Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 16 juin 2017 - Correction Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Probabilités

Dans cet exercice, les résultats demandés seront arrondis à $10^{-3}$, sauf indication contraire.

Partie A

Pour dépister les maladies de la glande thyroïde chez un patient, on mesure le taux d’une hormone appelée TSH. Un médecin étudie les dossiers médicaux des patients de son hôpital. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à un dossier pris au hasard dans cet hôpital, associe le taux de TSH du patient correspondant. On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 2,2$ et d’écart type $\sigma$ = 0,9.

1. Déterminer $p(X < 3)$.
$P(X<3)=P(X\leq 2,2)+P(2,2 < X <3)=0,5+P(2,2< X <3)\approx 0,813$
ou de façon plus directe :


2ND DISTR 2NORMALFRép( -10^(99) , \1,$\2$,$\3$)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(-10^{99},\1,\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \leq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
Arrondie au millième près, la probabilité qu'un dossier médical pris au hasard dans cet hôpital présente un taux de TSH inférieur à 3 est égale à 0,813.
2. Déterminer la probabilité qu’un dossier médical pris au hasard dans cet hôpital présente un taux de TSH compris entre $1,5$ et $3,5$.
$P(1,5\leq X\leq 3,5)\approx 0,707$


2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

 

Arrondie au millième près, la probabilité qu'un dossier médical pris au hasard dans cet hôpital présente un taux de TSH compris entre 1,5 et 3,5 est égale à 0,707.
3. Pour les dossiers médicaux dont le taux de TSH est supérieur à $4$, les médecins prescrivent des examens complémentaires au patient. Déterminer la probabilité qu’un dossier médical pris au hasard dans cet hôpital corresponde à un patient qui nécessite des examens complémentaires.
$P(X>4)=P(X\geq 2,2)-P(2,2\leq X\leq 4)=0,5-P(2,2\leq X\leq 4)\approx 0,023$
Ou de façon plus directe :


 

2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
Arrondie au millième près, la probabilité qu'un dossier médical pris au hasard dans cet hôpital corresponde à un patient qui nécessite des examens complémentaires est égale à 0,023.

Partie B

En 2012, l’Agence Nationale de Sécurité du Médicament (ANSM) s’est inquiétée de la forte augmentation des ventes du médicament qui traite l’hypothyroïdie. Pour obtenir un état des lieux de l’utilisation de ce médicament en France, l’ANSM a effectué un sondage sur 530877 personnes. Dans cet échantillon, 21771 personnes ont déclaré qu’elles utilisaient ce médicament.

1. Quelle est la fréquence des utilisateurs du médicament dans l’échantillon étudié ?
Soit $f$ la fréquence des utilisateurs du médicament dans l'échantillon :$f=\dfrac{21771}{530877}\approx 0,041$
La fréquence des utilisateurs du médicament dans l'échantillon étudié est $f\approx 0,041$.
2. Déterminer un intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95% de la proportion d’utilisateurs de ce médicament dans la population française.

La fréquence est égale à  $\1$. La taille $n$ de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
Comme  $ n =\2$ ,   $n \times \8  $=\3  et $n\times (1-\8)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de confiance sont réunies.

En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times \8 \geq 5 \text{ et } n\times (1-\8) \geq 5$$

L' intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95% est : \[\9 = \left[\8 - 1,96\sqrt{\dfrac{\8(1 - \8)}{n}}~;~\8 + 1,96\sqrt{\dfrac{\8(1 - \8)}{n}} \right]\]
La fréquence est $\8=\1$.
L'intervalle de confiance au niveau de 95% est \[\9 = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1 (1 - \1 )}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1 (1 - \1 )}{\2}} \right]\approx[\5~;~\6]\] 

Un intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95 % de la proportion d'utilisateurs de ce médicament dans la population française est l'intervalle $I=[0,040,042]$.

Rappel : Lorsqu’une fréquence $f$ est mesurée dans un échantillon de taille $n$, l’intervalle de confiance à 95% de la proportion dans la population est donné par : \[I = \Bigg[f -1,96 \sqrt{\dfrac{f (1- f )}{n}} ~,~ f +1,96 \sqrt{\dfrac{f (1- f )}{n}}\Bigg]\]

Partie C

En médecine, on utilise de l’iode radioactif pour traiter certaines maladies de la glande thyroïde. La durée de vie exprimée en heure d’un atome d’iode radioactif est modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,0036 $, exprimé en $h^{-1}$.

1. Calculer la durée de vie moyenne en heure de l’atome d’iode radioactif. On arrondira le résultat à l’unité.
L'espérance mathématique de la variable aléatoire $D$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0,0036$ est : $E(D)=\dfrac{1}{0,0036}\approx 278$
La durée de vie moyenne de l'atome d'iode radioactif est d'environ 278 heures.
2. Déterminer $P(24 < D < 48)$. Interpréter le résultat. Rappel : la fonction de densité de la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t) = \lambda\text{e}^{-\lambda t}$.
3. On appelle demi-vie d’un élément radioactif le temps $T$, exprimé en heure, nécessaire pour que la moitié des atomes radioactifs d’une substance se soit désintégrée. Autrement dit, ce réel $T$ est tel que $P(D < T) = \frac{1}{2}$.
   1. Démontrer que $T=\frac{\ln 2}{\lambda}$.
   La variable aléatoire $D$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0,0036$ d'où : $$\begin{array}{rl} P(D < T) =\dfrac{1}{2}&\iff 1- \text{e}^{-\lambda .T } =\dfrac{1}{2}\\ & \iff \text{e}^{-\lambda .T }\ =\dfrac{1}{2}\\ & \iff \ln \left( \text{e}^{-\lambda .T } \right) = \ln \left(\dfrac{1}{2}\right) \\ & \iff -\lambda .T =-\ln 2 \\ & \iff T= \dfrac{\ln 2 }{\lambda } \end{array}$$ La demi-vie de l'iode radioactif est $T= \dfrac{\ln 2 }{\lambda }$
   2. En déduire la demi-vie de l’iode radioactif. Donner le résultat en jour.
   Comme $\lambda=0,0036$, on en déduit que  $T=\dfrac{\ln 2 }{\lambda }=\dfrac{\ln 2 }{0,0036 }$ ce qui correspond à une durée exprimée en jours de $T\approx 8$
   La demi-vie de l'iode radioactif est d'environ 8 jours.