Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 19 juin 2018

Exercice 1 3 points

Equations différentielles

Le béton est un matériau de construction fabriqué à partir d'un mélange de ciment, de granulats et d'eau. Selon l'usage prévu (dalle, poutre, fondation, $\ldots$), on utilise des bétons de compositions différentes. Dans cet exercice, on s'intéresse au béton adapté à la construction d'une dalle et on étudie la résistance à la compression, exprimée en MPa (mégapascal), en fonction de la durée $t$ de séchage, exprimée en jour. On admet que cette résistance peut être modélisée par une fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, qui est une solution sur $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle $(E)$ : \[y' + 0,15y = 4,5.\]

1. Résoudre l'équation différentielle $(E)$ sur $[0~;~+\infty[$.
2. À l'instant $t = 0$, la résistance à la compression de ce béton est nulle. Montrer alors que $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(t) = -30\text{e}^{- 0,15t} + 30.\]
3. Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
4. Il est possible de marcher sur ce type de béton lorsque sa résistance à la compression est supérieure à $12$ MPa. Après combien de jours complets de séchage est-il possible de marcher sur ce type de béton ?

Correction de l'exercice 1 (3 points)

Equations différentielles

Le béton est un matériau de construction fabriqué à partir d'un mélange de ciment, de granulats et d'eau. Selon l'usage prévu (dalle, poutre, fondation, $\ldots$), on utilise des bétons de compositions différentes. Dans cet exercice, on s'intéresse au béton adapté à la construction d'une dalle et on étudie la résistance à la compression, exprimée en MPa (mégapascal), en fonction de la durée $t$ de séchage, exprimée en jour. On admet que cette résistance peut être modélisée par une fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, qui est une solution sur $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle $(E)$ : \[y' + 0,15y = 4,5.\]

1. Résoudre l'équation différentielle $(E)$ sur $[0~;~+\infty[$.
On met l'équation sous forme résolue : $y' =-0,15y+4,5$.
Cette équation différentielle est du type $y'=ay+b$ où $a=-0,15$ et $b=4,5$.
$-\dfrac{b }{a}=-\dfrac{4,5 }{-0,15}=\dfrac{450 }{ 15}=30$.
La solution générale est $y=-\dfrac{b }{a}+K\text{e}^{ax}$, soit ici $y= 30+K\text{e}^{-0,15x}$

2. À l'instant $t = 0$, la résistance à la compression de ce béton est nulle. Montrer alors que $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(t) = -30\text{e}^{- 0,15t} + 30.\]
À l'instant $t = 0$, la résistance à la compression de ce béton est nulle ce qui veut dire que $f(0)=0$.
$f(0)=0 \iff k \text{e}^{-0,15\times 0} + 30 = 0 \iff k=-30$
Donc $f(t) = -30 \text{e}^{-0,15t} +30$.
3. Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
On cherche $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$. $\left. \begin{array}{l} \displaystyle\lim_{t\to +\infty} -0,15t = -\infty\\ \text{on pose } T=-0,15t\\ \displaystyle\lim_{T\to -\infty} \text{e}^{T} = 0 \end{array} \right\rbrace \implies \displaystyle\lim_{t\to +\infty} \text{e}^{-0,15t} = 0$ donc $\displaystyle\lim_{t\to +\infty} -30 \text{e}^{-0,15t} + 30 = 30$ On a donc $\displaystyle\lim_{t\to +\infty} f(t) = 30$. Cela signifie que lorsque le temps augmente, la résistance va tendre vers 30 MPa.
4. Il est possible de marcher sur ce type de béton lorsque sa résistance à la compression est supérieure à $12$ MPa. Après combien de jours complets de séchage est-il possible de marcher sur ce type de béton ?
On cherche $t$ en jours tel que $f(t)>12$; on résout cette inéquation. $$\begin{array}{rl} f(t)>12 &\iff -30\text{e}^{-0,15t}+30 >12 \\ &\iff 18>30\text{e}^{-0,15t} \\ &\iff \dfrac{18}{30} > \text{e}^{-0,15t}\\ &\iff 0,6 >\text{e}^{-0,15t}\\ \phantom{f(t)>12} &\iff \ln(0,6) > -0,15t\\ &\iff -\dfrac{\ln(0,6)}{0,15} < t \end{array}$$ Or $-\dfrac{\ln(0,6)}{0,15} \approx 3,40$
donc c'est à partir du 4ième jour qu'on pourra marcher sur le béton.

Exercice 2 7 points

Fonctions

On a représenté ci-dessous une des faces latérales d'une rampe de skate-board que l'on souhaite peindre.

On sait de plus que la face latérale de cette rampe de skate-board admet comme axe de symétrie la médiatrice de [AB].

Partie A

On modélise la partie incurvée de la rampe située à gauche de l'axe de symétrie à l'aide de la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~2]$ par : \[f(x) = \left(0,5x^2 + ax + b\right)\text{e}^{-x}\] où $a$ et $b$ sont deux réels que l'on souhaite déterminer. On a tracé ci-après la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ dans un repère orthonormal d'unité 1 mètre.

On sait que la courbe $\mathcal{C}$ passe par les points A$(2~;~0)$ et H$(0~;~2)$.

1. Déterminer $f(0)$ et $f(2)$.
2. Déduire de la question précédente le système d'équations vérifié par les réels $a$ et $b$.
3. Déterminer l'expression de $f(x)$.

 

Partie B

On considère maintenant que la fonction $f$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~2] $ par : \[f(x) = \left(0,5x^2 - 2x + 2\right)\text{e}^{-x}.\]

1. Calculer $f'(x)$.
2. Montrer que la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A est l'axe des abscisses.
3. Justifier que le signe de $f'(x)$ est donné par le signe du trinôme $-0,5 x^2 + 3x - 4$.
4. En déduire le signe de $f'(x)$ puis le sens de variation de $f$ sur $[0~;~2]$.

 

Partie C

 

1. Justifier que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0~;~2]$.
2. On admet que la fonction $F$ définie par $F(x) = \left(- \frac{1}{2}x^2 + x - 1\right)\text{e}^{-x}$ sur l'intervalle $[0~;~2]$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0~;~2]$. Montrer que l'aire en m$^2$ de la partie délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$ est égale à $1 - \dfrac{1}{\text{e}^2}$.
3. En déduire l'aire de la zone à peindre. On donnera une valeur approchée du résultat à 0,01$~$m$^2$ près.

 

Correction de l'exercice 2 (7 points)

Fonctions

On a représenté ci-dessous une des faces latérales d'une rampe de skate-board que l'on souhaite peindre.

On sait de plus que la face latérale de cette rampe de skate-board admet comme axe de symétrie la médiatrice de [AB].

Partie A

On modélise la partie incurvée de la rampe située à gauche de l'axe de symétrie à l'aide de la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~2] par : \[f(x) = \left(0,5x^2 + ax + b\right)\text{e}^{-x}\] où $a$ et $b$ sont deux réels que l'on souhaite déterminer. On a tracé ci-après la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ dans un repère orthonormal d'unité 1 mètre.

On sait que la courbe $\mathcal{C}$ passe par les points A$(2~;~0)$ et H$(0~;~2)$.

1. Déterminer $f(0)$ et $f(2)$.
La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point H\,$(0\;,\;2)$ donc $f(0)=2$. La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A\,$(2\;,\;0)$ donc $f(2)=0$.
2. Déduire de la question précédente le système d'équations vérifié par les réels $a$ et $b$.
On sait que $f(x) = \left(0,5x^2 + ax + b\right)\text{e}^{-x}$.
• $f(0)=2 \iff \left(0,5\times 0^2 + a\times 0 + b\right)\text{e}^{0}=2 \iff b=2$
• $f(2)=0 \iff \left ( 0,5\times 2^2 + a\times 2 + b\right )\text{e}^{2} = 0 \iff 2+2a+b=0$
Les réels $a$ et $b$ vérifient donc le système $\left \lbrace \begin{array}{r !{=} l} b & 2\\ 2+2a+b & 0 \end{array} \right .$
3. Déterminer l'expression de $f(x)$.
Le système précédent donne $b=2$ et $a=-2$; donc $f(x)=\left (0,5x^2-2x+2\right )\text{e}^{-x}$.

 

Partie B

On considère maintenant que la fonction $f$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~2] $ par : \[f(x) = \left(0,5x^2 - 2x + 2\right)\text{e}^{-x}.\]

1. Calculer $f'(x)$.
$f'(x) = \left ( 0,5\times 2x - 2 + 0\right ) \text{e}^{-x} + \left(0,5x^2 - 2x + 2\right)\times (-1)\text{e}^{-x} = \left(x-2 -0,5x^2 + 2x - 2\right)\text{e}^{-x}\\ \phantom{f'(x)} = \left ( -0,5x^2 +3x -4\right ) \text{e}^{-x}$
2. Montrer que la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A est l'axe des abscisses.
La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A a pour équation $y=f'(x_{\mathrm{A}})\left (x- x_{\mathrm{A}}\right ) + f(x_{\mathrm{A}})$.
$x_{\mathrm{A}} = 2$ donc $f'(x_{\mathrm{A}})=f'(2)=(-2+6-4)\text{e}^{-x} = 0$; de plus $f(x_{\mathrm{A}})=0$.
La tangente a pour équation $y=0$, c'est donc l'axe des abscisses.
3. Justifier que le signe de $f'(x)$ est donné par le signe du trinôme $-0,5 x^2 + 3x - 4$.
$f'(x)=\left ( -0,5x^2 +3x -4\right ) \text{e}^{-x}$; or, pour tout réel $X$, $\text{e}^{X}>0$. Donc $f'(x)$ est du signe du trinôme $-0,5 x^2 + 3x - 4$.
4. En déduire le signe de $f'(x)$ puis le sens de variation de $f$ sur $[0~;~2]$.
On cherche le signe de $f'(x)$ donc de $-0,5 x^2 + 3x - 4$. $\Delta = 3^2 - 4\times (-0,5)\times (-4)=9-8 = 1$ Le trinôme admet deux racines $x'=\dfrac{-3 -\sqrt{1}}{2\times (-0,5)} = 4$ et $x''=\dfrac{-3 +\sqrt{1}}{-1} = 2$. D'où le tableau de signes:

 
$f'(x)<0$ sur [0 ; 2[ donc la fonction $f$ est strictement décroissante sur [0 ; 2].

Partie C

 

1. Justifier que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0~;~2]$.
La fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0~;~2]$ donc pour tout $x$ de [0 ;~2], $f(x) \geqslant f(2)$. Or $f(2)=0$ donc la fonction $f$ est positive sur $[0~;~2]$.
2. On admet que la fonction $F$ définie par $F(x) = \left(- \frac{1}{2}x^2 + x - 1\right)\text{e}^{-x}$ sur l'intervalle $[0~;~2]$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0~;~2]$. Montrer que l'aire en m$^2$ de la partie délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$ est égale à $1 - \dfrac{1}{\text{e}^2}$.
L'aire en m$^2$ de la partie délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$ est égale à $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x) \text{d} x = F(2) - F(0) = \left ( \left(- \frac{1}{2}2^2 + 2 - 1\right)\text{e}^{-2} \right ) - \left ( \left(- \frac{1}{2} 0 + 0 - 1\right)\text{e}^{0}\right ) = -\text{e}^{^{-2}} +1 = 1 -\dfrac{1}{\text{e}^{2}}$
3. En déduire l'aire de la zone à peindre. On donnera une valeur approchée du résultat à 0,01$ $m$^2$ près.
On découpe la surface à peindre en 5 surfaces.


• La région 1 est un rectangle de dimensions 1 sur 2 donc a une aire de 2~m$^2$.
• L'aire de la région 2 a été calculée dans la question précédente: $1-\dfrac{1}{\text{e}^{2}}$.
• La région 3 est un rectangle de dimensions $0,2$ sur 7 donc a une aire de $1,4$~m$^2$.
• Pour des raisons de symétrie, la région 4 a une aire égale à celle de la région 2.
• Pour des raisons de symétrie, la région 5 a une aire égale à celle de la région 1.
La région à peindre a pour aire, en m$^2$: $2+\left (1-\dfrac{1}{\text{e}^{2}}\right ) + 1,4 + \left (1-\dfrac{1}{\text{e}^{2}}\right ) + 2 = 7,4-\dfrac{2}{\text{e}^{2}}\approx 7,13$.

Exercice 3 6 points

Suites

Une éolienne est un générateur qui produit du courant électrique à partir de l'énergie cinétique du vent. Une entreprise européenne réalise la conception, la fabrication, la vente, l'installation ainsi que l'exploitation et la maintenance de ses éoliennes. Son service de presse a publié un article en janvier 2017 dont voici un extrait: « Une de nos usines située en Espagne, en exploitation depuis 2001, a produit au total plus de $40\;000$ pales d'éoliennes de 2001 à 2016, pales qui ont été exportées vers cinq continents. »
On dispose également des données suivantes sur la production de l'usine espagnole considérée. $$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Année } &\text{Quantité de pales produites pendant l'année}\\ \hline 2001 &800\\ \hline 2008 &2002\\ \hline \end{array}$$

Partie A

Le but de cette partie est de trouver une suite modélisant au mieux la production des pales d'éoliennes de l'usine espagnole depuis 2001. On étudie deux modélisations.

1. Dans cette question, on se propose de modéliser le nombre de pales produites par l'usine espagnole pendant l'année $2001 + n$, où $n$ est un entier naturel, par la valeur arrondie à l'entier le plus proche de $u_n$ où $u_n = 800 + 578\ln (n + 1)$.
   1. Vérifier que cette suite satisfait aux données du tableau précédent.
   2. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|ll|}\hline S \gets 0 \\ \text{ Pour } i \text{allant de } 0 \text{ à } 15 \\ \hspace{0.5cm}| S \gets S + \text{ ARRONDI }(800 + 578\ln (i + 1)) \\ \text{Fin Pour }\\ \hline \end{array}$$ On précise que ARRONDI$(x)$ signifie: calculer la valeur arrondie de $x$ à l'entier le plus proche. Une fois l'algorithme exécuté, $S$ contient la valeur $30\;529$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
   3. La suite $\left(u_n\right)$ peut-elle modéliser la production des pales d'éoliennes de l'usine espagnole depuis 2001 ? Justifier la réponse.
2. On examine maintenant une modélisation de la production par la suite géométrique $\left(v_n\right)$ de premier terme $v_0 = 800$ et de raison $q = 1,14$.
   1. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   2. Calculer $v_7$. On donnera le résultat arrondi à l'unité.
   3. On rappelle que la somme des premiers termes consécutifs d'une suite géométrique de premier terme $v_0$ et de raison $q \neq 1$ est donnée par : \[v_0 + v_1 + \ldots + v_n = v_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.\] Calculer $v_0 + v_1 + \ldots + v_{15}$. On donnera le résultat arrondi à l'unité.
   4. Peut-on modéliser par la suite $\left(v_n\right)$ la production, depuis 2001, de pales d'éoliennes de l'usine espagnole ? Justifier la réponse.

 

Partie B

L'entreprise gère aussi la réparation des pales sur leur lieu d'utilisation. On estime que la durée de vie d'une pale, exprimée en années, avant la première réparation, est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,125$. Pour chaque question, donner le résultat arrondi à $10^{-3}$.

1. Calculer $P(0 \leqslant X \leqslant 5)$.
2. Calculer la probabilité qu'une pale n'ait pas eu de réparation au cours des dix premières années.
3. Déterminer la durée de vie moyenne d'une pale avant la première réparation.

Correction de l'exercice 3 (5 points)

Suites

Une éolienne est un générateur qui produit du courant électrique à partir de l'énergie cinétique du vent. Une entreprise européenne réalise la conception, la fabrication, la vente, l'installation ainsi que l'exploitation et la maintenance de ses éoliennes. Son service de presse a publié un article en janvier 2017 dont voici un extrait: « Une de nos usines située en Espagne, en exploitation depuis 2001, a produit au total plus de $40\;000$ pales d'éoliennes de 2001 à 2016, pales qui ont été exportées vers cinq continents. »
On dispose également des données suivantes sur la production de l'usine espagnole considérée. $$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Année } &\text{Quantité de pales produites pendant l'année}\\ \hline 2001 &800\\ \hline 2008 &2002\\ \hline \end{array}$$

Partie A

Le but de cette partie est de trouver une suite modélisant au mieux la production des pales d'éoliennes de l'usine espagnole depuis 2001. On étudie deux modélisations.

1. Dans cette question, on se propose de modéliser le nombre de pales produites par l'usine espagnole pendant l'année $2001 + n$, où $n$ est un entier naturel, par la valeur arrondie à l'entier le plus proche de $u_n$ où $u_n = 800 + 578\ln (n + 1)$.
   1. Vérifier que cette suite satisfait aux données du tableau précédent.
      • L'année 2001 correspond à $n=0$ et $u_0=800+578\ln(1)=800$.
      • L'année 2008 correspond à $n=7$ et $u_7=800 + 578\ln(8)$ qui a pour valeur arrondie à l'unité près $ 2002 $.
   2. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|ll|}\hline S \gets 0 \\ \text{ Pour } i \text{allant de } 0 \text{ à } 15 \\ \hspace{0.5cm}| S \gets S + \text{ ARRONDI }(800 + 578\ln (i + 1)) \\ \text{Fin Pour }\\ \hline \end{array}$$ On précise que ARRONDI$(x)$ signifie: calculer la valeur arrondie de $x$ à l'entier le plus proche. Une fois l'algorithme exécuté, $S$ contient la valeur $30\;529$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
   D'après ce modèle, il n'y a eu que $30529$ pales produites entre 2001 et 2016 alors que le service de presse de l'entreprise en annonce « plus de 40000 ».
   La variable $S$ donne le nombre total de pales produites pour $n$ compris entre 0 et 15, c'est-à-dire entre 2001 et 2016.
   3. La suite $\left(u_n\right)$ peut-elle modéliser la production des pales d'éoliennes de l'usine espagnole depuis 2001 ? Justifier la réponse.
   La suite $\left(u_n\right)$ ne peut donc pas modéliser la production des pales d'éoliennes de l'usine espagnole depuis 2001.
2. On examine maintenant une modélisation de la production par la suite géométrique $\left(v_n\right)$ de premier terme $v_0 = 800$ et de raison $q = 1,14$.
   1. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   $v_n=v_0\times q^n = 800\times 1,14^{n}$
   2. Calculer $v_7$. On donnera le résultat arrondi à l'unité.
   $v_7=800\times 1,14^{7} \approx 2002 $ (à l'unité près).
   3. On rappelle que la somme des premiers termes consécutifs d'une suite géométrique de premier terme $v_0$ et de raison $q \neq 1$ est donnée par : \[v_0 + v_1 + \ldots + v_n = v_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.\] Calculer $v_0 + v_1 + \ldots + v_{15}$. On donnera le résultat arrondi à l'unité.
   $v_0 + v_1 + \ldots + v_{15} = v_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = 800 \times \dfrac{1-1,14^{16}}{1-1,14}$ a pour valeur arrondie à l'unité $ 40784 $.
   4. Peut-on modéliser par la suite $\left(v_n\right)$ la production, depuis 2001, de pales d'éoliennes de l'usine espagnole ? Justifier la réponse.
      • Le service de presse avait annoncé » plus de 40000 « pales produites entre 2001 et 2015. La modélisation par la suite $\left(v_n\right)$ en prévoit 40784 .
      • De plus pour 2001, $v_0=800$ et pour 2008, $v_7= 2002 $ donc la suite $\left(v_n\right)$ satisfait aux données du tableau.
   On peut donc modéliser par la suite $\left(v_n\right)$ la production, depuis 2001, de pales d'éoliennes de l'usine espagnole.

 

Partie B

L'entreprise gère aussi la réparation des pales sur leur lieu d'utilisation. On estime que la durée de vie d'une pale, exprimée en années, avant la première réparation, est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,125$. Pour chaque question, donner le résultat arrondi à $10^{-3}$.

1. Calculer $P(0 \leqslant X \leqslant 5)$.
$P(X \leqslant a) = \displaystyle\int_{0}^{a} \lambda \text{e}^{-\lambda t} \text{d} t = 1-\text{e}^{- \lambda a}$ Donc $P(0 \leqslant X \leqslant 5) = 1-\text{e}^{-0,125 \times 5} = 1-\text{e}^{0,625} \approx 0,465$.
2. Calculer la probabilité qu'une pale n'ait pas eu de réparation au cours des dix premières années.
La probabilité qu'une pale n'ait pas eu de réparation au cours des dix premières années est $P(X>10) = 1-P(X\leqslant 10) = 1-\left ( 1-\text{e}^{-0,125\times 10}\right ) = \text{e}^{-1,25} \approx 0,287$.
3. Déterminer la durée de vie moyenne d'une pale avant la première réparation.
La durée de vie moyenne d'une pale avant la première réparation est, en années, $E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0,125} = 8$.

Exercice 4 4 points

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n 'enlèvent aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

1. Si $z_1 = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_2 = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ alors le quotient $\dfrac{z_1}{\left(z_2\right)^2}$ vaut :
   
   • a.$\quad- 2$
   • b.$\quad- \sqrt{3} + \text{i}$
   • c. $\quad2$
   • d.$\quad- \sqrt{3} - \text{i}$
2. Si $z_1 = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_2 = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ alors le produit $\overline{z_1} \times z_2$ vaut :
   
   
   • a.$\quad-2 $
   • b. $\quad1 - \text{i}\sqrt{3}$
   • c.$\quad\text{e}^{\text{i}\pi}$
   • d.$\quad- 1 - \text{i}\sqrt{3}$
3. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$. Sachant que $P(X \in [189~;~191]) \approx 0,95\:$, $\mu$ et $\sigma$ peuvent prendre les valeurs :
   
   
   • a.$\quad \mu = 1$ et $\sigma = 190$
   • b. $\quad\mu = 190$ et $\sigma = 1$
   • c. $\quad\mu = 190$ et $\sigma = 0,5$
   • d. $\quad\mu = 0,5$ et $\sigma = 190$
4. Dans le cadre du fonctionnement correct d'une chaîne de production de pièces détachées, la proportion de pièces détachées conformes doit être 96 %. On contrôle la production de la chaîne en prélevant de manière aléatoire un échantillon de $150$ pièces détachées. On rappelle que l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence $p$ des pièces détachées conformes sur un échantillon de taille $n$ est : \[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]\] En utilisant un intervalle de fluctuation asymptotique à 95 %, on prendra la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production si le nombre de pièces détachées non conformes trouvées dans l'échantillon prélevé est :
   
   
   • a. $\quad8$
   • b.$\quad9$
   • c.$\quad10$
   • d.$\quad11$

Exercice 4 4 points

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n 'enlèvent aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

1. Si $z_1 = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_2 = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ alors le quotient $\dfrac{z_1}{\left(z_2\right)^2}$ vaut :
   
   • a.$\quad- 2$
   • b.$\quad- \sqrt{3} + \text{i}$
   • c. $\quad2$
   • d.$\quad- \sqrt{3} - \text{i}$
$\left |z_1\right |=2$ donc $z_1 = 2\left ( -\dfrac{1}{2} + \text{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right ) = 2\text{e}^{\text{i} \frac{2\pi}{3}}$ et $z_2=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ donc $z_2^{2}=\left (\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right )^2 =\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$ On en déduit que $\dfrac{z_1}{\left (z_2\right )^2} = \dfrac{2 \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}}{\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}}=2$.
Réponse c
2. Si $z_1 = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_2 = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ alors le produit $\overline{z_1} \times z_2$ vaut :
   
   
   • a.$\quad-2 $
   • b. $\quad1 - \text{i}\sqrt{3}$
   • c.$\quad\text{e}^{\text{i}\pi}$
   • d.$\quad- 1 - \text{i}\sqrt{3}$
$z_1 = 2\text{e}^{\text{i} \frac{2\pi}{3}}$ donc $\overline{z_1} = 2\text{e}^{-\text{i} \frac{2\pi}{3}}$ $\overline{z_1} \times z_2=2\text{e}^{-\text{i} \frac{2\pi}{3}} \times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} = 2\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}} = 2\left ( \dfrac{1}{2} -\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right ) = 1 - \text{i}\sqrt{3}$
Réponse b.
3. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$. Sachant que $P(X \in [189~;~191]) \approx 0,95\:$, $\mu$ et $\sigma$ peuvent prendre les valeurs :
   
   
   • a.$\quad \mu = 1$ et $\sigma = 190$
   • b. $\quad\mu = 190$ et $\sigma = 1$
   • c. $\quad\mu = 190$ et $\sigma = 0,5$
   • d. $\quad\mu = 0,5$ et $\sigma = 190$
Pour une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, on sait que $P\left (X\in [\mu -2\sigma\:; \mu+2\sigma]\strut\right ) \approx 0,95$. Si $\mu=190$ et $\sigma=0,5$, alors $P\left (X\in [190 -2\times 0,5~; 190+2\times 0,5]\strut\right )\approx 0,95$.
Réponse c.
4. Dans le cadre du fonctionnement correct d'une chaîne de production de pièces détachées, la proportion de pièces détachées conformes doit être 96 %. On contrôle la production de la chaîne en prélevant de manière aléatoire un échantillon de $150$ pièces détachées. On rappelle que l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence $p$ des pièces détachées conformes sur un échantillon de taille $n$ est : \[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]\] En utilisant un intervalle de fluctuation asymptotique à 95 %, on prendra la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production si le nombre de pièces détachées non conformes trouvées dans l'échantillon prélevé est :
   
   
   • a. $\quad8$
   • b.$\quad9$
   • c.$\quad10$
   • d.$\quad11$
$p=0,96$ et $n=150$ donc l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la proportion de pièces conformes est
$I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]$
$\phantom{I} = \left[0,96 - 1,96\sqrt{\dfrac{0,96\times 0,04}{150}}~;~0,96 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,96\times 0,04}{150}}\right] \approx \left [ 0,928\:; 0,992\strut\right ]$
On calcule les fréquences correspondant à chacune des réponses proposées.
Si 8 pièces sont non conformes, $142$ sont conformes; $f_{\text a}=\dfrac{142}{150}\approx 0,947 \in I$.
Si 9 pièces sont non conformes, $141$ sont conformes; $f_{\text b}=\dfrac{141}{150} = 0,947 \in I$.
Si 10 pièces sont non conformes, $140$ sont conformes; $f_{\text c}=\dfrac{140}{150}\approx 0,933 \in I$.
Si 11 pièces sont non conformes, $139$ sont conformes; $f_{\text d}=\dfrac{139}{150}\approx 0,927 \notin I$.
Réponse d.