Baccalauréat STI2D Polynésie 2013 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (5 points)

Suites

On considère la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie par : \[u_{0} = 8\quad \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\:\: u_{n+1} = 0,4 u_{n} + 3.\]

1. Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. On utilise un tableur pour calculer les premiers termes de cette suite. Une copie d'écran sur laquelle les termes $u_{1}$ et $u_{2}$ ont été effacés est donnée en annexe ci-dessous.

   Annexe

   ---

   $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline &\text{A }& \text{B }\\ \hline 1 & n & u(n) \\ \hline 2 &0 &8\\ \hline 3 &1 &\\ \hline 4 &2 & \\ \hline 5 &3 &5,192\\ \hline 6 &4 &5,07681\\ \hline 7 &5 &5,03072\\ \hline 8 &6 &5,012288\\ \hline 9 &7 &5,0049152\\ \hline 10 &8 &5,00196608\\ \hline 11 &9 &5,00078643\\ \hline 12 &10 &5,00031457\\ \hline 13 &11 &5,00012583 \\ \hline 14 &12 &5,00005033\\ \hline 15 &13 &5,00002013\\ \hline 16 &14 &5,00000305\\ \hline 17 &15 &5,00000322\\ \hline 18 &16 &5,00000129\\ \hline 19 &17 &5,00000052\\ \hline 20 &18 &5,00000021 \\ \hline\end{array}$$
$u_1 = 0,4 \times 8 + 3 = 6,2$.
$u_2 = 0,4 \times 6,2 + 3 = 5,48$.
2. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B3 de la feuille de calcul afin d'obtenir les premiers termes de cette suite par recopie vers le bas ?
Dans la cellule B3, on saisit =0,4*B2+3.
3. En utilisant cette copie d'écran, que peut-on conjecturer sur la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
Il semble que la suite soit décroissante et converge vers 5.
4. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|l l|}\hline &\text{Les variables sont l'entier naturel} N \text{ et le réel } U. \\ \text{Initialisation } :& \text{Affecter à } N \text{ la valeur } 0 \\ &\text{ Affecter à } U \text{ la valeur } 8\\ \text{ Traitement :}& \text{ TANT QUE } \text{U} - 5 > 0,01 \\ & \text{ Affecter à } N \text{ la valeur } N + 1\\ & \text{ Affecter à } U \text{ la valeur } 0,4\text{U} + 3 \\ & \text{ Fin TANT QUE}\\ \text{Sortie :}&\text{ Afficher } N\\ \hline \end{array}$$ Par rapport à la suite $\left(u_{n}\right)$, quelle est la signification de l'entier N affiché ?
L'entier N représente le rang de chaque terme de la suite, soit $n$.
5. On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = u_{n} - 5$. On admet que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de premier terme $v_{0} = 3$ et de raison $0,4$.
   1. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
   Puisque $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique $v_n = v_0 \times q^n = 3 \times 0,4^n$.
   2. Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$.
   Comme $0 < 0,4 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,4^n = 0$. Donc la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$ est égale à $0$.
   3. Le résultat précédent permet-il de valider la conjecture faite à la question 3 ? Pourquoi ?
   Puisque $v_n = u_n - 5$ et que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = \displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n - 5 = 0$, on a donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 5$. La conjecture faite à la question 3 est validée.