Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 16 juin 2017 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Probabilités

Dans cet exercice, les résultats demandés seront arrondis à $10^{-3}$, sauf indication contraire.

Partie A

Pour dépister les maladies de la glande thyroïde chez un patient, on mesure le taux d’une hormone appelée TSH. Un médecin étudie les dossiers médicaux des patients de son hôpital. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à un dossier pris au hasard dans cet hôpital, associe le taux de TSH du patient correspondant. On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 2,2$ et d’écart type $\sigma$ = 0,9.

1. Déterminer $p(X < 3)$.
2. Déterminer la probabilité qu’un dossier médical pris au hasard dans cet hôpital présente un taux de TSH compris entre $1,5$ et $3,5$.
3. Pour les dossiers médicaux dont le taux de TSH est supérieur à $4$, les médecins prescrivent des examens complémentaires au patient. Déterminer la probabilité qu’un dossier médical pris au hasard dans cet hôpital corresponde à un patient qui nécessite des examens complémentaires.

Partie B

En 2012, l’Agence Nationale de Sécurité du Médicament (ANSM) s’est inquiétée de la forte augmentation des ventes du médicament qui traite l’hypothyroïdie. Pour obtenir un état des lieux de l’utilisation de ce médicament en France, l’ANSM a effectué un sondage sur 530877 personnes. Dans cet échantillon, 21771 personnes ont déclaré qu’elles utilisaient ce médicament.

1. Quelle est la fréquence des utilisateurs du médicament dans l’échantillon étudié ?
2. Déterminer un intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95% de la proportion d’utilisateurs de ce médicament dans la population française.

Rappel : Lorsqu’une fréquence $f$ est mesurée dans un échantillon de taille $n$, l’intervalle de confiance à 95% de la proportion dans la population est donné par : \[I = \Bigg[f -1,96 \sqrt{\dfrac{f (1- f )}{n}} ~,~ f +1,96 \sqrt{\dfrac{f (1- f )}{n}}\Bigg]\]

Partie C

En médecine, on utilise de l’iode radioactif pour traiter certaines maladies de la glande thyroïde. La durée de vie exprimée en heure d’un atome d’iode radioactif est modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,0036 $, exprimé en $h^{-1}$.

1. Calculer la durée de vie moyenne en heure de l’atome d’iode radioactif. On arrondira le résultat à l’unité.
2. Déterminer $P(24 < D < 48)$. Interpréter le résultat. Rappel : la fonction de densité de la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t) = \lambda\text{e}^{-\lambda t}$.
3. On appelle demi-vie d’un élément radioactif le temps $T$, exprimé en heure, nécessaire pour que la moitié des atomes radioactifs d’une substance se soit désintégrée. Autrement dit, ce réel $T$ est tel que $P(D < T) = \frac{1}{2}$.
   1. Démontrer que $T=\frac{\ln 2}{\lambda}$.
   2. En déduire la demi-vie de l’iode radioactif. Donner le résultat en jour.