Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 16 juin 2017 - Exercice 3

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Exercice 3 5 points

Fonctions ln

Dans cet exercice, $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien et l’unité de longueur est le mètre (m). Un ingénieur prépare un plan pour fabriquer la voile d'un petit bateau. La voile est représentée en gris dans le repère orthonormé ci-dessous où une unité représente un mètre.

$C_f$ est la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $[0,1~;~+\infty[$ par : \[ f(x) = 12+ax^2+\ln(x).\] où $a$ est un nombre réel qui sera déterminé dans la partie A. S est le point de $C_f$ d’abscisse 1. A est le point de $C_f$ d’abscisse 2. B est le point de $C_f$ d’abscisse 5. D est le point d’intersection de la droite d’équation $x = 2$ et de la droite parallèle à l’axe des abscisses passant par B. La voile est représentée par le domaine délimité par le segment [AD], le segment [DB] et la courbe $C_f$.

Partie A

La fonction $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.

1. On suppose que la tangente à la courbe $C_f$ au point S est horizontale. Que vaut $f'(1)$ ?
2. Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $[0,1~;~+\infty[$.
3. 1. Exprimer $f'(1)$ en fonction de $a$.
   2. Démontrer que $a=-0,5$ .

Partie B

1. Montrer que la fonction $F$ définie sur $[0,1~;~+\infty[$ par \[F(x)=11x-\frac{1}{6}x^3 + x\ln(x)\] est une primitive de $f$ sur $[0,1~;~+\infty[$.
La dérivée de la fonction $F$ est la fonction $F′$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0,1~;~+\infty[$ par : $F′(⁡x)=11-36⁢x^2+1\times ln⁡x +x\times \dfrac{1}{x}=12-12⁢x^2+\ln⁡ x$
Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0,1~;~+\infty[$ on a $F′⁡(x)=f⁡(x)$ donc la fonction $F$ définie par $F(x)=11x-\frac{1}{6}x^3 + x\ln(x)$ est une primitive de $f$ sur$[0,1~;~+\infty[$.
2. 1. Calculer la valeur exacte, exprimée en unité d’aire, de l’aire du domaine limité par la courbe $C_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=2$ et $x=5$.
   2. Vérifier qu’une valeur approchée de cette aire, arrondie au dixième, est $20,2 $ m $^2$.
3. Cette voile doit être légère tout en étant suffisamment résistante. Elle est fabriquée dans un tissu ayant une masse de $260$ grammes par mètre carré. La voile pèsera-t-elle moins de $5$ kg ? Justifier la réponse.