Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 19 juin 2018 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (3 points)

Equations différentielles

Le béton est un matériau de construction fabriqué à partir d'un mélange de ciment, de granulats et d'eau. Selon l'usage prévu (dalle, poutre, fondation, $\ldots$), on utilise des bétons de compositions différentes. Dans cet exercice, on s'intéresse au béton adapté à la construction d'une dalle et on étudie la résistance à la compression, exprimée en MPa (mégapascal), en fonction de la durée $t$ de séchage, exprimée en jour. On admet que cette résistance peut être modélisée par une fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, qui est une solution sur $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle $(E)$ : \[y' + 0,15y = 4,5.\]

1. Résoudre l'équation différentielle $(E)$ sur $[0~;~+\infty[$.
On met l'équation sous forme résolue : $y' =-0,15y+4,5$.
Cette équation différentielle est du type $y'=ay+b$ où $a=-0,15$ et $b=4,5$.
$-\dfrac{b }{a}=-\dfrac{4,5 }{-0,15}=\dfrac{450 }{ 15}=30$.
La solution générale est $y=-\dfrac{b }{a}+K\text{e}^{ax}$, soit ici $y= 30+K\text{e}^{-0,15x}$

2. À l'instant $t = 0$, la résistance à la compression de ce béton est nulle. Montrer alors que $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(t) = -30\text{e}^{- 0,15t} + 30.\]
À l'instant $t = 0$, la résistance à la compression de ce béton est nulle ce qui veut dire que $f(0)=0$.
$f(0)=0 \iff k \text{e}^{-0,15\times 0} + 30 = 0 \iff k=-30$
Donc $f(t) = -30 \text{e}^{-0,15t} +30$.
3. Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
On cherche $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$. $\left. \begin{array}{l} \displaystyle\lim_{t\to +\infty} -0,15t = -\infty\\ \text{on pose } T=-0,15t\\ \displaystyle\lim_{T\to -\infty} \text{e}^{T} = 0 \end{array} \right\rbrace \implies \displaystyle\lim_{t\to +\infty} \text{e}^{-0,15t} = 0$ donc $\displaystyle\lim_{t\to +\infty} -30 \text{e}^{-0,15t} + 30 = 30$ On a donc $\displaystyle\lim_{t\to +\infty} f(t) = 30$. Cela signifie que lorsque le temps augmente, la résistance va tendre vers 30 MPa.
4. Il est possible de marcher sur ce type de béton lorsque sa résistance à la compression est supérieure à $12$ MPa. Après combien de jours complets de séchage est-il possible de marcher sur ce type de béton ?
On cherche $t$ en jours tel que $f(t)>12$; on résout cette inéquation. $$\begin{array}{rl} f(t)>12 &\iff -30\text{e}^{-0,15t}+30 >12 \\ &\iff 18>30\text{e}^{-0,15t} \\ &\iff \dfrac{18}{30} > \text{e}^{-0,15t}\\ &\iff 0,6 >\text{e}^{-0,15t}\\ \phantom{f(t)>12} &\iff \ln(0,6) > -0,15t\\ &\iff -\dfrac{\ln(0,6)}{0,15} < t \end{array}$$ Or $-\dfrac{\ln(0,6)}{0,15} \approx 3,40$
donc c'est à partir du 4ième jour qu'on pourra marcher sur le béton.