ la valeur $0$».
On obtient l’algorithme :
$\begin{array}{|l|}
\hline
n \leftarrow 0\\
u \leftarrow 3~000 \\
\text{Tant que } u>2~000 \\
\hspace{1cm} \begin{array}{|l} n \leftarrow n+1 \\u \leftarrow 0,95\times u+76 \end{array} \\
\text{Fin de Tant que }\\
\hline
\end{array}$
$\quad$
7. La réserve marine fermera-t-elle un jour ? Si oui, déterminer l'année de la fermeture.
La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et tend vers $1~520<2~000$.
La réserve marine fermera donc un jour.
On veut déterminer la valeur du plus petit entier naturel $n$ tel que
$$\begin{array} {ll} u_n \leqslant 2~000 & \iff 1~480\times 0,95^n+1~520 \leqslant 2~000 \\ & \iff 1~480\times 0,95^n \leqslant 480 \\ &\\& \iff 0,95^n \leqslant \dfrac{12}{37} \\ & \iff n\ln(0,95) \leqslant \ln \dfrac{12}{37} \\ & \iff n \geqslant \dfrac{\ln \dfrac{12}{37}}{\ln(0,95)} \end{array}$$
Or $\dfrac{\ln \dfrac{12}{37}}{\ln(0,95)}\approx 21,95$.
Donc $n \geqslant 22$.
La réserve marine fermera en 2039.
$\quad$