Baccalauréat STI2D Polynésie 2013 - Exercice 4

Page 7 sur 8: Exercice 4

Exercice 4 7 points

Probabilités

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{- 3}$ près.

---

Une entreprise produit en grande quantité des pièces détachées destinées à l'industrie. L'objectif de cet exercice est d'étudier l'exploitation de divers outils mathématiques pour analyser la qualité de cette production.

---

A : Loi normale

---

Une pièce est conforme lorsque sa longueur, exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle [74,4;75,6]. On note $L$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée au hasard dans la production, associe sa longueur. On suppose que la variable aléatoire $L$ suit la loi normale d'espérance $75$ et d'écart type $0,25$.

1. Calculer $P(74,4 \leqslant L \leqslant 75,6)$.
2. Quelle valeur doit-on donner à $h$ pour avoir $P(75 - h \leqslant L \leqslant 75 + h) = 0,95$ ?

---

B. Loi binomiale

---

Les pièces produites par l'entreprise sont livrées par lots de $20$. On note $D$ l'événement : « une pièce prélevée au hasard dans la production n'est pas conforme ». On suppose que $P(D) = 0,02$. On prélève au hasard $20$ pièces dans la production. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à un lot de 20 pièces, associe le nombre de pièces non conformes qu'il contient.

1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres 20 et 0,02.
2. Calculer la probabilité $P(X = 0)$.
3. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins une pièce non conforme dans ce lot de 20pièces.
4. Calculer l'espérance mathématique, $E(X)$, de cette variable aléatoire et interpréter le résultat.

---

C. Intervalle de fluctuation

---

Le cahier des charges établit que la proportion de 2$\,\% $de pièces non conformes dans la production est acceptable.

---

1. Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95$\,\% $de la fréquence des pièces non conformes dans un échantillon de taille 80. On veut savoir si la machine de production est correctement réglée. Pour cela on prélève au hasard dans la production un échantillon de taille 80 dans lequel 3 pièces se révèlent être non conformes.
2. Quelle est la fréquence des pièces non conformes dans l'échantillon prélevé ?
3. La machine de production doit-elle être révisée ? Justifier votre réponse.