Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 16 juin 2017

 

Exercice 1 4 points

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule réponse choisie.
Dans cet exercice, i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument $\frac{\pi}{2}$.

1. La suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0 = - 3$ et pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1}=\frac{7}{5}u_n$. La limite quand $n$ tend vers $+\infty$ de $\left(u_n\right)$ est :
   
   • A: $0$
   • B:$-\infty$
   • C: $+\infty$
   • D: $-3$
2. On considère la suite géométrique $\left(v_n\right)$ définie par son premier terme $v_0=\frac{1}{4}$ et sa raison $q=\frac{3}{2}$. La valeur exacte du terme $v_{10}$ est égale à :
   
   
   • A: $14.4 $
   • B: $ 7.3 \times 10^{-4}$
   • C:$\frac{59049}{4096}$
   • D: $\frac{15}{4}$
3. On considère le nombre complexe $z = \sqrt{3} - 5\mathrm{i}$. Le nombre complexe $z \overline{z}$ est égal à :
   
   • A: $3 - 25\mathrm{i}$
   • B: $\left(-\sqrt{3} + 5\mathrm{i}\right)\left(\sqrt{3} -5\mathrm{i}\right)$
   • C: $-28$
   • D: $28$
4. Le nombre $a$ est un réel strictement positif. Le nombre complexe $z=a + \mathrm{i} a\sqrt{3}$ admet pour forme exponentielle :
   
   • A: $\text{e}^{\mathrm{i}\frac{a \pi}{3}}$
   • B: $a\text{e}^{\mathrm{i}\frac{2a \pi}{3}}$
   • C: $2a\text{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$
   • D: $2a\text{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$

 

Correction de l'exercice 1 (4 points)

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule réponse choisie.
Dans cet exercice, i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument $\frac{\pi}{2}$.

1. La suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0 = - 3$ et pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1}=\frac{7}{5}u_n$. La limite quand $n$ tend vers $+\infty$ de $\left(u_n\right)$ est :
   
   • A: $0$
   • B:$-\infty$
   • C: $+\infty$
   • D: $-3$
$\left( u_n\right) $ est une suite géométrique de raison $q= \dfrac{7}{5}$ de premier terme $u_0=-3$, donc $u_n=q^n \times u_0= -3\left( \dfrac{7}{5}\right) ^n$.
Comme $ \dfrac{7}{5}> 1$, on déduit $\lim\limits_{n \to +\infty} \left( \dfrac{7}{5}\right) ^n = +\infty$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty} -3\left( \dfrac{7}{5}\right) ^n = -\infty$
La bonne réponse est B.
2. On considère la suite géométrique $\left(v_n\right)$ définie par son premier terme $v_0=\frac{1}{4}$ et sa raison $q=\frac{3}{2}$. La valeur exacte du terme $v_{10}$ est égale à :
   
   
   • A: $14.4 $
   • B: $ 7.3 \times 10^{-4}$
   • C:$\frac{59049}{4096}$
   • D: $\frac{15}{4}$
$\left( v_n\right) $ est une suite géométrique de raison $q= \frac{3}{2}$ de premier terme $v_0=\frac{1}{4}$, donc $v_n=q^n \times v_0= \frac{1}{4}\left( \frac{3}{2}\right) ^n$. $$\begin{array}{rl} v_{10}& =\frac{1}{4}\left( \frac{3}{2}\right) ^{10}\\ & =\frac{1}{4}\times \frac{3^{10}}{2^{10}} \\ &=\dfrac{59\;049}{4\;096} \end{array}$$ La bonne réponse est C.
3. On considère le nombre complexe $z = \sqrt{3} - 5\mathrm{i}$. Le nombre complexe $z \overline{z}$ est égal à :
   
   • A: $3 - 25\mathrm{i}$
   • B: $\left(-\sqrt{3} + 5\mathrm{i}\right)\left(\sqrt{3} -5\mathrm{i}\right)$
   • C: $-28$
   • D: $28$
$$\begin{array}{rl} z \overline{z}& =a^2+b^2\\ & = \sqrt 3 ^2+5^2 \\ &=3=25=28 \end{array}$$ La bonne réponse est D.
4. Le nombre $a$ est un réel strictement positif. Le nombre complexe $z=a + \mathrm{i} a\sqrt{3}$ admet pour forme exponentielle :
   
   • A: $\text{e}^{\mathrm{i}\frac{a \pi}{3}}$
   • B: $a\text{e}^{\mathrm{i}\frac{2a \pi}{3}}$
   • C: $2a\text{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$
   • D: $2a\text{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$
$z=a + \mathrm{i} a\sqrt{3}$ $$\begin{array}{cc} \text{\text{Module}}& \text{\text{Argument}}\\ \begin{array}{rl|rl} |z |&=\sqrt{a^2+b^2} \\ & =\sqrt{ a^2+\left( a\sqrt{3}\right) ^2}\\ &=\sqrt {a^2+3a^2}\\ &=\sqrt {4a^2}\\ &=2a \end{array}& \left\lbrace \begin{array}{l} \cos \theta=\frac{a}{r}~=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\\ ~\sin \theta=\frac{b}{r}~= \frac{a\sqrt 3}{2a}= \frac{\sqrt 3}{2} \end{array} \right.\\ &\text{ Donc } \theta = \frac{\pi}{3} \text{ convient } \end{array}$$ $$z= a + \mathrm{i} a\sqrt{3}= 2a\left(\cos\left( \frac{\pi}{3} \right) +i\sin \left( \frac{\pi}{3} \right) \right) = 2a\text{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$$ La bonne réponse est C.

 

Exercice 2 7 points

Suites, exponentielles, équation différentielle

En 1648, Blaise Pascal a demandé à son beau-frère Florin Périer de mesurer la hauteur de mercure dans deux baromètres, l'un situé à Clermont-Ferrand et l'autre en haut de la montagne la plus proche, le Puy-de-Dôme. Florin Périer a constaté que la hauteur de mercure dans le baromètre situé en haut du Puy-de-Dôme était inférieure à la hauteur de mercure dans le baromètre situé plus bas, à Clermont-Ferrand. Cette expérience a permis de montrer que la pression atmosphérique diminue lorsque l’altitude augmente.
Dans cet exercice, la pression atmosphérique est exprimée en hectopascal (hPa) .
On rappelle que la pression atmosphérique vaut $ 1013,25\; hPa $ au niveau de la mer.

Partie A : Une règle simplifiée

Pour évaluer la pression atmosphérique, les alpinistes utilisent la règle simplifiée suivante : « la pression atmosphérique diminue de $0,11$ hectopascal quand l’altitude augmente de 1 mètre ».

1. Recopier et compléter le tableau suivant en utilisant cette règle : 
   

   altitude(en mètre)	0	800	1500	2000
   pression atmosphérique (en hPa)	1013,25

2. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la pression atmosphérique en hPa à l’altitude de $n$ mètres calculée avec la règle simplifiée. Ainsi $u_0 =1 013,25$.
   1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
   2. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas géométrique.
   3. On admet que pour tout entier naturel $n,\ u_n = u_0 - 0,11 n$. En déduire l’altitude, exprimée en mètre, à partir de laquelle la pression atmosphérique est inférieure à $950\; hPa$ .

 

Partie B : La formule barométrique

On considère l’équation différentielle (E) : \[y' + 0,12 y = 0\] où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ est la fonction dérivée de $y$. Pour de faibles valeurs de l’altitude, les scientifiques ont démontré que la fonction $f$ qui, à l’altitude $x$ en kilomètre , associe la pression atmosphérique en hectopascal est la solution de l’équation différentielle (E) qui vérifie $f(0) = 1013,25 $ .

1. 1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E).
   2. Démontrer que la solution $f$ de l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale $f(0)= 1 013,25$ est la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par : \[f(x)= 1013.25 \text{e}^{-0,12x}\]
2. En utilisant la fonction $f$ :
   1. Calculer une valeur approchée à $0,01$ près de la pression atmosphérique à 150 mètres d’altitude.
   2. Calculer l’altitude, arrondie au mètre, correspondant à une pression atmosphérique de $900 \; hPa$ .
3. On pose $v_n = f(n)$, pour tout entier naturel $n$. Justifier qu’avec ce modèle, la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.

 

Partie C : La formule du nivellement barométrique

La formule de la partie B ne tient pas compte des changements de température et ne peut donc être utilisée que pour de faibles altitudes. Pour des altitudes plus élevées, on utilise la fonction $p$ qui à l’altitude $x$ en kilomètre associe la pression atmosphérique en hPa : \[p(x)= 1013,25 \left(1-\dfrac{6,5x}{288,15}\right)^{ 5.255 }\]

1. Calculer la pression atmosphérique (en hPa, arrondie à l’unité) au sommet de l’Everest dont l’altitude est 8848 mètres.
2. Recopier et compléter l’algorithme suivant en utilisant la fonction $p$, de façon à ce qu’il affiche en sortie l’altitude (estimée à $100$ mètres près) à partir de laquelle la pression atmosphérique est inférieure à 400 hPa. $$ \begin{array}{|ll|} \hline \text{Variables} &A \text{ un nombre réel }\\ &P \text{ un nombre réel}\\ \text{Début}& \\ & A \text{ prend la valeur 0}\\ & P \text{ prend la valeur 1013.25}\\ & \text{Tant que} \dots \text{faire}\\ &\hspace{4em} \begin{array}{|l} A \text{ prend la valeur } A + 0,1 \\ P \text{ prend la valeur } \dots\\ \end{array}\\ &\text{Fin tant que}\\ &\text{ Afficher } \dots\\ &\text{Fin}\\ \hline \end{array}$$

    

   
   

   Correction de l'exercice 2 (5 points)

   
   Suites, exponentielles, équation différentielle

   En 1648, Blaise Pascal a demandé à son beau-frère Florin Périer de mesurer la hauteur de mercure dans deux baromètres, l'un situé à Clermont-Ferrand et l'autre en haut de la montagne la plus proche, le Puy-de-Dôme. Florin Périer a constaté que la hauteur de mercure dans le baromètre situé en haut du Puy-de-Dôme était inférieure à la hauteur de mercure dans le baromètre situé plus bas, à Clermont-Ferrand. Cette expérience a permis de montrer que la pression atmosphérique diminue lorsque l’altitude augmente.
   Dans cet exercice, la pression atmosphérique est exprimée en hectopascal (hPa) .
   On rappelle que la pression atmosphérique vaut $ 1013,25\; hPa $ au niveau de la mer.

   Partie A : Une règle simplifiée

   
   Pour évaluer la pression atmosphérique, les alpinistes utilisent la règle simplifiée suivante : « la pression atmosphérique diminue de $0,11$ hectopascal quand l’altitude augmente de 1 mètre ».

   1. Recopier et compléter le tableau suivant en utilisant cette règle : 
      

      altitude(en mètre)	0	800	1500	2000
      pression atmosphérique (en hPa)	1013,25

   2. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la pression atmosphérique en hPa à l’altitude de $n$ mètres calculée avec la règle simplifiée. Ainsi $u_0 =1 013,25$.
      1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
      $u_1=1013,25-0,11\times 1=1013,14 $ et $u_2=1013,25-0,11\times 2=1013,03$
      Ainsi, $u_1=1013,14$ et $u_2=1013,03$.
      2. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas géométrique.
      $\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{1013,14}{1013,25}$; $\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{1013,03}{1013,14}$ et $1013,14^2\neq 1013,25\times 1013,03$ $\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}$ donc la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas géométrique.
      $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de raison $r=-0,11$ et de premier terme $u_0=1013,25$.
      3. On admet que pour tout entier naturel $n,\ u_n = u_0 - 0,11 n$. En déduire l’altitude, exprimée en mètre, à partir de laquelle la pression atmosphérique est inférieure à $950\; hPa$ .
      On cherche le plus petit entier $n$ solution de l'inéquation :$1013,25-0,11⁢n<950$ $$\begin{array}{rll} u_n < 950 & \iff 1013,25-0,11⁢n<950& \text{ en ajoutant } -1013,25\\ & \iff -0,11⁢n < < 950-1013,25 &\\ &\iff -0,11n < -63,25 &\\ & \iff n > \dfrac{-63,25}{-0,11} \text{ en divisant par } -0,11< 0& \\ &\iff n > 575 &\\ \end{array}$$ Au dessus de 575 mètres, la pression atmosphérique est inférieure à 950 hPa.

    

   Partie B : La formule barométrique

   
   On considère l’équation différentielle (E) : \[y' + 0,12 y = 0\] où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ est la fonction dérivée de $y$. Pour de faibles valeurs de l’altitude, les scientifiques ont démontré que la fonction $f$ qui, à l’altitude $x$ en kilomètre , associe la pression atmosphérique en hectopascal est la solution de l’équation différentielle (E) qui vérifie $f(0) = 1013,25 $ .

   1. 1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E).
      On met l'équation différentielle sous forme résolue : $y'=a y$ $$\begin{array}{rl} y' + 0,12y = 0&\iff y'= -0.12 y \end{array}$$ Les solutions de l'équation différentielle $y′=-0,12⁢y $ sont les fonctions définies pour tout réel $t$ par $t\mapsto k⁢\text{e}^{—0,12⁢x}$ où $k$ est une constante réelle quelconque.
      2. Démontrer que la solution $f$ de l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale $f(0)= 1 013,25$ est la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par : \[f(x)= 1013.25 \text{e}^{-0,12x}\]
      La condition $f⁡(0)=1 013,25$ équivaut à $k\text{e}^0=1 013,25$ d'où $k=1 013,25$
      Ainsi, la fonction $f$ est définie sur $[0;+\infty[$ par $f⁡(x)=1 013,25\text{e}^{—0,12⁢x}$.
   2. En utilisant la fonction $f$ :
      1. Calculer une valeur approchée à $0,01$ près de la pression atmosphérique à 150 mètres d’altitude.
      150m=0,15km et,
      $f(⁡0,15)=1013,25\text{e}^{-0,12⁢\times 0,15}\approx 995,18$
      Arrondie à 0,01 près de la pression atmosphérique à 150 mètres d'altitude est de 995,18 hPa.
      2. Calculer l’altitude, arrondie au mètre, correspondant à une pression atmosphérique de $900 \; hPa$ .
      L'altitude $x$ en kilomètre, correspondant à une pression atmosphérique de 900 hPa est solution de l'équation $f⁡(x)=900$.
      Soit : $$\begin{array}{rll} f(x)= 900& \iff 1013,25 \text{e}^{-0.12 x} =900&\\ & \iff \text{e}^{-0.12 x} = \dfrac{900}{1013,25}&\text{ en divisant par } 1013,25 \\ & \iff \ln \left( \text{e}^{-0.12 x }\right) =\ln \left( \dfrac{900}{1013,25}\right) & \text{ car } \ln \text{ est strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \\ & \iff -0,12 x =\ln \left( \dfrac{900}{1013,25}\right) & \text{ car } \ln\left( \text{e}^{a}\right) = a \\ & x= -\dfrac{ \ln \left( \dfrac{900}{1013,25}\right)}{0,12}& \text{ car on a divisé par } -0,12 < 0\\ \end{array}$$ $-\dfrac{ \ln \left( \dfrac{900}{1013,25}\right) }{0,12}\approx 0,988$ Arrondie au mètre près, l'altitude correspondant à une pression atmosphérique de 900 hPa est de 988 mètres.
   3. On pose $v_n = f(n)$, pour tout entier naturel $n$. Justifier qu’avec ce modèle, la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.

    

   Partie C : La formule du nivellement barométrique

   
   La formule de la partie B ne tient pas compte des changements de température et ne peut donc être utilisée que pour de faibles altitudes. Pour des altitudes plus élevées, on utilise la fonction $p$ qui à l’altitude $x$ en kilomètre associe la pression atmosphérique en hPa : \[p(x)= 1013,25 \left(1-\dfrac{6,5x}{288,15}\right)^{ 5.255 }\]

   1. Calculer la pression atmosphérique (en hPa, arrondie à l’unité) au sommet de l’Everest dont l’altitude est 8848 mètres.
   $p⁡(8,848)=1 013,25⁢1-6,5\times 8,848288,155,255\approx 315$
   Arrondie à l'unité, la pression atmosphérique au sommet de l'Everest est de 315 hPa.
   2. Recopier et compléter l’algorithme suivant en utilisant la fonction $p$, de façon à ce qu’il affiche en sortie l’altitude (estimée à $100$ mètres près) à partir de laquelle la pression atmosphérique est inférieure à 400 hPa. $$ \begin{array}{|ll|} \hline \text{Variables} &A \text{ un nombre réel }\\ &P \text{ un nombre réel}\\ \text{Début}& \\ & A \text{ prend la valeur 0}\\ & P \text{ prend la valeur 1013.25}\\ & \text{Tant que} \dots \text{faire}\\ &\hspace{4em} \begin{array}{|l} A \text{ prend la valeur } A + 0,1 \\ P \text{ prend la valeur } \dots\\ \end{array}\\ &\text{Fin tant que}\\ &\text{ Afficher } \dots\\ &\text{Fin}\\ \hline \end{array}$$
   $$ \begin{array}{|ll|} \hline \text{Variables} &A \text{ un nombre réel }\\ &P \text{ un nombre réel}\\ \text{Début}& \\ & A \text{ prend la valeur 0}\\ & P \text{ prend la valeur 1013.25}\\ & \text{Tant que} \color{red}{P\geq 400} \text{ faire}\\ &\hspace{4em} \begin{array}{|l} A \text{ prend la valeur } A + 0,1 \\ P \text{ prend la valeur } \color{red}{1013,25 \left(1-\dfrac{6,5\times A}{288,15}\right)^{ 5.255 }}\\ \end{array}\\ &\text{Fin tant que}\\ &\text{ Afficher } \color{red} A\\ &\text{Fin}\\ \hline \end{array}$$

    

    

   
   

   Exercice 3 5 points

   
   Fonctions ln

   Dans cet exercice, $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien et l’unité de longueur est le mètre (m). Un ingénieur prépare un plan pour fabriquer la voile d'un petit bateau. La voile est représentée en gris dans le repère orthonormé ci-dessous où une unité représente un mètre.
   

   $C_f$ est la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $[0,1~;~+\infty[$ par : \[ f(x) = 12+ax^2+\ln(x).\] où $a$ est un nombre réel qui sera déterminé dans la partie A. S est le point de $C_f$ d’abscisse 1. A est le point de $C_f$ d’abscisse 2. B est le point de $C_f$ d’abscisse 5. D est le point d’intersection de la droite d’équation $x = 2$ et de la droite parallèle à l’axe des abscisses passant par B. La voile est représentée par le domaine délimité par le segment [AD], le segment [DB] et la courbe $C_f$.

   Partie A

   
   La fonction $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
   1. On suppose que la tangente à la courbe $C_f$ au point S est horizontale. Que vaut $f'(1)$ ?
   2. Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $[0,1~;~+\infty[$.
   3. 1. Exprimer $f'(1)$ en fonction de $a$.
      2. Démontrer que $a=-0,5$ .
   
   

   Partie B

   
   
   1. Montrer que la fonction $F$ définie sur $[0,1~;~+\infty[$ par \[F(x)=11x-\frac{1}{6}x^3 + x\ln(x)\] est une primitive de $f$ sur $[0,1~;~+\infty[$.
   La dérivée de la fonction $F$ est la fonction $F′$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0,1~;~+\infty[$ par : $F′(⁡x)=11-36⁢x^2+1\times ln⁡x +x\times \dfrac{1}{x}=12-12⁢x^2+\ln⁡ x$
   Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0,1~;~+\infty[$ on a $F′⁡(x)=f⁡(x)$ donc la fonction $F$ définie par $F(x)=11x-\frac{1}{6}x^3 + x\ln(x)$ est une primitive de $f$ sur$[0,1~;~+\infty[$.
   2. 1. Calculer la valeur exacte, exprimée en unité d’aire, de l’aire du domaine limité par la courbe $C_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=2$ et $x=5$.
      2. Vérifier qu’une valeur approchée de cette aire, arrondie au dixième, est $20,2 $ m $^2$.
   3. Cette voile doit être légère tout en étant suffisamment résistante. Elle est fabriquée dans un tissu ayant une masse de $260$ grammes par mètre carré. La voile pèsera-t-elle moins de $5$ kg ? Justifier la réponse.

    

   
   

   Correction de l'exercice 3 (5 points)

   
   Fonctions ln

   Dans cet exercice, $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien et l’unité de longueur est le mètre (m). Un ingénieur prépare un plan pour fabriquer la voile d'un petit bateau. La voile est représentée en gris dans le repère orthonormé ci-dessous où une unité représente un mètre.
   

   $C_f$ est la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $[0,1~;~+\infty[$ par : \[ f(x) = 12+ax^2+\ln(x).\] où $a$ est un nombre réel qui sera déterminé dans la partie A. S est le point de $C_f$ d’abscisse 1. A est le point de $C_f$ d’abscisse 2. B est le point de $C_f$ d’abscisse 5. D est le point d’intersection de la droite d’équation $x = 2$ et de la droite parallèle à l’axe des abscisses passant par B. La voile est représentée par le domaine délimité par le segment [AD], le segment [DB] et la courbe $C_f$.

   Partie A

   
   La fonction $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
   1. On suppose que la tangente à la courbe $C_f$ au point S est horizontale. Que vaut $f'(1)$ ?
   La tangente à la courbe $C_f$ au point S d'abscisse 1 est horizontale donc $f′⁡(1)=0$.
   2. Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $[0,1~;~+\infty[$.
   $f′$ est la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0,1~;~+\infty[$ par $f′⁡(x)=2⁢a⁢x+\dfrac{1}{x}$.
   3. 1. Exprimer $f'(1)$ en fonction de $a$.
      $f′⁡(1)=2⁢a+1.$
      2. Démontrer que $a=-0,5$ .
      $f′⁡(1)=0\iff 2⁢a+1=0\iff a=-0,5$
      Ainsi, $f $ est la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0,1~;~+\infty[$ par $f⁡(x)=12-0,5⁢x^2+\ln⁡ x.$
   
   

   Partie B

   
   
   1. Montrer que la fonction $F$ définie sur $[0,1~;~+\infty[$ par \[F(x)=11x-\frac{1}{6}x^3 + x\ln(x)\] est une primitive de $f$ sur $[0,1~;~+\infty[$.
   2. 1. Calculer la valeur exacte, exprimée en unité d’aire, de l’aire du domaine limité par la courbe $C_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=2$ et $x=5$.
      Étudions le signe de la fonction $f$ sur $[0,1; 5]$.
      Les variations de la fonction $f$ se déduisent du signe de sa dérivée $f′$ définie sur $[0,1~;~+\infty[$ par : $f′⁡(x) =-x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{-x^2}{x}+\dfrac{1}{x}= \dfrac{1-x^2}{x}= \dfrac{(1-x)(1+x)}{x}$
      
      Comme d'autre part, $f⁡(0,1)\approx 9,7, f⁡(1)=11,5$ et $f⁡(5)\approx 1,1$ on en déduit que sur l'intervalle $[0,1; 5]$ on a $f⁡(x)>0$.
      Calcul de l'aire :
      Sur l'intervalle $[0,1; 5]$ la fonction $f$ est positive par conséquent l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine limité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=2$ et $x=5$ est égale à : $$\begin{array}{rl} \displaystyle\int_2^5 f(x)\; dx & = F(5)-F(2)\\ &= 55- \frac{125}{6}+5\ln5-22-\frac{8}{6}+2\ln2\\ &=\frac{27}{2}+5\ln5-2\ln2 \end{array}$$
      L’aire du domaine limité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=2$ et $x=5$ est égale à $\dfrac{27}{2}+5⁢\ln⁡ 5-2\ln 2$ unités d'aire.
      2. Vérifier qu’une valeur approchée de cette aire, arrondie au dixième, est $20,2 $ m $^2$.
      L'unité d'aire est égale à un mètre carré et $\dfrac{27}{2}+5⁢\ln⁡ 5-2\ln 2\approx 20,16$ d'où :
      La valeur arrondie au dixième près de l'aire du domaine limité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=2 et x=5 est 20,2 m$^2$.
   3. Cette voile doit être légère tout en étant suffisamment résistante. Elle est fabriquée dans un tissu ayant une masse de $260$ grammes par mètre carré. La voile pèsera-t-elle moins de $5$ kg ? Justifier la réponse.
   L'aire en mètre carré de la voile est égale à l'aire de la partie grisée soit : $$\begin{array}{rl} \displaystyle\int_2^5 f(x)\; dx -DB\times f(5) & =\frac{27}{2}+5\ln5-2\ln2 -3\times \left( -\frac{1}{2} +\ln 5\right) \\ &= \frac{27}{2}+5\ln5-2\ln2 +\frac{3}{2} -3\ln 5 \\ &=15-2\ln2 -3\ln 5 \\ &= 15-2\left( \ln 2-\ln 5 \right) \\ &= 15-2\ln\left( \frac{5}{2}\right) \\ &=15-2\ln\left( 2,5\right) \\ \end{array}$$ La masse de la voile en kilogramme est donc égale à $0,26\times \left( 15-2\ln\left( 2,5\right) \right) \approx 4,376$
   La masse de la voile est inférieure à 5 kg.

    

   
   

   Exercice 4 5 points

   
   Probabilités

   Dans cet exercice, les résultats demandés seront arrondis à $10^{-3}$, sauf indication contraire.
   

   Partie A

   
   Pour dépister les maladies de la glande thyroïde chez un patient, on mesure le taux d’une hormone appelée TSH. Un médecin étudie les dossiers médicaux des patients de son hôpital. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à un dossier pris au hasard dans cet hôpital, associe le taux de TSH du patient correspondant. On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 2,2$ et d’écart type $\sigma$ = 0,9.
   1. Déterminer $p(X < 3)$.
   2. Déterminer la probabilité qu’un dossier médical pris au hasard dans cet hôpital présente un taux de TSH compris entre $1,5$ et $3,5$.
   3. Pour les dossiers médicaux dont le taux de TSH est supérieur à $4$, les médecins prescrivent des examens complémentaires au patient. Déterminer la probabilité qu’un dossier médical pris au hasard dans cet hôpital corresponde à un patient qui nécessite des examens complémentaires.
   
   

   Partie B

   
   En 2012, l’Agence Nationale de Sécurité du Médicament (ANSM) s’est inquiétée de la forte augmentation des ventes du médicament qui traite l’hypothyroïdie. Pour obtenir un état des lieux de l’utilisation de ce médicament en France, l’ANSM a effectué un sondage sur 530877 personnes. Dans cet échantillon, 21771 personnes ont déclaré qu’elles utilisaient ce médicament.
   
   1. Quelle est la fréquence des utilisateurs du médicament dans l’échantillon étudié ?
   2. Déterminer un intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95% de la proportion d’utilisateurs de ce médicament dans la population française.
   Rappel : Lorsqu’une fréquence $f$ est mesurée dans un échantillon de taille $n$, l’intervalle de confiance à 95% de la proportion dans la population est donné par : \[I = \Bigg[f -1,96 \sqrt{\dfrac{f (1- f )}{n}} ~,~ f +1,96 \sqrt{\dfrac{f (1- f )}{n}}\Bigg]\]
   

   Partie C

   
   En médecine, on utilise de l’iode radioactif pour traiter certaines maladies de la glande thyroïde. La durée de vie exprimée en heure d’un atome d’iode radioactif est modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,0036 $, exprimé en $h^{-1}$.
   1. Calculer la durée de vie moyenne en heure de l’atome d’iode radioactif. On arrondira le résultat à l’unité.
   2. Déterminer $P(24 < D < 48)$. Interpréter le résultat. Rappel : la fonction de densité de la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t) = \lambda\text{e}^{-\lambda t}$.
   3. On appelle demi-vie d’un élément radioactif le temps $T$, exprimé en heure, nécessaire pour que la moitié des atomes radioactifs d’une substance se soit désintégrée. Autrement dit, ce réel $T$ est tel que $P(D < T) = \frac{1}{2}$.
      1. Démontrer que $T=\frac{\ln 2}{\lambda}$.
      2. En déduire la demi-vie de l’iode radioactif. Donner le résultat en jour.

    

   
   

   Exercice 4 5 points

   
   Probabilités

   Dans cet exercice, les résultats demandés seront arrondis à $10^{-3}$, sauf indication contraire.
   

   Partie A

   
   Pour dépister les maladies de la glande thyroïde chez un patient, on mesure le taux d’une hormone appelée TSH. Un médecin étudie les dossiers médicaux des patients de son hôpital. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à un dossier pris au hasard dans cet hôpital, associe le taux de TSH du patient correspondant. On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 2,2$ et d’écart type $\sigma$ = 0,9.
   1. Déterminer $p(X < 3)$.
   $P(X<3)=P(X\leq 2,2)+P(2,2 < X <3)=0,5+P(2,2< X <3)\approx 0,813$
   ou de façon plus directe :
   

   2ND DISTR 2NORMALFRép( -10^(99) , \1,$\2$,$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(-10^{99},\1,\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \leq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   Arrondie au millième près, la probabilité qu'un dossier médical pris au hasard dans cet hôpital présente un taux de TSH inférieur à 3 est égale à 0,813.
   2. Déterminer la probabilité qu’un dossier médical pris au hasard dans cet hôpital présente un taux de TSH compris entre $1,5$ et $3,5$.
   $P(1,5\leq X\leq 3,5)\approx 0,707$
   

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

    

   Arrondie au millième près, la probabilité qu'un dossier médical pris au hasard dans cet hôpital présente un taux de TSH compris entre 1,5 et 3,5 est égale à 0,707.
   3. Pour les dossiers médicaux dont le taux de TSH est supérieur à $4$, les médecins prescrivent des examens complémentaires au patient. Déterminer la probabilité qu’un dossier médical pris au hasard dans cet hôpital corresponde à un patient qui nécessite des examens complémentaires.
   $P(X>4)=P(X\geq 2,2)-P(2,2\leq X\leq 4)=0,5-P(2,2\leq X\leq 4)\approx 0,023$
   Ou de façon plus directe :
   

    

   2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   Arrondie au millième près, la probabilité qu'un dossier médical pris au hasard dans cet hôpital corresponde à un patient qui nécessite des examens complémentaires est égale à 0,023.
   
   

   Partie B

   
   En 2012, l’Agence Nationale de Sécurité du Médicament (ANSM) s’est inquiétée de la forte augmentation des ventes du médicament qui traite l’hypothyroïdie. Pour obtenir un état des lieux de l’utilisation de ce médicament en France, l’ANSM a effectué un sondage sur 530877 personnes. Dans cet échantillon, 21771 personnes ont déclaré qu’elles utilisaient ce médicament.
   
   1. Quelle est la fréquence des utilisateurs du médicament dans l’échantillon étudié ?
   Soit $f$ la fréquence des utilisateurs du médicament dans l'échantillon :$f=\dfrac{21771}{530877}\approx 0,041$
   La fréquence des utilisateurs du médicament dans l'échantillon étudié est $f\approx 0,041$.
   2. Déterminer un intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95% de la proportion d’utilisateurs de ce médicament dans la population française.

   La fréquence est égale à  $\1$. La taille $n$ de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
   Comme  $ n =\2$ ,   $n \times \8  $=\3  et $n\times (1-\8)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de confiance sont réunies.

   En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times \8 \geq 5 \text{ et } n\times (1-\8) \geq 5$$

   L' intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95% est : \[\9 = \left[\8 - 1,96\sqrt{\dfrac{\8(1 - \8)}{n}}~;~\8 + 1,96\sqrt{\dfrac{\8(1 - \8)}{n}} \right]\]
   La fréquence est $\8=\1$.
   L'intervalle de confiance au niveau de 95% est \[\9 = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1 (1 - \1 )}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1 (1 - \1 )}{\2}} \right]\approx[\5~;~\6]\] 

   Un intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95 % de la proportion d'utilisateurs de ce médicament dans la population française est l'intervalle $I=[0,040,042]$.
   Rappel : Lorsqu’une fréquence $f$ est mesurée dans un échantillon de taille $n$, l’intervalle de confiance à 95% de la proportion dans la population est donné par : \[I = \Bigg[f -1,96 \sqrt{\dfrac{f (1- f )}{n}} ~,~ f +1,96 \sqrt{\dfrac{f (1- f )}{n}}\Bigg]\]
   

   Partie C

   
   En médecine, on utilise de l’iode radioactif pour traiter certaines maladies de la glande thyroïde. La durée de vie exprimée en heure d’un atome d’iode radioactif est modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,0036 $, exprimé en $h^{-1}$.
   1. Calculer la durée de vie moyenne en heure de l’atome d’iode radioactif. On arrondira le résultat à l’unité.
   L'espérance mathématique de la variable aléatoire $D$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0,0036$ est : $E(D)=\dfrac{1}{0,0036}\approx 278$
   La durée de vie moyenne de l'atome d'iode radioactif est d'environ 278 heures.
   2. Déterminer $P(24 < D < 48)$. Interpréter le résultat. Rappel : la fonction de densité de la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t) = \lambda\text{e}^{-\lambda t}$.
   3. On appelle demi-vie d’un élément radioactif le temps $T$, exprimé en heure, nécessaire pour que la moitié des atomes radioactifs d’une substance se soit désintégrée. Autrement dit, ce réel $T$ est tel que $P(D < T) = \frac{1}{2}$.
      1. Démontrer que $T=\frac{\ln 2}{\lambda}$.
      La variable aléatoire $D$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0,0036$ d'où : $$\begin{array}{rl} P(D < T) =\dfrac{1}{2}&\iff 1- \text{e}^{-\lambda .T } =\dfrac{1}{2}\\ & \iff \text{e}^{-\lambda .T }\ =\dfrac{1}{2}\\ & \iff \ln \left( \text{e}^{-\lambda .T } \right) = \ln \left(\dfrac{1}{2}\right) \\ & \iff -\lambda .T =-\ln 2 \\ & \iff T= \dfrac{\ln 2 }{\lambda } \end{array}$$ La demi-vie de l'iode radioactif est $T= \dfrac{\ln 2 }{\lambda }$
      2. En déduire la demi-vie de l’iode radioactif. Donner le résultat en jour.
      Comme $\lambda=0,0036$, on en déduit que  $T=\dfrac{\ln 2 }{\lambda }=\dfrac{\ln 2 }{0,0036 }$ ce qui correspond à une durée exprimée en jours de $T\approx 8$
      La demi-vie de l'iode radioactif est d'environ 8 jours.