Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 19 juin 2018 - Correction Exercice 4

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Exercice 4 4 points

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n 'enlèvent aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

1. Si $z_1 = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_2 = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ alors le quotient $\dfrac{z_1}{\left(z_2\right)^2}$ vaut :
   
   • a.$\quad- 2$
   • b.$\quad- \sqrt{3} + \text{i}$
   • c. $\quad2$
   • d.$\quad- \sqrt{3} - \text{i}$
$\left |z_1\right |=2$ donc $z_1 = 2\left ( -\dfrac{1}{2} + \text{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right ) = 2\text{e}^{\text{i} \frac{2\pi}{3}}$ et $z_2=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ donc $z_2^{2}=\left (\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right )^2 =\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$ On en déduit que $\dfrac{z_1}{\left (z_2\right )^2} = \dfrac{2 \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}}{\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}}=2$.
Réponse c
2. Si $z_1 = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_2 = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ alors le produit $\overline{z_1} \times z_2$ vaut :
   
   
   • a.$\quad-2 $
   • b. $\quad1 - \text{i}\sqrt{3}$
   • c.$\quad\text{e}^{\text{i}\pi}$
   • d.$\quad- 1 - \text{i}\sqrt{3}$
$z_1 = 2\text{e}^{\text{i} \frac{2\pi}{3}}$ donc $\overline{z_1} = 2\text{e}^{-\text{i} \frac{2\pi}{3}}$ $\overline{z_1} \times z_2=2\text{e}^{-\text{i} \frac{2\pi}{3}} \times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} = 2\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}} = 2\left ( \dfrac{1}{2} -\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right ) = 1 - \text{i}\sqrt{3}$
Réponse b.
3. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$. Sachant que $P(X \in [189~;~191]) \approx 0,95\:$, $\mu$ et $\sigma$ peuvent prendre les valeurs :
   
   
   • a.$\quad \mu = 1$ et $\sigma = 190$
   • b. $\quad\mu = 190$ et $\sigma = 1$
   • c. $\quad\mu = 190$ et $\sigma = 0,5$
   • d. $\quad\mu = 0,5$ et $\sigma = 190$
Pour une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, on sait que $P\left (X\in [\mu -2\sigma\:; \mu+2\sigma]\strut\right ) \approx 0,95$. Si $\mu=190$ et $\sigma=0,5$, alors $P\left (X\in [190 -2\times 0,5~; 190+2\times 0,5]\strut\right )\approx 0,95$.
Réponse c.
4. Dans le cadre du fonctionnement correct d'une chaîne de production de pièces détachées, la proportion de pièces détachées conformes doit être 96 %. On contrôle la production de la chaîne en prélevant de manière aléatoire un échantillon de $150$ pièces détachées. On rappelle que l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence $p$ des pièces détachées conformes sur un échantillon de taille $n$ est : \[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]\] En utilisant un intervalle de fluctuation asymptotique à 95 %, on prendra la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production si le nombre de pièces détachées non conformes trouvées dans l'échantillon prélevé est :
   
   
   • a. $\quad8$
   • b.$\quad9$
   • c.$\quad10$
   • d.$\quad11$
$p=0,96$ et $n=150$ donc l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la proportion de pièces conformes est
$I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]$
$\phantom{I} = \left[0,96 - 1,96\sqrt{\dfrac{0,96\times 0,04}{150}}~;~0,96 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,96\times 0,04}{150}}\right] \approx \left [ 0,928\:; 0,992\strut\right ]$
On calcule les fréquences correspondant à chacune des réponses proposées.
Si 8 pièces sont non conformes, $142$ sont conformes; $f_{\text a}=\dfrac{142}{150}\approx 0,947 \in I$.
Si 9 pièces sont non conformes, $141$ sont conformes; $f_{\text b}=\dfrac{141}{150} = 0,947 \in I$.
Si 10 pièces sont non conformes, $140$ sont conformes; $f_{\text c}=\dfrac{140}{150}\approx 0,933 \in I$.
Si 11 pièces sont non conformes, $139$ sont conformes; $f_{\text d}=\dfrac{139}{150}\approx 0,927 \notin I$.
Réponse d.