Exercice 1 4 points

Nombres complexes

On note $\mathrm{i}$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. On considère les nombres complexes $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$ définis par: \[z_{1} = 1 + \mathrm{i}\sqrt{3}, \quad z_{2} = e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}\quad \text{et} \quad z_{3} = e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{12}}.\]

1. Déterminer l'écriture exponentielle de $z_{1}$.
2. Déterminer l'écriture algébrique de $z_{2}$.
3. Démontrer que $z_{1} \times z_{2} = 2z_{3}$.
4. En déduire l'écriture algébrique de $z_{3}$.
5. En déduire que $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.

Correction de l'exercice 1 (4 points)

Nombres complexes

On note $\mathrm{i}$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. On considère les nombres complexes $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$ définis par: \[z_{1} = 1 + \mathrm{i}\sqrt{3}, \quad z_{2} = e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}\quad \text{et} \quad z_{3} = e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{12}}.\]

1. Déterminer l'écriture exponentielle de $z_{1}$.
L'écriture exponentielle d'un nombre complexe est $\rho e^{i\theta}$ où $\rho$ est son module et $\theta$ son argument.
• Module : $|z_1|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{4}=2 $
• Argument: $$\left\{ \begin{array}{l } \cos(\theta)=\dfrac{a}{r}= \dfrac{1}{2 }\\ \sin(\theta)=\dfrac{b}{r}= = \dfrac{\sqrt 3}{ 2} \end{array} \right.$$
Ainsi $\theta= \dfrac{\pi}{3}$ convient; on a donc: $$z_1=\left[2 ; \dfrac{\pi}{3}\right] \text{ ou } z_1=2 \left [\cos\left ( \dfrac{\pi}{3}\right )+i\sin\left ( \dfrac{\pi}{3}\right )\right ]= 2e^{ i\frac{ \pi}{3}}$$
2. Déterminer l'écriture algébrique de $z_{2}$.
$z_2= e^{-i \frac{\pi}{4}}=\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+ i\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)$. $$z_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$.
3. Démontrer que $z_{1} \times z_{2} = 2z_{3}$.
Démontrons que $z_{1} \times z_{2} = 2z_{3}$. $z_1 \times z_2=\rho_1\rho_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)}$.
Par conséquent $z_1z_2=2 e^{i\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)}=2e^{i\frac{\pi}{12}}=2z_3$.
4. En déduire l'écriture algébrique de $z_{3}$.
Formons l'écriture algébrique de $z_{3}$.

$z_3=\cos (\frac{\pi}{12})+ i \sin (\frac{\pi}{12})$. $$\begin{array}{ll}2z_3&=(1+i\sqrt{3})\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\ &=\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}+i\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\ &=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}+i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\end{array}$$ $$z_3=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}+i\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$
5. En déduire que $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.
Calculons alors $\cos \left(\frac{\pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\frac{\pi}{12}\right)$

$\cos \left(\frac{\pi}{12}\right) +i \sin \left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}+i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
Nous en déduisons donc $\cos \left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$ et $ \sin \left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

Exercice 2 4 points

Probabilités

Un groupe agricole vend des sachets de graines donnant des plantes résistantes aux maladies. Le directeur de ce groupe affirme que 92 $\, \%$ des sachets sont efficaces et donnent des plantes résistantes. Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à $10^{-2}$ près.

1. On prélève au hasard un échantillon de 100 sachets.
   1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 $\, %$ de la fréquence de sachets efficaces sur un échantillon de taille 100.
   2. Dans le prélèvement de 100 sachets, 88 donnent des plantes résistantes. Peut-on rejeter l'hypothèse du directeur ?
2. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 100 sachets, associe le nombre de sachets donnant des plantes résistantes. On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0,92$.
   1. Déterminer l'espérance et l'écart type de $X$ (arrondi à 0,01 près).
   2. La variable aléatoire $X$ peut être approchée par la variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance 92 et d'écart type 2,7. En utilisant la variable aléatoire $Y$, calculer la probabilité que le nombre de sachets donnant des plantes résistantes soit compris entre 89 et 94, c'est-à-dire calculer $P(89 \leqslant Y \leqslant 94)$.

Correction de l'exercice 2 (4 points)

Probabilités

Un groupe agricole vend des sachets de graines donnant des plantes résistantes aux maladies. Le directeur de ce groupe affirme que 92 $\, \%$ des sachets sont efficaces et donnent des plantes résistantes. Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à $10^{-2}$ près.

1. On prélève au hasard un échantillon de 100 sachets.
   1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 $\, %$ de la fréquence de sachets efficaces sur un échantillon de taille 100.

   La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
   Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

   En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$

   
   L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

   $$I_{100}\approx\left[ 0.87 ~;~ 0.97 \right]$$
   2. Dans le prélèvement de 100 sachets, 88 donnent des plantes résistantes. Peut-on rejeter l'hypothèse du directeur ?
   Dans le prélèvement de $100$ sachets, $88$ donnent des plantes résistantes. Nous pouvons accepter l'hypothèse du directeur car dans ce lot, la fréquence de plantes résistantes $f=\dfrac{88}{100}=0,88$ appartient à l'intervalle de fluctuation.
2. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 100 sachets, associe le nombre de sachets donnant des plantes résistantes. On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0,92$.
   1. Déterminer l'espérance et l'écart type de $X$ (arrondi à 0,01 près).
   Puisque la variable suit une loi binomiale $\mathcal{B}(100,0.92)$ l'espérance de $X$ vaut $np$ et l'écart type de $X$ vaut $\sqrt{np(1-p)}$
   (arrondi à $0,01$ près), on a
   $E(X)=100\times 0.92 =92 \quad \sigma(X)=\sqrt{100\times 0.92 \times 0.08 }\approx \ 2.71 $.
   2. La variable aléatoire $X$ peut être approchée par la variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance 92 et d'écart type 2,7. En utilisant la variable aléatoire $Y$, calculer la probabilité que le nombre de sachets donnant des plantes résistantes soit compris entre 89 et 94, c'est-à-dire calculer $P(89 \leqslant Y \leqslant 94)$.

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

    

Exercice 3 5 points

Suites

L'iode 131 est un produit radioactif utilisé en médecine. Il peut cependant être dangereux lorsqu'on le reçoit en grande quantité. On considère un échantillon d'une population de noyaux d'iode 131 comportant $10^6$ noyaux au début de l'observation. On considère que le nombre de noyaux diminue chaque jour de 8,3 $ \, \%$. On note $u_{n}$ le nombre de noyaux de cet échantillon au bout de $n$ jours. On a donc $u_{0} = 10^6$.

1. Calculer $u_{1}$ puis $u_{2}$.
2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. En déduire la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$.
3. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
4. Déterminer à partir de combien de jours la population de noyaux aura diminué au moins de moitié. Cette durée s'appelle la demi-vie de l'iode 131.
5. On considère l'algorithme suivant: $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline 1 &\text{Variables :}& n \text{ et } u \text{ sont des nombres }\\ 2 &\text{Initialisation :}& \text{ Affecter la valeur } 0 \text{ à } n\\ 3 & & \text{Affecter la valeur } 10^6 \text{ à } u\\ 4 &\text{Traitement :}& \text{ Tant que }u > \dfrac{10^6}{2} \\ 5 & &\hspace{5mm}n \text{ prend la valeur } n + 1\\ 6 & &\hspace{5mm}u \text{ prend la valeur } u \times 0,917\\ 7 & &\text{ Fin tant que }\\ 8 &\text{Sortie :} &\text{ Afficher } n\\ \hline \end{array}$$
   1. À quoi correspond la valeur $n$ en sortie de cet algorithme ?
   2. Si on programme cet algorithme, quel résultat affiche-t-il ?
   3. Pour le Césium 137, le nombre de noyaux diminue chaque année de 2,3 $\,\%$. Quelles modifications faut-il apporter à l'algorithme précédent pour trouver la demi-vie du césium 137 sachant que la population au départ est de $10^8$noyaux ?

Correction de l'exercice 3 (5 points)

Fonctions

L'iode 131 est un produit radioactif utilisé en médecine. Il peut cependant être dangereux lorsqu'on le reçoit en grande quantité. On considère un échantillon d'une population de noyaux d'iode 131 comportant $10^6$ noyaux au début de l'observation. On considère que le nombre de noyaux diminue chaque jour de 8,3 $ \, \%$. On note $u_{n}$ le nombre de noyaux de cet échantillon au bout de $n$ jours. On a donc $u_{0} = 10^6$.

1. Calculer $u_{1}$ puis $u_{2}$.
À un taux d'évolution de $- 8.3 \,\%$, correspond un coefficient multiplicateur de $1- 0.083 $ soit $ 0.917 $.
$u_1=10^6\times 0.917 \quad u_2=\left( 0.917 \times 10^6\right) \times 0.917 \approx 0.841 \times 10^6$
2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. En déduire la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$.
$u_{n+1}= 0.917 u_{n}$. Passant d'un terme au suivant en le multipliant par un même nombre, la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de premier terme $10^6$ et de raison $0.917$ .
3. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$.
Par conséquent $u_n=10^6\times( 0.917 )^n$.
4. Déterminer à partir de combien de jours la population de noyaux aura diminué au moins de moitié. Cette durée s'appelle la demi-vie de l'iode 131.
Pour cela, résolvons $u_n \leqslant \dfrac{10^6}{2}$ $$\begin{array}{ll} u_n \leqslant \dfrac{10^6}{2}& \iff 0.917 ^n \times 10^6 \leqslant \dfrac{10^6}{2}\\ &\iff 0.917 ^n \leqslant \dfrac{1}{2} \\ & \ln \left(0.917 ^n\right) \leqslant \ln\left(\dfrac{1}{2}\right)\\ &\iff n \ln 0.917 \leqslant -\ln 2 \qquad\text{car } \ln \dfrac{1}{b}=-\ln b \\ &\iff n \geqslant \dfrac{-\ln 2}{\ln 0.917 } \qquad \text{car }\ln (0.917) < 0\\ \end{array}$$ $$\dfrac{-\ln 2}{\ln (0.917)} \approx 7.99959$$ Au bout de huit jours, la population de noyaux aura diminué au moins de moitié. Cette durée s'appelle la demi-vie de l'iode 131.
5. On considère l'algorithme suivant: $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline 1 &\text{Variables :}& n \text{ et } u \text{ sont des nombres }\\ 2 &\text{Initialisation :}& \text{ Affecter la valeur } 0 \text{ à } n\\ 3 & & \text{Affecter la valeur } 10^6 \text{ à } u\\ 4 &\text{Traitement :}& \text{ Tant que }u > \dfrac{10^6}{2} \\ 5 & &\hspace{5mm}n \text{ prend la valeur } n + 1\\ 6 & &\hspace{5mm}u \text{ prend la valeur } u \times 0,917\\ 7 & &\text{ Fin tant que }\\ 8 &\text{Sortie :} &\text{ Afficher } n\\ \hline \end{array}$$
   1. À quoi correspond la valeur $n$ en sortie de cet algorithme ?
   La valeur $n$ en sortie de cet algorithme correspond à la demi-vie. $u$ correspond au nombre de noyaux et $n$ au nombre de boucles qu'il faut effectuer pour avoir la moitié du nombre de noyaux.
   2. Si on programme cet algorithme, quel résultat affiche-t-il ?
   Si on programme cet algorithme, il affiche 8, la réponse trouvée à la question 4.
   3. Pour le Césium 137, le nombre de noyaux diminue chaque année de 2,3 $\,\%$. Quelles modifications faut-il apporter à l'algorithme précédent pour trouver la demi-vie du césium 137 sachant que la population au départ est de $10^8$noyaux ?
   Pour le Césium 137, le nombre de noyaux diminue chaque année de 2,3$\,\%$.
   Dans la ligne « affecter à $u$ la valeur $10^6$» nous allons remplacer $10^6$ par $10^8$ et dans le traitement de $u$ nous allons remplacer 0.917 par 0.977 , coefficient multiplicateur associé à une baisse de $ 2.3 \,\%$.

Exercice 4 7 points

Fonctions exponentielles

Dans tout l'exercice, on désigne par $\mathbb R$ l'ensemble des nombres réels.

On donne ci-dessous une petite partie de la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb R$, dans un repère orthonormé du plan. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point $A (0 ; 5)$ et par le point $B$ d'abscisse 2. La tangente $T_A$ à la courbe au point $A$ passe par le point $C(1 ; 1)$ et la tangente $T_B$ au point $B$ est horizontale.

Partie A

Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.
Une bonne réponse rapporte $0,5$ point.
Une mauvaise réponse ou l'absence de réponses n'enlève ni ne rapporte aucun point. On notera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

1. La valeur de $f(0)$ est :
   1. $- 4$
   2. $4$
   3. $1,2$
   4. autre réponse
2. La valeur de $f'(0)$ est :
   1. $- 4$
   2. $4$
   3. $1,2$
   4. autre réponse
3. La valeur de $f'(2)$ est :
   1. $0$
   2. $2,1$
   3. $3 $
   4. autre réponse
4. Un encadrement de $\displaystyle\int_{0}^2 f(x) \, dx$ par des entiers naturels est :
   1. $3 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \, dx \leqslant 4$
   2. $5 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \, dx \leqslant 7$
   3. $2 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \, dx \leqslant 5$
   4. $0 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \, dx \leqslant 2$

Partie B

La fonction $f$ représentée dans la PARTIE A est définie sur $\mathbb R$ par $f(x) = \left(- x^2 - 2x + 2\right)e^{- x} + 3$.

1. On admet que la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ est 3. Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
2. On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et on admet que pour tout nombre réel $x$ appartenant à $\mathbb R$, $f'(x) = \left(x^2 - 4\right)e^{- x}$.
   1. Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
   2. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
3. On considère la fonction $F$ définie sur $\mathbb R$ par $F(x) = \left(x^2 + 4x + 2\right)e^{- x} + 3x$. Vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb R$.
4. On considère le domaine $\mathcal{D}$ du plan limité par la courbe $\mathcal{C}$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$.
   1. Calculer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$.
   2. Donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$ au centième.

Exercice 4 7 points

Fonctions exponentielles

Dans tout l'exercice, on désigne par $\mathbb R$ l'ensemble des nombres réels.

On donne ci-dessous une petite partie de la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb R$, dans un repère orthonormé du plan. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point $A (0 ; 5)$ et par le point $B$ d'abscisse 2. La tangente $T_A$ à la courbe au point $A$ passe par le point $C(1 ; 1)$ et la tangente $T_B$ au point $B$ est horizontale.

Partie A

Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.
Une bonne réponse rapporte $0,5$ point.
Une mauvaise réponse ou l'absence de réponses n'enlève ni ne rapporte aucun point. On notera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

1. La valeur de $f(0)$ est :
   1. $- 4$
   2. $4$
   3. $1,2$
   4. autre réponse
La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point $A(0;5)$ donc $f(0)=5$
2. La valeur de $f'(0)$ est :
   1. $- 4$
   2. $4$
   3. $1,2$
   4. autre réponse
Le nombre dérivé $f'(0)$ est égal au coefficient directeur de la tangente $T_A$ à la courbe au point $A(0;5)$ or cette tangente passe également par le point $C(1;1)$ d'où $f'(0)=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}$ . Soit $f'(0)=\dfrac{1-5}{1-0}=-4$
3. La valeur de $f'(2)$ est :
   1. $0$
   2. $2,1$
   3. $3 $
   4. autre réponse
La tangente $T_B$ à la courbe au point $B$ d'abscisse 2 est parallèle à l'axe des abscisses donc $f'(2)=0;$
4. Un encadrement de $\displaystyle\int_{0}^2 f(x) \, dx$ par des entiers naturels est :
   1. $3 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \, dx \leqslant 4$
   2. $5 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \, dx \leqslant 7$
   3. $2 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \, dx \leqslant 5$
   4. $0 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \, dx \leqslant 2$
L'intégrale $\displaystyle\int_{0}^2 f(x) \, d x$ est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$. Or cette aire est visiblement supérieure à 5 unités d'aire. $5 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \,d x \leqslant 7$

Partie B

La fonction $f$ représentée dans la PARTIE A est définie sur $\mathbb R$ par $f(x) = \left(- x^2 - 2x + 2\right)e^{- x} + 3$.

1. On admet que la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ est 3. Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.

Au voisinage de $-\infty$ , une fonction polynôme à la même limite que son monôme de plus haut degré.


$ \lim\limits_{x \to -\infty}- x^2 - 2x + 2= \lim\limits_{x \to -\infty}- x^2 =-\infty$

$\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to \1}~\2=\3\\ \lim\limits_{x \to \1}~\4=\5 \end{array}\right\}$ par \8 on obtient: $\lim\limits_{x \to \1}~\6=\7$
$\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to -\infty}\left(- x^2 - 2x + 2\right)e^{- x}=-\infty\\ \lim\limits_{x \to -\infty}~3=3 \end{array}\right\}$ par somme on obtient: $\lim\limits_{x \to -\infty}~f(x)= -\infty$
$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty$
2. On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et on admet que pour tout nombre réel $x$ appartenant à $\mathbb R$, $f'(x) = \left(x^2 - 4\right)e^{- x}$.
   1. Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
   La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\mathbb R$, on déduit que pour tout réel $x ; e^{- x}>0$, et ainsi $f'(x)$ a le signe de $x^2-4$ $x^2-4$ est un trinôme du second degré qui a pour racines $-2$ et $2$; il a donc le signe de $a=1$ à l'extérieur des racines et celui de $-a$ à l'intérieur.
   
   2. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
   
3. On considère la fonction $F$ définie sur $\mathbb R$ par $F(x) = \left(x^2 + 4x + 2\right)e^{- x} + 3x$. Vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb R$.
Ici $F(x) = \left(x^2 + 4x + 2\right)e^{- x} + 3x$ est du type $F=u+v$, ainsi $F' =u'+v'$.
où $u(x)= \left(x^2 + 4x + 2\right)e^{- x} $ , donc $u=ab$ d'où $u'=a'b+b'a$.
$a(x)= \left(x^2 + 4x + 2\right)$ et $b(x)=e^{- x}$
Alors $a'(x)= \left(2x+4\right)$ et $b'(x)=-e^{- x}$
Puis $u'(x)=\left(2x+4\right) e^{- x}+ \left(-e^{- x}\right)\left(x^2 + 4x + 2\right)=e^{- x}\left(2x+4 -x^2 - 4x - 2\right)=e^{- x}\left( -x^2 - 2x+ 2\right)$ et $v'(x)=3$, et donc $F'(x)=u'(x)+v'(x)=e^{- x}\left( -x^2 - 2x+ 2\right)+3=f(x)$
$F'(x)=f(x)$, et donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb R$.
4. On considère le domaine $\mathcal{D}$ du plan limité par la courbe $\mathcal{C}$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$.
   1. Calculer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$.
   Sur l'intervalle $[0;2]$ la fonction $f$ est strictement décroissante et $f(2)=3-6 e^{-2} \approx 2,19$ donc $f$ est positive sur l'intervalle $[0;2]$.
   Par conséquent, l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$ est égale à l'intégrale de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;2]$ :
   $\displaystyle\int_{0}^2 f(x) \,d x =F(2)-F(0)$.
   $F(2)-F(0)= 14 e^{-2} + 6-2=14 e^{-2} +4$
   $\mathcal{A}=14 e^{-2} +4$ unités d'aire.
   2. Donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$ au centième.
   $\mathcal{A}\approx 5,89$ unités d'aire.

 

Exercice 1 4 points

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

1. La forme exponentielle du nombre complexe $z = - 5 + 5\mathrm{i}$ est:
   1. $z = 5e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$
   2. $z = 5\sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$
   3. $z = 5e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$
   4. $z = 5\sqrt{2}e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$
2. Si $z_{1} = 2\sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$ et $z_{2} = \sqrt{2}e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$, alors le produit $z_{1} \times z_{2}$ est un nombre complexe :
   1. de module 4 et dont un argument est $\dfrac{2\pi}{7}$
   2. de module $2\sqrt{2}$ et dont un argument est $\dfrac{5\pi}{12}$
   3. de module 4 et dont un argument est $\dfrac{5\pi}{12}$
   4. de module $2\sqrt{2}$ et dont un argument est $\dfrac{13\pi}{12}$
3. Le nombre complexe $\dfrac{\sqrt{2} - \mathrm{i}\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \mathrm{i}\sqrt{2}}$ est égal à :
   1. $1$
   2. $\mathrm{i}$
   3. $-1$
   4. $- \mathrm{i}$
4. Le nombre complexe $z$ de module $2\sqrt{3}$ et dont un argument est $\dfrac{2\pi}{3}$ a pour forme algébrique :
   1. $\sqrt{3} - 3\mathrm{i}$
   2. $3 - \mathrm{i}\sqrt{3}$
   3. $- \sqrt{3} + 3\mathrm{i}$
   4. $- 3 + \mathrm{i}\sqrt{3}$

Correction de l'exercice 1 (4 points)

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

1. La forme exponentielle du nombre complexe $z = - 5 + 5\mathrm{i}$ est:
   1. $z = 5e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$
   2. $z = 5\sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$
   3. $z = 5e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$
   4. $z = 5\sqrt{2}e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$
   • Module : $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt 2 $
   • Argument: $$\left\{ \begin{array}{l } \cos(\theta)=\dfrac{a}{r}= \dfrac{-5}{5\sqrt 2 }=-\dfrac{\sqrt 2}{2 }\\ \sin(\theta)=\dfrac{b}{r}= \dfrac{5}{5\sqrt 2 }= \dfrac{\sqrt 2}{2 } \end{array} \right.$$
Ainsi $\theta= \dfrac{3\pi}{4}$ convient; on a donc: $$z =\left[5\sqrt 2 ; \dfrac{3\pi}{4}\right] \text{ ou } z =5\sqrt 2 \left [\cos\left ( \dfrac{3\pi}{4}\right )+i\sin\left ( \dfrac{3\pi}{4}\right )\right ]= 5\sqrt 2e^{ i\frac{ 3\pi}{4}}$$
Réponse b .
2. Si $z_{1} = 2\sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$ et $z_{2} = \sqrt{2}e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$, alors le produit $z_{1} \times z_{2}$ est un nombre complexe :
   1. de module 4 et dont un argument est $\dfrac{2\pi}{7}$
   2. de module $2\sqrt{2}$ et dont un argument est $\dfrac{5\pi}{12}$
   3. de module 4 et dont un argument est $\dfrac{5\pi}{12}$
   4. de module $2\sqrt{2}$ et dont un argument est $\dfrac{13\pi}{12}$
$$\begin{array}{ll}z_{1} \times z_{2} &= 2\sqrt{2} \times \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}} \times \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}\\& = 4\text{e}^{\text{i}\left(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3}\right)}\\& = 4 \text{e}^{\frac{9\pi}{12} - \frac{4\pi}{12}}\\ &= 4 \text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}\end{array}$$
Réponse c .
3. Le nombre complexe $\dfrac{\sqrt{2} - \mathrm{i}\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \mathrm{i}\sqrt{2}}$ est égal à :
   1. $1$
   2. $\mathrm{i}$
   3. $-1$
   4. $- \mathrm{i}$
$$\begin{array}{ll}\dfrac{\sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}} &= \dfrac{\left(\sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}\right)} \\&= \dfrac{2 - 2 - 4\text{i}}{2 + 2}\\& = - \text{i}\end{array}$$
Réponse d.
4. Le nombre complexe $z$ de module $2\sqrt{3}$ et dont un argument est $\dfrac{2\pi}{3}$ a pour forme algébrique :
   1. $\sqrt{3} - 3\mathrm{i}$
   2. $3 - \mathrm{i}\sqrt{3}$
   3. $- \sqrt{3} + 3\mathrm{i}$
   4. $- 3 + \mathrm{i}\sqrt{3}$
$$\begin{array}{ll}2\sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}} &= 2\sqrt{3}\left(\cos \frac{2\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{2\pi}{3}\right)\\& = 2\sqrt{3}\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\frac{1}{2}\right)\\& = - 3 + \text{i}\sqrt{3}\end{array}$$
Réponse d.

Exercice 2 4 points

Probabilités

Une entreprise fabrique en grande série des barres de pâte d'amande. La masse annoncée sur leur emballage est de 125grammes. La machine qui fabrique les barres de pâte d'amande est préréglée afin que ces dernières respectent la masse de 125grammes avec une certaine tolérance. Une barre de pâte d'amande est dite conforme lorsque sa masse est comprise dans un intervalle de tolérance de $[124;127,5]$.

1. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à une barre de pâte d'amande prélevée au hasard dans la production, associe sa masse en grammes. Le service qualité estime que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance 125,5 et d'écart type 0,75.
   1. Calculer la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard ait une masse supérieure à 125,5 grammes.
   2. Calculer la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard soit conforme.
   3. En déduire la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard soit non conforme.

   ---

   On utilisera éventuellement le tableau suivant présentant le calcul, effectué à l'aide d'un tableur, des probabilités de quelques événements pour une loi normale d'espérance $125,5$ et d'écart type $0,75$.

   ---

   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline a & p(X \leqslant a) & & a & p(X\leqslant a) & & a & p(X \leqslant a) & & a & p(X \leqslant a)\\ \hline 122,00 & 0,0000015 & & 123,50 & 0,0038304& & 125,00 & 0,2524925& & 126,50 & 0,9087888\\ \hline 122,25& 0,0000073& & 123,75 & 0,0098153& & 125,25 & 0,3694413& & 126,75 & 0,9522096\\ \hline 122,50& 0,0000317& & 124,00 & 0,0227501& & 125,50 & 0,5000000& & 127,00 & 0,9772499\\ \hline 122,75& 0,0001229& & 124,25 & 0,0477904& & 125,75 & 0,6305587& & 127,25 & 0,9901847\\ \hline 123,00& 0,0004291& & 124,50 & 0,0912112& & 126,00 & 0,7475075& & 127,50 & 0,9961696\\ \hline 123,25& 0,0013499& & 124,75 & 0,1586553& & 126,25 & 0,8413447& & 127,75& 0,9986501\\ \hline \end{array}$$

   ---

2. Lors d'un contrôle, le responsable qualité prélève de façon aléatoire un échantillon de 300 barres de pâte d'amande dans la production et constate que 280 barres de pâte d'amande sont conformes. On admet que, lorsque la machine est correctement réglée, la proportion de barres de pâte d'amande conformes dans l'ensemble de la production est de 97$\,\%$. On souhaite savoir si le réglage de la machine peut être jugé satisfaisant.
   1. Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95$\,\%$ de la fréquence des barres de pâte d'amande de masse conforme obtenue sur un échantillon de taille 300 (les bornes de l'intervalle seront arrondis à $10^{-3}$ près).
   2. Le résultat obtenu lors du contrôle qualité remet-il en question le réglage de la machine?

Correction de l'exercice 2 (4 points)

Probabilités

Une entreprise fabrique en grande série des barres de pâte d'amande. La masse annoncée sur leur emballage est de 125grammes. La machine qui fabrique les barres de pâte d'amande est préréglée afin que ces dernières respectent la masse de 125grammes avec une certaine tolérance. Une barre de pâte d'amande est dite conforme lorsque sa masse est comprise dans un intervalle de tolérance de $[124;127,5]$.

1. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à une barre de pâte d'amande prélevée au hasard dans la production, associe sa masse en grammes. Le service qualité estime que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance 125,5 et d'écart type 0,75.
   1. Calculer la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard ait une masse supérieure à 125,5 grammes.
      • Méthode 1 : Par lecture de la table : $p(X > 125,5) = 0,500$.
      • Méthode 2 : Comme $X$ suit la loi normale d'espérance 125,5 on a sans calcul : $p(X > 125,5)=p(X > \mu)= 0,500$
      • Méthode 3 :

         

        2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
        Avec une calculatrice de type TI

        $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

        $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   2. Calculer la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard soit conforme.
      • Méthode 1:

        2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
        Avec une calculatrice de type TI

        $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

        $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

         

      • Méthode 2 : $X$ doit être comprise entre 124 et 127,5 ces deux nombres compris.
        $p(X < 124) = 0,0227501 $ et $p(X > 127,5) = 1 - 0,9961696 = 0,0038304 $.
        Or $p(X < 124) = 0,0227501 $ et $p(X > 127,5) = 1 - 0,9961696 = 0,0038304 $. Donc $p(124 \leqslant X \leqslant 127,5) = 1 - 0,0227501 - 0,0038304 = 0,97342 \approx 0,973$.
   3. En déduire la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard soit non conforme.
   On a $p(X < 124) + p(X > 127,5) = 0,0038304 + 0,0038304 \approx 0,0266 $.

   ---

   On utilisera éventuellement le tableau suivant présentant le calcul, effectué à l'aide d'un tableur, des probabilités de quelques événements pour une loi normale d'espérance $125,5$ et d'écart type $0,75$.

   ---

   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline a & p(X \leqslant a) & & a & p(X\leqslant a) & & a & p(X \leqslant a) & & a & p(X \leqslant a)\\ \hline 122,00 & 0,0000015 & & 123,50 & 0,0038304& & 125,00 & 0,2524925& & 126,50 & 0,9087888\\ \hline 122,25& 0,0000073& & 123,75 & 0,0098153& & 125,25 & 0,3694413& & 126,75 & 0,9522096\\ \hline 122,50& 0,0000317& & 124,00 & 0,0227501& & 125,50 & 0,5000000& & 127,00 & 0,9772499\\ \hline 122,75& 0,0001229& & 124,25 & 0,0477904& & 125,75 & 0,6305587& & 127,25 & 0,9901847\\ \hline 123,00& 0,0004291& & 124,50 & 0,0912112& & 126,00 & 0,7475075& & 127,50 & 0,9961696\\ \hline 123,25& 0,0013499& & 124,75 & 0,1586553& & 126,25 & 0,8413447& & 127,75& 0,9986501\\ \hline \end{array}$$

   ---

2. Lors d'un contrôle, le responsable qualité prélève de façon aléatoire un échantillon de 300 barres de pâte d'amande dans la production et constate que 280 barres de pâte d'amande sont conformes. On admet que, lorsque la machine est correctement réglée, la proportion de barres de pâte d'amande conformes dans l'ensemble de la production est de 97$\,\%$. On souhaite savoir si le réglage de la machine peut être jugé satisfaisant.
   1. Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95$\,\%$ de la fréquence des barres de pâte d'amande de masse conforme obtenue sur un échantillon de taille 300 (les bornes de l'intervalle seront arrondis à $10^{-3}$ près).

   La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
   Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

   En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$

   
   L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

   $$I_{300}=\left[0,95; 0,996\right]$$
   2. Le résultat obtenu lors du contrôle qualité remet-il en question le réglage de la machine?
   Sur 300 barres, 280 sont conformes, soit une fréquence de $\dfrac{280}{300} \approx 0,93$ : cette fréquence n'appartient pas à l'intervalle de confiance.
   La machine doit être réglée.

Exercice 3 6 points

Suites

Depuis 2000, l'Union Européenne cherche à diminuer les émissions de polluants (hydrocarbures et oxydes d'azote) sur les moteurs diesel des véhicules roulants. En 2000, la norme tolérée était fixée à 635milligrammes par kilomètre en conduite normalisée. L'objectif de l'Union Européenne est d'atteindre une émission de polluants inférieure à 100milligrammes par kilomètre. La norme est réactualisée chaque année à la baisse et depuis 2000, sa baisse est de 11,7$\,\% $par an.

1. 1. Justifier que la norme tolérée était d'environ 561 milligrammes par kilomètre en 2001.
   2. Un véhicule émettait 500 milligrammes par kilomètre en 2002. Indiquer, en justifiant, s'il respectait ou non la norme tolérée cette année-là.
2. Dans le cadre d'une recherche, Louise veut déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif. Louise a amorcé l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|l|}\hline \text{Variables}\\ \qquad n :\text{ un nombre entier naturel} \\ \qquad p : \text{ un nombre réel }\\ \text{Initialisation}\\ \qquad \text{Affecter à } n \text{la valeur 0}\\ \qquad \text{ Affecter à } p \text{la valeur 635 }\\ \text{Traitement}\\ \qquad \text{ Tant que } \ldots\\ \qquad \qquad \text{ Affecter à }n \text{ la valeur } n + 1\\ \qquad \qquad \text{ Affecter à } p \text{ la valeur } 0,883 \times p\\ \qquad \text{ Fin Tant que }\\ \text{Sortie}\\ \qquad \text{ Afficher }\ldots\\ \hline \end{array}$$
   1. Expliquer l'instruction « Affecter à $p$ la valeur $0,883 \times p$ » .
   2. Deux lignes de l'algorithme comportent des pointillés. Recopier ces lignes et les compléter afin de permettre à Louise de déterminer l'année recherchée.
3. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la norme tolérée, exprimée en milligrammes l'année $(2000 + n)$. On a ainsi $u_{0} = 635$.
   1. Établir que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
   2. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
4. Déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif.

Correction de l'exercice 3 (6 points)

Suites

Depuis 2000, l'Union Européenne cherche à diminuer les émissions de polluants (hydrocarbures et oxydes d'azote) sur les moteurs diesel des véhicules roulants. En 2000, la norme tolérée était fixée à 635milligrammes par kilomètre en conduite normalisée. L'objectif de l'Union Européenne est d'atteindre une émission de polluants inférieure à 100milligrammes par kilomètre. La norme est réactualisée chaque année à la baisse et depuis 2000, sa baisse est de 11,7$\,\% $par an.

1. 1. Justifier que la norme tolérée était d'environ 561 milligrammes par kilomètre en 2001.
   La norme tolérée en 2001 était : $635\times \left (1-\dfrac{11,7}{100}\right )=560,705$
   Ainsi, la norme tolérée était d'environ 561 milligrammes par kilomètre en 2001.
   2. Un véhicule émettait 500 milligrammes par kilomètre en 2002. Indiquer, en justifiant, s'il respectait ou non la norme tolérée cette année-là.
   La norme tolérée était d'environ 495 milligrammes par kilomètre en 2002. Ce véhicule ne respectait pas la norme tolérée cette année-là.
2. Dans le cadre d'une recherche, Louise veut déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif. Louise a amorcé l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|l|}\hline \text{Variables}\\ \qquad n :\text{ un nombre entier naturel} \\ \qquad p : \text{ un nombre réel }\\ \text{Initialisation}\\ \qquad \text{Affecter à } n \text{la valeur 0}\\ \qquad \text{ Affecter à } p \text{la valeur 635 }\\ \text{Traitement}\\ \qquad \text{ Tant que } \ldots\\ \qquad \qquad \text{ Affecter à }n \text{ la valeur } n + 1\\ \qquad \qquad \text{ Affecter à } p \text{ la valeur } 0,883 \times p\\ \qquad \text{ Fin Tant que }\\ \text{Sortie}\\ \qquad \text{ Afficher }\ldots\\ \hline \end{array}$$
   1. Expliquer l'instruction « Affecter à $p$ la valeur $0,883 \times p$ » .
   Soit $p$, la norme tolérée, exprimée en milligrammes l'année de rang $n$. L'année suivante, la norme tolérée, exprimée en milligrammes est $p\times \left (1-\dfrac{11,7}{100}\right )=0,883\times p$
   2. Deux lignes de l'algorithme comportent des pointillés. Recopier ces lignes et les compléter afin de permettre à Louise de déterminer l'année recherchée.
   $$\begin{array}{|l|}\hline \text{Variables}\\ \qquad n :\text{ un nombre entier naturel} \\ \qquad p : \text{ un nombre réel }\\ \text{Initialisation}\\ \qquad \text{Affecter à } n \text{la valeur 0}\\ \qquad \text{ Affecter à } p \text{la valeur 635 }\\ \text{Traitement}\\ \qquad \text{ Tant que } p\geq 100\\ \qquad \qquad \text{ Affecter à }n \text{ la valeur } n + 1\\ \qquad \qquad \text{ Affecter à } p \text{ la valeur } 0,883 \times p\\ \qquad \text{ Fin Tant que }\\ \text{Sortie}\\ \qquad \text{ Afficher }2000+n\\ \hline \end{array}$$
3. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la norme tolérée, exprimée en milligrammes l'année $(2000 + n)$. On a ainsi $u_{0} = 635$.
   1. Établir que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
   Pour tout entier naturel $n, u_{n+1}=u_n\times \left (1-\dfrac{11,7}{100}\right )=0,883\times u_n$
   Ainsi, $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 0,883.
   2. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
   $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=635$ et de raison $q=0,883$ donc :
   pour tout entier naturel $n, u_n=635\times 0,883^n$.
4. Déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif.
On cherche à déterminer le plus petit entier $n$ tel que : $635\times 0,883^n\leq 100$.
En exécutant l'algorithme sur la calculatrice ou en programmant la suite $(u_n)$ sur la calculatrice, on, obtient :$n=15$.
L'Union Européenne atteindra son objectif à partir de 2015.
Remarque, on peut bien sûr le faire par un calcul direct :Pour cela, résolvons $u_n \leqslant 100$ $$\begin{array}{ll} u_n \leqslant 100& \iff 635\times 0,883^n \leqslant 100\\ &\iff 0,883^n \leqslant \dfrac{100}{635} \\ &\iff \ln \left(0,883^n\right) \leqslant \ln\left(\dfrac{100}{635}\right)\\ &\iff n \ln 0,883 \leqslant \ln\left(\dfrac{20}{127}\right) \\ &\iff n \geqslant \dfrac{\ln\left(\dfrac{20}{127}\right)}{\ln 0,883 } \qquad \text{car }\ln 0,883 < 0\\ \end{array}$$ $$\dfrac{\ln\left(\dfrac{20}{127}\right)}{\ln 0,883 } \approx 14.85$$ Au bout de 15 ans, c'est-à dire en 2015, l'Union Européenne atteindra son objectif.

 

---

Exercice 4 6 points


Fonctions exponentielles

Un architecte veut établir les plans d'un hangar pour ballon dirigeable. La forme de la façade avant de ce hangar et les points O, A, B, S, H et K sont donnés sur le schéma ci-dessous.

Cette façade avant est symétrique par rapport au segment vertical $[\mathrm{OS}]$ et $\mathrm{OH} = 30 \mathrm{m}$. L'arc $\overset{\displaystyle\frown}{SA}$ de la façade avant correspond à une partie de la représentation graphique d'une fonction définie sur l'intervalle $[0;60]$, dans un repère orthonormal direct d'origine O du plan, l'unité étant le mètre. Le cahier des charges impose les quatre conditions suivantes :

• $\mathrm{OS} = 60$ ;
• $\mathrm{HK} > 35$ ;
• la fonction évoquée ci-dessus doit être strictement décroissante sur l'intervalle [0;60] ;
• $\mathrm{OA} \leqslant 60$.

---

Partie A- Étude d'une fonction numérique

---

1. Vérifier que la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;60]$ par $f(x) = 80 - 20e^{0,025x}$ vérifie les trois premières conditions du cahier des charges.
2. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la valeur décimale approchée à $10^{- 1}$ près par excès du réel $a$ qui vérifie $f(a) = 0$. Vérifier que la quatrième condition du cahier des charges est remplie.

---

Partie B- Calcul d'intégrale et application

---

1. 1. La fonction $F$ est définie sur l'intervalle $[0;60]$ par $F(x) = 80x - 800e^{0,025x}$. Vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;60]$.
   2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale $J = \displaystyle\int_{0}^{55,5} f(x) \;d x$.
   3. Donner la valeur approchée, arrondie à $10^{- 2}$ près de $J$.
2. On souhaite peindre la surface extérieure de la façade avant.
   1. Déterminer à $10^{-2}$ près l'aire de cette surface exprimée en $\mathrm{m}^2$.
   2. La peinture utilisée pour peindre la surface extérieure de la façade avant est vendue en bidons de 68 litres. Sachant que cette peinture a une propriété de recouvrement de 0,2 mètre carré par litre, combien de bidons sont nécessaires pour peindre la surface extérieure de la façade avant ?

---

Exercice 4 6 points


Fonctions exponentielles

Un architecte veut établir les plans d'un hangar pour ballon dirigeable. La forme de la façade avant de ce hangar et les points O, A, B, S, H et K sont donnés sur le schéma ci-dessous.

Cette façade avant est symétrique par rapport au segment vertical $[\mathrm{OS}]$ et $\mathrm{OH} = 30 \mathrm{m}$. L'arc $\overset{\displaystyle\frown}{SA}$ de la façade avant correspond à une partie de la représentation graphique d'une fonction définie sur l'intervalle $[0;60]$, dans un repère orthonormal direct d'origine O du plan, l'unité étant le mètre. Le cahier des charges impose les quatre conditions suivantes :

• $\mathrm{OS} = 60$ ;
• $\mathrm{HK} > 35$ ;
• la fonction évoquée ci-dessus doit être strictement décroissante sur l'intervalle [0;60] ;
• $\mathrm{OA} \leqslant 60$.

---

Partie A- Étude d'une fonction numérique

---

1. Vérifier que la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;60]$ par $f(x) = 80 - 20e^{0,025x}$ vérifie les trois premières conditions du cahier des charges.
$\bullet~~$OS $ = f(0) = 80 - 20\text{e}^{0}= 80 - 20 = 60$.
$\bullet~~$HK $ = f(30) = 80 - 20\text{e}^{0,025 \times 30} = 80 - 20\text{e}^{0,75} \approx 37,7 > 35$.
$\bullet~~$$f'(x) = - 20 \times 0,025 \text{e}^{0,025x} = - 0,5\text{e}^{0,025x}$. Comme $\text{e}^{0,025x} > 0$ quel que soit le réel $x$, $f'(x) < 0$ : la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0~;~60]$.
2. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la valeur décimale approchée à $10^{- 1}$ près par excès du réel $a$ qui vérifie $f(a) = 0$. Vérifier que la quatrième condition du cahier des charges est remplie.
La calculatrice donne : $f(55) \approx 0,9 ; f(56) \approx -1$, donc $55 < a < 56$. $f(55,4) \approx 0,1$ et $f(55,5) \approx - 0,1$, donc $55,4 < a < 55,5$.

---

Partie B- Calcul d'intégrale et application

---

1. 1. La fonction $F$ est définie sur l'intervalle $[0;60]$ par $F(x) = 80x - 800e^{0,025x}$. Vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;60]$.
   On calcule sur $[0~;~60] F'(x) = 80 - 800 \times 0,025\text{e}^{0,025x} = 80 - 20\text{e}^{0,025x} = f(x)$ : $F$ est donc bien une primitive de $f$ sur l'intervalle [0~;~60].
   2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale $J = \displaystyle\int_{0}^{55,5} f(x) \;d x$.
   $$\begin{array}{ll}J &= \displaystyle\int_{0}^{55,5} f(x)\:\text{d}x \\ &= \left[F(x) \right]_{0}^{55,5} \\&= F(55,5) - F(0)\\& = 80 \times 55,5 - 800\text{e}^{0,025 \times 55,5} - \left(80 \times 0 - 800\text{e}^{0,025\times 0} \right)\\& = 4440 - 800\text{e}^{ 1,3875 } + 800 = 5240 - 800\text{e}^{ 1,3875 } \end{array} $$
   $\displaystyle\int_{0}^{55,5} f(x)\:\text{d}x = 5240 - 800\text{e}^{ 1,3875 }$
   3. Donner la valeur approchée, arrondie à $10^{- 2}$ près de $J$.
2. On souhaite peindre la surface extérieure de la façade avant.
   1. Déterminer à $10^{-2}$ près l'aire de cette surface exprimée en $\mathrm{m}^2$.
   L'aire $\mathcal{A}$ de la surface à peindre est égale à :$\mathcal{A} = 2 J \approx 2 \times 2036,14 $, soit
   $\mathcal{A} \approx 4072,28 $ m$^2$.
   2. La peinture utilisée pour peindre la surface extérieure de la façade avant est vendue en bidons de 68 litres. Sachant que cette peinture a une propriété de recouvrement de 0,2 mètre carré par litre, combien de bidons sont nécessaires pour peindre la surface extérieure de la façade avant ?
   Un bidon permet de peindre $68 \times 0,2 = 13,6$ m$^2$. Pour peindre $ 4072,28 $ m$^2$ il faudra donc : $\dfrac{ 4072,28 }{13,6} \approx 299,4$.
   Il faudra donc 300 bidons de peinture.

Exercice 1 5 points

Suites

La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = 0,4u_{n} + 3$ et $u_{0} = - 1$.

Partie A

1. À l'aide d'un tableur, on a calculé les 11 premières valeurs de $u_{n}$. On obtient les résultats suivants : $$\begin{array}{ }\hline & A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L\\ \hline 1&\text{ Valeur de } n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline 2&\text{Valeur de }u_n& - 1& 2,6 & 4,04 & 4,616 & 4,8464 & 4,9386 & 4,9754 & 4,9902 & 4,9961 & 4,9984 & 4,9994 \\ \hline \end{array}$$ Parmi les quatre formules ci-dessous, laquelle a-t-on entré dans la cellule C2 pour obtenir par copie vers la droite les valeurs affichées dans les cellules D2 à L2 (on indiquera la réponse sur la copie sans justification) ?

   a. = 0,4^n +3

   b. = $ B$ 2*0,4+3

   c. =B2*0,4+3

   d.= 0,4 ^ C 1+3

2. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
3. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|l l|}\hline \text{variables :} & p \text{ et } n \text{ sont des entiers naturels,} \\ & u \text{ est un nombre réel }\\ \text{\entrée :} & \text{ saisir la valeur de } p \\ \text{initialisation :}& n \text{ prend la valeur } 0 , \\ & u \text{ prend la valeur } - 1 \\ \text{traitement :} & \text{ Tant que } |u - 5| > 10^{-p} \\ & \begin{array}{ |l} n \text{ prend la valeur } n + 1 \\ u \text{ prend la valeur } 0,4u + 3 \end{array}\\ & \text{ Fin Tant que }\\ \text{ sortie :} & \text{Afficher la valeur de } n \\ \hline \end{array} $$ À l'aide du tableau de la question 1, donner la valeur affichée par cet algorithme lorsque $p = 2$.

Partie B

On étudie maintenant la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = 6 \times (0,4)^n$.

1. Donner la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ et ses éléments caractéristiques.
2. Déterminer la limite de $\left(v_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
3. On admet que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n} = 5 - v_{n}$. Déterminer la limite de $\left(u_{n}\right)$.
4. 1. Déterminer en fonction de $n$ la somme $v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}$.
   2. En déduire en fonction de $n$ la somme $u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}$.

Correction de l'exercice 1 (5 points)

Suites

La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = 0,4u_{n} + 3$ et $u_{0} = - 1$.

Partie A

1. À l'aide d'un tableur, on a calculé les 11 premières valeurs de $u_{n}$. On obtient les résultats suivants : $$\begin{array}{ }\hline & A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L\\ \hline 1&\text{ Valeur de } n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline 2&\text{Valeur de }u_n& - 1& 2,6 & 4,04 & 4,616 & 4,8464 & 4,9386 & 4,9754 & 4,9902 & 4,9961 & 4,9984 & 4,9994 \\ \hline \end{array}$$ Parmi les quatre formules ci-dessous, laquelle a-t-on entré dans la cellule C2 pour obtenir par copie vers la droite les valeurs affichées dans les cellules D2 à L2 (on indiquera la réponse sur la copie sans justification) ?

   a. = 0,4^n +3

   b. = $ B$ 2*0,4+3

   c. =B2*0,4+3

   d.= 0,4 ^ C 1+3

Réponse c. : =B2*0,4+3
2. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
Il semble que la limite de la suite soit égale à $5$.
3. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|l l|}\hline \text{variables :} & p \text{ et } n \text{ sont des entiers naturels,} \\ & u \text{ est un nombre réel }\\ \text{\entrée :} & \text{ saisir la valeur de } p \\ \text{initialisation :}& n \text{ prend la valeur } 0 , \\ & u \text{ prend la valeur } - 1 \\ \text{traitement :} & \text{ Tant que } |u - 5| > 10^{-p} \\ & \begin{array}{ |l} n \text{ prend la valeur } n + 1 \\ u \text{ prend la valeur } 0,4u + 3 \end{array}\\ & \text{ Fin Tant que }\\ \text{ sortie :} & \text{Afficher la valeur de } n \\ \hline \end{array} $$ À l'aide du tableau de la question 1, donner la valeur affichée par cet algorithme lorsque $p = 2$.
L'algorithme s'arrête pour $p = 7$ : avec $u_{7}= 4,9902 $, on a bien $\left|u_{7} - 5 \right| \leqslant 0,01$.

Partie B

On étudie maintenant la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = 6 \times (0,4)^n$.

1. Donner la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ et ses éléments caractéristiques.
D'après l'écriture du terme général $v_{n} = v_0 \times q^n$, cette suite est géométrique de premier terme $6$ et de raison $0,4$.
2. Déterminer la limite de $\left(v_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
Comme $0 < 0,4 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,4^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 6 \times 0,4^n = 0$. Conclusion : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 0$.
3. On admet que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n} = 5 - v_{n}$. Déterminer la limite de $\left(u_{n}\right)$.
Comme $u_{n} = 5 - v_{n}$, on en déduit que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 5 - 0 = 5$.
4. 1. Déterminer en fonction de $n$ la somme $v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}$.
   Cette somme est la somme des $(n + 1)$ premiers termes d'une suite géométrique, on sait que cette somme est égale à : $$\begin{array}{rl}v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}&= \dfrac{1 - \text{Raison}^{\text{Nombres de termes}}}{1 - \text{Raison}}\times \text{Premier Terme}\\ &= \dfrac{1 - 0,4^{n+1}}{1 - 0,4}\times 6\\ &= 6 \times \dfrac{1 - 0,4^{n+1}}{0,6}\\&= 10 \left(1 - 0,4^{n+1} \right) \\ &= 10 - 4 \times 0,4^n. \end{array}$$
   2. En déduire en fonction de $n$ la somme $u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}$.
   Comme pour tout entier $n, \: u_{n} = 5 - v_{n}$, on a : $$\begin{array}{rl} u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n} &= 5 - v_{0}+5 - v_{1 } +\cdots +5 - v_{n}\\ &= 5 (n + 1) - \left(v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}\right)\\ &= 5 (n + 1) - \left(10 - 4 \times 0,4^n \right) \\ &= 5n + 5 - 10 + 4\times 0,4^n \\ &= 5n - 5 + 4\times 0,4^n\\ &=5(n - 1) + 4\times 0,4^n \end{array}$$.

Exercice 2 3 points

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est correcte.
$\mathbb R$ désigne l'ensemble des nombres réels.
Toute bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une réponse erronée ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point. Aucune justification n'est demandée.
Le candidat notera le numéro de la question et la lettre correspondante à la réponse choisie sur sa copie.

1. Soit $z = - \sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$. Alors son module est :
   1. $\sqrt{2}$
   2. $- \sqrt{2}$
   3. $2$
2. Soit $z = - \sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$. Alors un argument est :
   1. $\dfrac{\pi}{4}$
   2. $- \dfrac{\pi}{4}$
   3. $- \dfrac{3\pi}{4}$
3. $f$ est définie par $f (t) = 3\cos \left(5 t - \dfrac{\pi}{2}\right)$
   1. $f$ est solution de : & $y' + 3y = 0$
   2. $y''+ 25y = 0$
   3. $y'' - 5y = 0$
4. Les solutions de l'équation $y' - 2y = 0$ sont les fonctions du type :
   1. $x \mapsto ke^{2x}$ avec $k \in \mathbb R$
   2. $x \mapsto ke^{- 2x}$ avec $k \in \mathbb R$
   3. $x \mapsto ke^{2x} + k$ avec $k \in \mathbb R$
5. La solution de l'équation $\ln (x + 1) = 3$ est :
   1. $\left\{1 - e^3\right\}$
   2. $\left\{1 + e^3\right\}$
   3. $\left\{e^3 - 1\right\}$
6. L'ensemble des solutions de l'inéquation $2^x - 3 \leqslant 5$ est :
   1. $]- \infty ; \ln 8]$
   2. $]- \infty ; 3]$
   3. $]- \ln 3 ; \ln 5]$

Correction de l'exercice 2 (3 points)

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est correcte.
$\mathbb R$ désigne l'ensemble des nombres réels.
Toute bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une réponse erronée ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point. Aucune justification n'est demandée.
Le candidat notera le numéro de la question et la lettre correspondante à la réponse choisie sur sa copie.

1. Soit $z = - \sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$. Alors son module est :
   1. $\sqrt{2}$
   2. $- \sqrt{2}$
   3. $2$
Réponse a.
2. Soit $z = - \sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$. Alors un argument est :
   1. $\dfrac{\pi}{4}$
   2. $- \dfrac{\pi}{4}$
   3. $- \dfrac{3\pi}{4}$
$z = - \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ : cette écriture n'est pas celle d'une forme exponentielle car $ \sqrt{2} < 0$.
On utilise le fait que $ - 1= \text{e}^{\text{i}\pi}$
Or $z = \text{e}^{\text{i}\pi} \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right)} = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{4}}$ Un argument de $z$ est donc $\frac{5\pi}{4}$ à $2\pi$ près soit encore $- \frac{3\pi}{4}$.
Réponse c.
3. $f$ est définie par $f (t) = 3\cos \left(5 t - \dfrac{\pi}{2}\right)$
   1. $f$ est solution de : & $y' + 3y = 0$
   2. $y''+ 25y = 0$
   3. $y'' - 5y = 0$
Si $f$ est définie par $f(t) = 3\cos \left(5 t - \dfrac{\pi}{2}\right)$, alors $f'(t) = - 15 \sin \left(5 t - \dfrac{\pi}{2}\right)$ et $f''(t) = - 75 \cos \left(5 t - \dfrac{\pi}{2}\right)$.
Donc $f''(t) + 25f(t) = 0$.
Réponse b.
4. Les solutions de l'équation $y' - 2y = 0$ sont les fonctions du type :
   1. $x \mapsto ke^{2x}$ avec $k \in \mathbb R$
   2. $x \mapsto ke^{- 2x}$ avec $k \in \mathbb R$
   3. $x \mapsto ke^{2x} + k$ avec $k \in \mathbb R$
$y' - 2y = 0\iff y'=2y$, cette équation différentielle est de la forme $y'=ay$ où $a=2$.
Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions : $x \longmapsto C\text{e}^{2x}$ avec $C \in \mathbb R$.
Réponse a.
5. La solution de l'équation $\ln (x + 1) = 3$ est :
   1. $\left\{1 - e^3\right\}$
   2. $\left\{1 + e^3\right\}$
   3. $\left\{e^3 - 1\right\}$
$$\begin{array}{rl} \ln (x + 1) = 3 &\iff \text{e}^{\ln (x + 1)} = \text{e}^{3} \\ &\iff x + 1 = \text{e}^{3} \\ & \iff x = \text{e}^{3} - 1\end{array}$$
Réponse c.
6. L'ensemble des solutions de l'inéquation $2^x - 3 \leqslant 5$ est :
   1. $]- \infty ; \ln 8]$
   2. $]- \infty ; 3]$
   3. $]- \ln 3 ; \ln 5]$
   $$\begin{array}{rl} 2^x - 3 \leqslant 5 &\iff 2^x \leqslant 8 \\ & \iff x\ln 2 \leqslant \ln 8\\ & \iff x\ln 2 \leqslant \ln 2^3 \\ & \iff x \ln 2 \leqslant 3 \ln 2 \\ &\iff x \leqslant 3\end{array}$$
   Réponse b.

Exercice 3 7 points

Fonctions logarithmes

Partie A

$f$ est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$. $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.

• $\mathcal{C}$ est la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.
• $T$ est la tangente à $\mathcal{C}$ au point de coordonnées $(1 ; -1)$. $T$ passe par le point de coordonnées $(0;1)$.

1. 1. Par lecture graphique, déterminer $f(1)$.
   2. Déterminer $f'(1)$.
   3. Donner une équation de $T$.
2. On sait que $f(x)$ est de la forme $f(x) = 2\ln x+ \dfrac{a}{x} + b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
   1. Calculer $f'(x)$.
   2. Déterminer alors les valeurs de $a$ et $b$.

Partie B

Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = 2\ln x + \dfrac{4}{x} - 5$.

1. 1. Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
   2. On admet que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$. Que peut-on en déduire graphiquement ?
2. 1. Pour tout nombre réel $x$ appartenant à $]0 ; +\infty[$, vérifier que $f'(x) = \dfrac{2x - 4}{x^2}$.
   2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0 ; +\infty[$.
3. Établir le tableau de variations de $f$ sur $]0 ; +\infty[$.
4. En précisant votre démarche, donner le nombre de solution(s) de l'équation $f(x) = 0$, pour $x$ appartenant à $]0 ; +\infty[$.
5. 1. Donner le signe de $f(x)$ pour $x$ appartenant à $[1 ; 3]$.
   2. On admet que la fonction $F$ définie pour $x$ appartenant à $]0 ; +\infty[$ par $F(x) = (2x + 4) \ln x - 7x$ est une primitive de $f$. Déterminer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$ en unités d'aires. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\mathcal{A}$.

Correction de l'exercice 3 (7 points)

Fonctions logarithmes

Partie A

$f$ est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$. $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.

• $\mathcal{C}$ est la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.
• $T$ est la tangente à $\mathcal{C}$ au point de coordonnées $(1 ; -1)$. $T$ passe par le point de coordonnées $(0;1)$.

1. 1. Par lecture graphique, déterminer $f(1)$.
   On lit $f(1) \approx - 1$.
   $f(1)=- 1$.
   2. Déterminer $f'(1)$.
   $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tagente $T$ à $\mathcal{C}$ au point de coordonnées $(1 ; -1)$.
   On lit $f'(1) = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-2}{1} = - 2$.
   $f'(1)=- 2$.
   3. Donner une équation de $T$.
      • Méthode 1 : Son coefficient directeur est égal à $- 2$ et son ordonnée à l'origine 1 ; l'équation de $\mathcal{T}$ est donc $y = - 2x + 1$.
      • Méthode 2 :
        

        La tangente $\1$ à $\2$ au point d'abscisse $a= \3$ a pour équation : $$y=\6'(\3)(x-\3)+\6(\3)$$ Ici $a= \3$, on calcule successivement :

        • $\6\left(\3 \right)=\4$
        • $\6'\left (\3\right )=\5$

        Ainsi $\1:y=\5\left (x-\3\right )+\4$

        
        
        l'équation de $\mathcal{T}$ est donc $y = - 2x + 1$.
2. On sait que $f(x)$ est de la forme $f(x) = 2\ln x+ \dfrac{a}{x} + b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
   1. Calculer $f'(x)$.
   $f'(x) = 2\times\dfrac{1}{x} - \dfrac{a}{x^2} = \dfrac{2x - a}{x^2}$.
   2. Déterminer alors les valeurs de $a$ et $b$.
   On sait que $f'(1) = - 2$ soit $\dfrac{2\times 1 - a}{1^2} = - 2 \iff 2 - a = - 2 \iff a = 4$.
   Donc $f(x) = 2\ln x + \dfrac{4}{x} + b$. mais on sait que $f(1) = - 1$, soit $2\ln 1 + \dfrac{4}{1} + b = - 1 \iff b = - 1 - 4 = - 5$.
   Finalement : $f(x) = 2\ln x + \dfrac{4}{x} - 5$.

Partie B

Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = 2\ln x + \dfrac{4}{x} - 5$.

1. 1. Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
   On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{4}{x}$, d'où par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
   2. On admet que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$. Que peut-on en déduire graphiquement ?
   $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$ signifie que l'axe des ordonnées est asymptote verticale à $\mathcal{C}$ au voisinage de zéro.
2. 1. Pour tout nombre réel $x$ appartenant à $]0 ; +\infty[$, vérifier que $f'(x) = \dfrac{2x - 4}{x^2}$.
   On a $f'(x) = 2 \times \dfrac{1}{x} - \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{2x - 4}{x^2}$.
   2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0 ; +\infty[$.
3. Établir le tableau de variations de $f$ sur $]0 ; +\infty[$.
Comme $x^2 > 0$ si $x \in ]0~;~ +\infty[$, le signe de $f'(x)$ est celui de $2x - 4$ qui est positif si $x > 2$.
Conclusion :
• $f'(x) > 0$ sur $]2~;~+ \infty[$ ;
• $f'(x) < 0 sur ]0~;~2[$ ;
• $f'(2) = 0$.

4. En précisant votre démarche, donner le nombre de solution(s) de l'équation $f(x) = 0$, pour $x$ appartenant à $]0 ; +\infty[$.
Comme $2\ln 2 - 3 \approx - 1,62$ est inférieur à zéro, la fonction décroissant de plus l'infini à $2\ln 2 - 3$ s'annule une fois sur l'intervalle ]0~;~2[, puis croissant de $2\ln 2 - 3$ à plus l'infini s'annule une autre fois sur l'intervalle $]2~;~+ \infty[$. L'équation $f(x) = 0$, pour $x$ appartenant à $]0~;~ +\infty[$ a donc deux solutions $\alpha$ et $\beta$.
5. 1. Donner le signe de $f(x)$ pour $x$ appartenant à $[1 ; 3]$.
   On a $f(1) = 2 \times 0 \dfrac{4}{1} - 5 = - 1$ et $f(3) = 2 \ln 3 + \dfrac{4}{3} - 5 = 2\ln 3 - \dfrac{11}{3} \approx - 1,47$.
   Donc sur l'intervalle $[1~;~3]$, $f$ ne prend que des valeurs négatives.
   2. On admet que la fonction $F$ définie pour $x$ appartenant à $]0 ; +\infty[$ par $F(x) = (2x + 4) \ln x - 7x$ est une primitive de $f$. Déterminer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$ en unités d'aires. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\mathcal{A}$.
   On a vu que sur l'intervalle [1~;~3], $f$ est négative, donc l'aire $\mathcal{A}$ du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$ est égale à $$\begin{array}{ll}\mathcal{A} = & \displaystyle\int_{1}^3 -f(x)\:\text{d}x \\ &= - \left[F(3) - F(1) \right] \\ &= F(1) - F(3) \\ &= (2\times 1 + 4) \ln 1 - 7\times 1 - \left[(2\times 3 + 4) \ln 3 - 7\times 3 \right] \\ &= - 7 - 10\ln 3 + 21 \\ &= 14 - 10\ln 3 ~\text{(unités d'aire).} \end{array}$$
   On a $\mathcal{A} = 14 - 10\ln 3 \approx 3,01$~unités d'aire.

Exercice 4 5 points

Probabilités

Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires en argent. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le diamètre et l'épaisseur (exprimés en millimètres) sont conformes afin de les ranger dans un étui spécifique. Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à $10^{-3}$ près.

Partie A

On suppose dans cette partie que la probabilité pour qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme est égale à 0,9. Soit $X$ la variable aléatoire, qui à tout échantillon de 10 pièces associe le nombre de pièces conformes.

1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
2. Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ et l'écart type $\sigma(X)$ de la variable aléatoire $X$.
3. Calculer la probabilité que dans un échantillon de 10 pièces, au moins 8 pièces soient conformes.

Partie B

Les pièces sont fabriquées par une machine automatique. Soit $M$ la variable aléatoire qui à chaque pièce prélevée au hasard associe son diamètre. On suppose que $M$ suit la loi normale d'espérance 80 et d'écart type 0,6.

1. Déterminer la probabilité $P\left(79 \leqslant M \leqslant 81\right)$.
2. Quelle est la probabilité que le diamètre d'une pièce prélevée au hasard soit supérieur à 80 ?

Partie C

On s'intéresse dans cette partie à l'épaisseur des médailles. On fait l'hypothèse que le réglage de la machine est tel que 5$\,\% $des médailles fabriquées ont une épaisseur non conforme.

1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95$\,\% $de la fréquence des médailles non conformes obtenues dans un échantillon de 300 médailles.
2. On prélève un échantillon de 300 médailles. On constate que dans cet échantillon, 24 médailles ont une épaisseur non conforme. Doit-on réviser le réglage de la machine ?

Exercice 4 5 points

Probabilités

Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires en argent. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le diamètre et l'épaisseur (exprimés en millimètres) sont conformes afin de les ranger dans un étui spécifique. Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à $10^{-3}$ près.

Partie A

On suppose dans cette partie que la probabilité pour qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme est égale à 0,9. Soit $X$ la variable aléatoire, qui à tout échantillon de 10 pièces associe le nombre de pièces conformes.

1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

• « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
• « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$

2. Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ et l'écart type $\sigma(X)$ de la variable aléatoire $X$.
On a E$(X) = n \times p = 10 \times 0,9 = 9$.
$\sigma(X) = \sqrt{n \times p\times (1 - p)} = \sqrt{10 \times 0,9 \times 0,1} = \sqrt{0,9}$.
3. Calculer la probabilité que dans un échantillon de 10 pièces, au moins 8 pièces soient conformes.
On veut $p(X \geqslant 8)= 1 - p( X\leq 7)$

 

2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
$p(X \geqslant 8) \approx \ 0,9298 \approx 0,93$

Partie B

Les pièces sont fabriquées par une machine automatique. Soit $M$ la variable aléatoire qui à chaque pièce prélevée au hasard associe son diamètre. On suppose que $M$ suit la loi normale d'espérance 80 et d'écart type 0,6.

1. Déterminer la probabilité $P\left(79 \leqslant M \leqslant 81\right)$.

2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

 

2. Quelle est la probabilité que le diamètre d'une pièce prélevée au hasard soit supérieur à 80 ?
   • Méthode 1 : Comme l'espérance est égale à 80, la probabilité que le diamètre d'une pièce prélevée au hasard soit supérieur à $80$ est égale à $0,5$.
   • Méthode 2 :

      

     2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
     Avec une calculatrice de type TI

     $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

     $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$

Partie C

On s'intéresse dans cette partie à l'épaisseur des médailles. On fait l'hypothèse que le réglage de la machine est tel que 5$\,\% $des médailles fabriquées ont une épaisseur non conforme.

1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95$\,\% $de la fréquence des médailles non conformes obtenues dans un échantillon de 300 médailles.

La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

$$I_{300} = [0,025~;~0,075]$$
2. On prélève un échantillon de 300 médailles. On constate que dans cet échantillon, 24 médailles ont une épaisseur non conforme. Doit-on réviser le réglage de la machine ?
Donc la fréquence d'apparition des médailles non conformes est : $f = \dfrac{24}{300} = \dfrac{8}{100} = 0,08$.
Or $0,8 \notin [0,025~;~0,075]$, donc au seuil de confiance de 95$\,\%$ on décide de revoir le réglage de la machine.

Exercice 1 5 points

Probabilités

Une fabrique de desserts dispose d'une chaîne automatisée pour remplir des pots de crème glacée. La masse en grammes de crème glacée contenue dans chacun des pots peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $100$ et d'écart type $0,43$.

1. Afin de contrôler le remplissage des pots, le responsable qualité souhaite disposer de certaines probabilités. Le tableau ci-dessous présente le calcul, effectué à l'aide d'un tableur, des probabilités de quelques évènements pour une loi normale d'espérance 100 et d'écart type 0,43.

   $$\begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X \leq a) \\ \hline 98 & 0,0000165 \\ \hline 98,5 & 0,00024299 \\ \hline 99 & 0,01002045 \\ \hline \end{array} $$

   $$ \begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X \leq a) \\ \hline 99,5 & 0,12245722 \\ \hline 100 & 0,50000000 \\ \hline 100,5 & 0,87754278 \\ \hline \end{array} $$

   $$\begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X \leq a) \\ \hline 101 & 0,9899755 \\ \hline 98,5 & 0,99975701 \\ \hline 99 & 0,99999835 \\ \hline \end{array}$$

   Les résultats seront donnés à $10^{- 2}$ près.
   Pour les calculs de probabilités, on utilisera éventuellement le tableau précédent ou la calculatrice.}
   1. Déterminer la probabilité de l'évènement « $X > 99$ » .
   2. Déterminer la probabilité de l'évènement « $99 \leqslant X \leqslant 101$ ».
   3. Le pot est jugé conforme lorsque la masse de crème glacée est comprise entre 99 grammes et 101 grammes. Déterminer la probabilité pour qu'un pot prélevé aléatoirement soit non conforme.
2. Dans le cadre d'un fonctionnement correct de la chaîne de production, on admet que la proportion $p$ de pots conformes dans la production est 98 $\,\%$.
   1. L'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des pots conformes sur un échantillon de taille $n$ est \[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]\] Déterminer les bornes de l'intervalle $I$ pour un échantillon de taille 120.
   2. On contrôle régulièrement la chaîne de production en prélevant des échantillons de 120 pots de manière aléatoire. Au cours d'un de ces contrôles, un technicien compte 113 pots conformes. En utilisant l'intervalle de fluctuation précédent, prendra-t-on la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production?

Correction de l'exercice 1 (5 points)

Probabilités

Une fabrique de desserts dispose d'une chaîne automatisée pour remplir des pots de crème glacée. La masse en grammes de crème glacée contenue dans chacun des pots peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $100$ et d'écart type $0,43$.

1. Afin de contrôler le remplissage des pots, le responsable qualité souhaite disposer de certaines probabilités. Le tableau ci-dessous présente le calcul, effectué à l'aide d'un tableur, des probabilités de quelques évènements pour une loi normale d'espérance 100 et d'écart type 0,43.

   $$\begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X \leq a) \\ \hline 98 & 0,0000165 \\ \hline 98,5 & 0,00024299 \\ \hline 99 & 0,01002045 \\ \hline \end{array} $$

   $$ \begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X \leq a) \\ \hline 99,5 & 0,12245722 \\ \hline 100 & 0,50000000 \\ \hline 100,5 & 0,87754278 \\ \hline \end{array} $$

   $$\begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X \leq a) \\ \hline 101 & 0,9899755 \\ \hline 98,5 & 0,99975701 \\ \hline 99 & 0,99999835 \\ \hline \end{array}$$

   Les résultats seront donnés à $10^{- 2}$ près.
   Pour les calculs de probabilités, on utilisera éventuellement le tableau précédent ou la calculatrice.}
   1. Déterminer la probabilité de l'évènement « $X > 99$ » .

   2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , \1,$10^{99}$$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 > \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
    
   2. Déterminer la probabilité de l'évènement « $99 \leqslant X \leqslant 101$ ».

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

    

   3. Le pot est jugé conforme lorsque la masse de crème glacée est comprise entre 99 grammes et 101 grammes. Déterminer la probabilité pour qu'un pot prélevé aléatoirement soit non conforme.
   Déterminer la probabilité pour qu'un pot prélevé aléatoirement soit non conforme.
   Notons $C$ :« Le pot est jugé conforme » $C=99\leq X \leq 101$
   On veut calculer $P(\overline{C})=1-P(C)=1-P(99\leq X \leq 101)\approx 1-0,9799\approx 0,02$
   La probabilité pour qu'un pot prélevé aléatoirement soit non conforme est environ 0,02.
2. Dans le cadre d'un fonctionnement correct de la chaîne de production, on admet que la proportion $p$ de pots conformes dans la production est 98 $\,\%$.
   1. L'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des pots conformes sur un échantillon de taille $n$ est \[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]\] Déterminer les bornes de l'intervalle $I$ pour un échantillon de taille 120.

   La proportion $p$ est égale à $\1$. La taille $n$ de l'échantillon considéré est égale à $\2.$
   Comme $ n =\2$ , $n \times p $=\3 et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique ne sont pas sont réunies !

   En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ mais } n\times (1-p) < 5$$

   
   L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\% $ est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$

    
   $$I_{120} \approx [0,954, 1.006] $$
   2. On contrôle régulièrement la chaîne de production en prélevant des échantillons de 120 pots de manière aléatoire. Au cours d'un de ces contrôles, un technicien compte 113 pots conformes. En utilisant l'intervalle de fluctuation précédent, prendra-t-on la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production?
   On constate que $f =\dfrac{113}{120}\approx 0,941$ n'appartient pas à $[0,954, 1.006]$.
   On en déduit qu'au seuil de décision de 5 $\%$, on rejette l'hypothèse de 98$\%$ de pots conformes dans la production: on prend la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production.

Exercice 2 5 points

Fonctions exponentielles

On éteint le chauffage dans une pièce d'habitation à 22 h. La température y est alors de 20° C.
Le but de ce problème est d'étudier l'évolution de la température de cette pièce, puis de calculer l'énergie dissipée à l'extérieur, au cours de la nuit, de 22h à 7h le lendemain matin.
On suppose, pour la suite du problème, que la température extérieure est constante et égale à 11 ° C. On désigne par $t$ le temps écoulé depuis 22h, exprimé en heures, et par $f(t)$ la température de la pièce exprimée en ° C. La température de la pièce est donc modélisée par une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;9]$

Partie A :

1. Prévoir le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;9]$. On admet désormais que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0;9]$ par $f(t) = 9 e^{-0,12t} + 11$.
2. Donner une justification mathématique du sens de variation trouvé à la question précédente.
3. Calculer $f(9)$. En donner la valeur arrondie au dixième puis interpréter ce résultat.
4. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'heure à partir de laquelle la température est inférieure à 15° C.
5. Retrouver le résultat précédent en résolvant une inéquation.

Partie B :

Le flux d'énergie dissipée vers l'extérieur, exprimé en kilowatts (kW), est donné par la fonction $g$ telle que, pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0;9]$, \[g(t) = 0,7e^{-0,12t}.\] L'énergie $\mathcal{E}$ ainsi dissipée entre 22h et 7h, exprimée en kilowattheures (kWh), s'obtient en calculant l'intégrale \[\mathcal{E} = \int_{0}^9 g(t)\:\mathrm{d}t.\]

1. Calculer la valeur exacte de l'énergie dissipée.
2. En déduire une valeur arrondie de $\mathcal{E}$ à $0,1$kWh près.

Correction de l'exercice 2 (5 points)

Fonctions exponentielles

On éteint le chauffage dans une pièce d'habitation à 22 h. La température y est alors de 20° C.
Le but de ce problème est d'étudier l'évolution de la température de cette pièce, puis de calculer l'énergie dissipée à l'extérieur, au cours de la nuit, de 22h à 7h le lendemain matin.
On suppose, pour la suite du problème, que la température extérieure est constante et égale à 11 ° C. On désigne par $t$ le temps écoulé depuis 22h, exprimé en heures, et par $f(t)$ la température de la pièce exprimée en ° C. La température de la pièce est donc modélisée par une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;9]$

Partie A :

1. Prévoir le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;9]$.
On éteint le chauffage, donc la température sera une fonction décroissante du temps sur l'intervalle [0,9],de 22 h à 7 h le lendemain matin.
On admet désormais que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0;9]$ par $f(t) = 9 e^{-0,12t} + 11$.
2. Donner une justification mathématique du sens de variation trouvé à la question précédente.
On étudie le signe de la dérivée:
Comme $f(t)=9 e^{-0,12t} +11$, on déduit $f'(t)=9\times (-0,12)e^{-0,12t}=-1,08e^{-0,12t}$.
On a utilisé la formule de dérivation $(e^u)'=u'e^u$.
La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\mathbb R$ et $-1,08 < 0$ donc $f ' (t) < 0$,
ce qui prouve que $f$ est une fonction décroissante du temps sur l'intervalle [0,9].
3. Calculer $f(9)$. En donner la valeur arrondie au dixième puis interpréter ce résultat.
$f(9)=9e^{-0,12\times 9} +11=9e^{-1,08} +11\approx 14,1^{\circ}$C.
4. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'heure à partir de laquelle la température est inférieure à 15° C.
On trace la courbe d'équation $y=9 e^{-0,12x} +11$, la droite d'équation $y=15$ et on utilise l'outil intersection.

On voit ainsi que la température est inférieure à 15$^{\circ}$C pour $ t\approx 6,75$, c'est à dire à 4 h 45 min environ.
5. Retrouver le résultat précédent en résolvant une inéquation.
On résout $f(t)<15$ $$\begin{array}{lll}f(t) < 15 & \Leftrightarrow 9 e^{-0,12t} +11 < 15& \\ & \Leftrightarrow 9 e^{-0,12t} < 4 &\\ & \Leftrightarrow e^{-0,12t}<\dfrac{4}{9} & \text{ On applique la fonction } \ln \\ &&\text{ strictement croissante sur } ]0;+\infty[ :\\ & \Leftrightarrow \ln \left (e^{-0,12t}\right ) < \ln \left (\dfrac{4}{9}\right )&\\ & \Leftrightarrow -0,12 t <\ln \left (\dfrac{4}{9}\right )&\\ & \Leftrightarrow t >-\dfrac{\ln \left (\dfrac{4}{9}\right )}{0,12}& \end{array}$$ $-\dfrac{\ln \left (\dfrac{4}{9}\right )}{0,12}\approx 6,7577 $
l'heure à partir de laquelle la température est inférieure à 15$^{\circ}$C est environ 4 heures 45 minutes et 28 secondes.

Partie B :

Le flux d'énergie dissipée vers l'extérieur, exprimé en kilowatts (kW), est donné par la fonction $g$ telle que, pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0;9]$, \[g(t) = 0,7e^{-0,12t}.\] L'énergie $\mathcal{E}$ ainsi dissipée entre 22h et 7h, exprimée en kilowattheures (kWh), s'obtient en calculant l'intégrale \[\mathcal{E} = \int_{0}^9 g(t)\:\mathrm{d}t.\]

1. Calculer la valeur exacte de l'énergie dissipée.
On calcule une primitive $G$ de $g$:
$$\begin{array}{rl } G(t)&=0,7\times \dfrac{e^{-0,12t}}{-0,12}\\ &=-\dfrac{7}{12}e^{-0,12t}\\ \mathcal{E}&=\int_{0}^{9} g(t)\;dt \\ &=G(9)-G(0)\\G(9)&=-\dfrac{7}{12}e^{-0,12\times 9}\\ &=-\dfrac{7}{12}e^{-1,08}\\ G(0) & =-\dfrac{7}{12}e^{0}\\&=-\dfrac{7}{12}\\ \mathcal{E}&=G(9)-G(0)\\ &=-\dfrac{7}{12}e^{-1,08}+\dfrac{7}{12} \end{array} $$
$\mathcal{E}=\dfrac{7}{12}\left (1-e^{-1,08}\right )kWh$
On a utilisé le fait que $t\mapsto e^{at}$ a pour primitives $t\mapsto \dfrac{e^{at}}{a}+C$
2. En déduire une valeur arrondie de $\mathcal{E}$ à $0,1$kWh près.
$\mathcal{E}=\dfrac{7}{12}\left (1-e^{-1,08}\right )kWh\approx 3,9\; kWh $

Exercice 3 4 points

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

1. Une écriture sous forme exponentielle du nombre complexe $z = \sqrt{6} - \mathrm{i}\sqrt{2}$ est :
   1. $z = 4e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$
   2. $z = 2\sqrt{2}e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$
   3. $z = 4e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$
   4. $z = 2\sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$

   ---

2. Si $z_{1} = 3\sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ et $z_{2} = \sqrt{2}e^{-\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$, alors le quotient $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$ vaut :
   1. $3\sqrt{2}e^{-\mathrm{i}\frac{7\pi}{12}}$
   2. $3 e^{- 2\mathrm{i}\pi}$
   3. $3\sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{13\pi}{12}}$
   4. $3e^{\mathrm{i}\frac{13\pi}{12}}$

   ---

3. On considère l'équation différentielle $y'' + 9y = 0$, où $y$ désigne une fonction deux fois dérivable sur l'ensemble des réels. Une solution $f$ de cette équation est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$ :
   1. $f(x) = 4 e^{9x}$
   2. $f(x) = - 0,2 e^{- 9x}$
   3. $f(x) = 7 \cos (9x) - 0,2 \sin (9x)$
   4. $f(x) = 0,7\sin (3x)$

   ---

4. On considère l'équation différentielle $y' + 7y = 0$, où $y$ désigne une fonction dérivable sur l'ensemble des réels. La solution $f$ de cette équation telle que $f(0) = 9$ est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$ :
   1. $f(x) = 9e^{7x}$
   2. $f(x) = 9e^{- 7x}$
   3. $f(x)= - 9e^{7x}$
   4. $f(x) = - 9e^{- 7x}$

Correction de l'exercice 3 (4 points)

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

1. Une écriture sous forme exponentielle du nombre complexe $z = \sqrt{6} - \mathrm{i}\sqrt{2}$ est :
   1. $z = 4e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$
   2. $z = 2\sqrt{2}e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$
   3. $z = 4e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$
   4. $z = 2\sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$
Une écriture sous forme exponentielle du nombre complexe $z=\sqrt{6}-i\sqrt{2}$ est:
• Module : $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\sqrt{6}^2+\sqrt{2}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
• Argument: $$\left\{ \begin{array}{l } \cos(\theta)=\dfrac{a}{r}= \dfrac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}= \dfrac{\sqrt 3}{ 2}\\ \sin(\theta)=\dfrac{b}{r}= -\dfrac{\sqrt 2}{2\sqrt{2}}=-\dfrac{1}{ 2} \end{array} \right.$$
Ainsi $\theta=-\dfrac{\pi}{6}$ convient; on a donc: $$z=[2\sqrt{2};-\dfrac{\pi}{6}] \text{ ou } z=2\sqrt{2}\left [\cos\left (-\dfrac{\pi}{6}\right )+i\sin\left (-\dfrac{\pi}{6}\right )\right ]=2\sqrt 2e^{-i\frac{ \pi}{6}}$$
2. Si $z_{1} = 3\sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ et $z_{2} = \sqrt{2}e^{-\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$, alors le quotient $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$ vaut :
   1. $3\sqrt{2}e^{-\mathrm{i}\frac{7\pi}{12}}$
   2. $3 e^{- 2\mathrm{i}\pi}$
   3. $3\sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{13\pi}{12}}$
   4. $3e^{\mathrm{i}\frac{13\pi}{12}}$
Si $z_1=3\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$ et $z_2=\sqrt{2}e^{-i\frac{5\pi}{6}}$ alors le quotient $\dfrac{z_1}{z_2}$ vaut: $$\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{3\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}e^{-i\frac{5\pi}{6}}}=3e^{i\dfrac{\pi}{4}+i\frac{5\pi}{6}}=3e^{i\frac{13\pi}{12}}$$
3. On considère l'équation différentielle $y'' + 9y = 0$, où $y$ désigne une fonction deux fois dérivable sur l'ensemble des réels. Une solution $f$ de cette équation est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$ :
   1. $f(x) = 4 e^{9x}$
   2. $f(x) = - 0,2 e^{- 9x}$
   3. $f(x) = 7 \cos (9x) - 0,2 \sin (9x)$
   4. $f(x) = 0,7\sin (3x)$
En effet l'équation différentielle $y''+9y=0$ est du type $y''+\omega ^2 y= 0$ où $\omega ^ 2=9$ donc $\omega =3$
La solution générale de cette équation différentielle est $y=A\cos(3x)+B\sin(3x)$. $f(x)=0,7 \sin(3x)$ est de ce type avec $A=0$ et $B=0,7$.
4. On considère l'équation différentielle $y' + 7y = 0$, où $y$ désigne une fonction dérivable sur l'ensemble des réels. La solution $f$ de cette équation telle que $f(0) = 9$ est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$ :
   1. $f(x) = 9e^{7x}$
   2. $f(x) = 9e^{- 7x}$
   3. $f(x)= - 9e^{7x}$
   4. $f(x) = - 9e^{- 7x}$
En effet l'équation différentielle $y'+7y=0$ s'écrit $y'=-7y$ . Elle est du type $y'=ay$ où $a=-7$.
La solution générale de cette équation différentielle est $y=Ce^{-7x}$.
$$f(0)=9\Leftrightarrow C e^{0}=9 \Leftrightarrow C=9.$$ La solution $f$ de cette équation telle que $f(0)=9$ est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$: $f(x)=9e^{-7x}$

Exercice 4 6 points

Suites

• La plupart des lignes électriques font circuler du courant alternatif. Certaines font circuler du courant continu à très haute tension qui occasionne moins de pertes que le courant alternatif, notamment lorsque les lignes sont immergées, mais aussi lorsque les distances sont très importantes.
• En 2012, la plus longue liaison électrique à courant continu en service dans le monde relie la centrale hydro-électrique de Xiangjiaba à la ville de Shanghai. Elle mesure environ $1900$ km ; sa puissance électrique initiale est de $6400 $MW ; le courant est transporté sous une tension de 800 kV.

Lorsque du courant électrique circule dans un câble, une partie de la puissance électrique est perdue. On estime les pertes de puissance électrique d'un courant continu à très haute tension à 0,3$\,\% $ pour une distance de 100kilomètres.

Partie A :

On note $p_{0} = 6400$. Pour tout nombre entier naturel non nul $n$, on note $p_{n}$ la puissance électrique restant dans la ligne Xiangjiaba-Shanghai au bout d'une distance de $n$ centaines de kilomètres. Ainsi $p_{1}$ est la puissance électrique restant dans la ligne au bout de 100km.

1. Montrer que $p_{1} = 0,997p_{0}$.
2. Quelle est la puissance électrique au MW près par défaut restant dans la ligne Xiangjiaba--Shanghai au bout de $200$km ?
3. Déterminer la nature de la suite $\left(p_{n}\right)$ puis exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$.

Partie B :

On considère l'algorithme ci-dessous : $$\begin{array}{ll} \text{variables} : &\\ & n \text{: un nombre entier naturel}\\ &q \text{ : un nombre réel}\\ & p \text{: un nombre réel}\\ \text{entrée} : &\\ & \hspace{5mm} \text{Saisir } n \\ \ \text{initialisation} :&\\ & \hspace{5mm} \text{Affecter à } p \text{ la valeur 6400}\\ &\text{Affecter à } q \text{ la valeur 0,997}\\ \text{traitement} : &\\ & \hspace{5mm} \text{ Répéter } n \text{ fois}\\ &\hspace{1cm} \text{ Affecter à } p \text{ la valeur} p \times q \\ \text{sortie} : &\\ & \hspace{5mm} \text{ Afficher } p \end{array} $$

1. On entre dans l'algorithme la valeur $n = 3$. Faire fonctionner cet algorithme pour compléter les cases non grisées du tableau suivant, que l'on recopiera (on donnera des valeurs arrondies à l'unité près par défaut). $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & n & p & q \\ \hline \text{Entrées et initialisation }& 3 & 0,997& 6400 \\ \hline 1 ^{\text{er}} \text{ passage dans la boucle de l'algorithme } & & & \\ \hline 2 ^{\text{e}} \text{ passage dans la boucle de l'algorithme } & & &  \\ \hline 3 ^{\text{e}} \text{ passage dans la boucle de l'algorithme } & & & \\ \hline \end{array}$$
2. Interpréter la valeur de $p$ obtenue au troisième passage dans la boucle de l'algorithme.
3. Quel est le pourcentage de perte de puissance électrique en ligne au bout de $300$km ?

Partie C :

1. Quelle est la puissance électrique à l'arrivée de la ligne Xiangjiaba--Shanghai ?
2. D'autres lignes électriques à très haute tension, en courant continu, sont en cours d'étude. On souhaite limiter la perte de puissance électrique à 7 $\,\%$ sur ces lignes.
   1. La ligne Xiangjiaba--Shanghai répond-t-elle à cette contrainte ?
   2. Déterminer, à cent kilomètres près, la longueur maximale d'une ligne à très haute tension en courant continu pour laquelle la perte de puissance reste inférieure à 7 $\,\%$.

Exercice 4 6 points

Suites

• La plupart des lignes électriques font circuler du courant alternatif. Certaines font circuler du courant continu à très haute tension qui occasionne moins de pertes que le courant alternatif, notamment lorsque les lignes sont immergées, mais aussi lorsque les distances sont très importantes.
• En 2012, la plus longue liaison électrique à courant continu en service dans le monde relie la centrale hydro-électrique de Xiangjiaba à la ville de Shanghai. Elle mesure environ $1900$ km ; sa puissance électrique initiale est de $6400 $MW ; le courant est transporté sous une tension de 800 kV.

Lorsque du courant électrique circule dans un câble, une partie de la puissance électrique est perdue. On estime les pertes de puissance électrique d'un courant continu à très haute tension à 0,3$\,\% $ pour une distance de 100kilomètres.

Partie A :

On note $p_{0} = 6400$. Pour tout nombre entier naturel non nul $n$, on note $p_{n}$ la puissance électrique restant dans la ligne Xiangjiaba-Shanghai au bout d'une distance de $n$ centaines de kilomètres. Ainsi $p_{1}$ est la puissance électrique restant dans la ligne au bout de 100km.

1. Montrer que $p_{1} = 0,997p_{0}$.
$p_1=p_0-0,3\,\% p_0=\left(1-0,003\right)p_0=0,997p_0$
2. Quelle est la puissance électrique au MW près par défaut restant dans la ligne Xiangjiaba--Shanghai au bout de $200$km ?
On veut donc calculer $p_2=p_1-0,3\% p_1=0,997p_1=0,997 \times 0,997p_0=0,997^2\times 6400\approx 6361$
La puissance électrique au MW près par défaut restant au bout de 200 km est 6361 MW.
3. Déterminer la nature de la suite $\left(p_{n}\right)$ puis exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$.
$p_{n+1}=p_n-0,3\%p_n=\left (1-0,003\right)p_n=0,997p_n$.
Comme pour tout entier $n$ on a $p_{n+1}=0,997p_n$ :
la suite $(p_n)$ est géométrique de premier terme $p_0=6400$ et de raison $q=0,997$.
D'après le cours $p_n=q^n\times p_0=0,997^n\times 6400$
$p_n= 0,997^n\times 6400$

Partie B :

On considère l'algorithme ci-dessous : $$\begin{array}{ll} \text{variables} : &\\ & n \text{: un nombre entier naturel}\\ &q \text{ : un nombre réel}\\ & p \text{: un nombre réel}\\ \text{entrée} : &\\ & \hspace{5mm} \text{Saisir } n \\ \ \text{initialisation} :&\\ & \hspace{5mm} \text{Affecter à } p \text{ la valeur 6400}\\ &\text{Affecter à } q \text{ la valeur 0,997}\\ \text{traitement} : &\\ & \hspace{5mm} \text{ Répéter } n \text{ fois}\\ &\hspace{1cm} \text{ Affecter à } p \text{ la valeur} p \times q \\ \text{sortie} : &\\ & \hspace{5mm} \text{ Afficher } p \end{array} $$

1. On entre dans l'algorithme la valeur $n = 3$. Faire fonctionner cet algorithme pour compléter les cases non grisées du tableau suivant, que l'on recopiera (on donnera des valeurs arrondies à l'unité près par défaut). $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & n & p & q \\ \hline \text{Entrées et initialisation }& 3 & 0,997& 6400 \\ \hline 1 ^{\text{er}} \text{ passage dans la boucle de l'algorithme } & & & \\ \hline 2 ^{\text{e}} \text{ passage dans la boucle de l'algorithme } & & &  \\ \hline 3 ^{\text{e}} \text{ passage dans la boucle de l'algorithme } & & &  \\ \hline \end{array}$$
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & n & p & q \\ \hline \text{Entrées et initialisation }& 3 & 0,997& 6400 \\ \hline 1 ^{\text{er}} \text{ passage dans la boucle de l'algorithme } & & &6380 \\ \hline 2 ^{\text{e}} \text{ passage dans la boucle de l'algorithme } & & & 6361 \\ \hline 3 ^{\text{e}} \text{ passage dans la boucle de l'algorithme } & & & 6342 \\ \hline \end{array}$$ On obtient $p_3\approx 6342$
La puissance électrique au MW près par défaut restant au bout de 300 km est 6342 MW.
2. Interpréter la valeur de $p$ obtenue au troisième passage dans la boucle de l'algorithme.
3. Quel est le pourcentage de perte de puissance électrique en ligne au bout de $300$km ?

Partie C :

1. Quelle est la puissance électrique à l'arrivée de la ligne Xiangjiaba--Shanghai ?
$$p_{19}=0,997^{19}\times 6400\approx 6044 \;MW$$
2. D'autres lignes électriques à très haute tension, en courant continu, sont en cours d'étude. On souhaite limiter la perte de puissance électrique à 7 $\,\%$ sur ces lignes.
   1. La ligne Xiangjiaba--Shanghai répond-t-elle à cette contrainte ?
   La perte de puissance est $100-\dfrac{6044}{6400}\approx 5,6\%$.
   La ligne Xiangjaba -Shangaï répond à cette contrainte !
   2. Déterminer, à cent kilomètres près, la longueur maximale d'une ligne à très haute tension en courant continu pour laquelle la perte de puissance reste inférieure à 7 $\,\%$.
   On cherche le plus grand entier $n$ tel que $1-\dfrac{0,997^n\times 6400}{6400}\leq 0,07$
   $$\begin{array}{lll} 1-\dfrac{0,997^n\times 6400}{6400}\leq 0,07 &\Leftrightarrow 0,997^n \geq 0,93 \;&\\ & \Leftrightarrow \ln \left (0,997^n\right ) \geq \ln(0,93) & \text{ On applique la fonction } \ln \\ &&\text{ strictement croissante sur } ]0;+\infty[ :\\ & \Leftrightarrow n\ln \left (0,997 \right ) \geq \ln(0,93)&\\ & \Leftrightarrow n\ln \leq \dfrac{\ln(0,93)}{\ln \left (0,997 \right ) }& \text{ en effet } 0,997 < 1 \text{donc } \ln \left (0,997 \right ) < 0 \\ \end{array}$$ $$\dfrac{\ln(0,93)}{\ln \left (0,997 \right ) }\approx 24,15$$ $n=24$ et donc
   à cent kilomètres près, 2400 km est la longueur maximale d'une ligne pour laquelle la perte de puissance reste inférieure à $7\%$