Baccalauréat STI2D NOUVELLE CALÉDONIE Mars 2014 2013 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (4 points)

Probabilités

Un groupe agricole vend des sachets de graines donnant des plantes résistantes aux maladies. Le directeur de ce groupe affirme que 92 $\, \%$ des sachets sont efficaces et donnent des plantes résistantes. Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à $10^{-2}$ près.

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1. On prélève au hasard un échantillon de 100 sachets.
   1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 $\, %$ de la fréquence de sachets efficaces sur un échantillon de taille 100.

   La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
   Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

   En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$

   
   L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

   $$I_{100}\approx\left[ 0.87 ~;~ 0.97 \right]$$
   2. Dans le prélèvement de 100 sachets, 88 donnent des plantes résistantes. Peut-on rejeter l'hypothèse du directeur ?
   Dans le prélèvement de $100$ sachets, $88$ donnent des plantes résistantes. Nous pouvons accepter l'hypothèse du directeur car dans ce lot, la fréquence de plantes résistantes $f=\dfrac{88}{100}=0,88$ appartient à l'intervalle de fluctuation.
2. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 100 sachets, associe le nombre de sachets donnant des plantes résistantes. On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0,92$.
   1. Déterminer l'espérance et l'écart type de $X$ (arrondi à 0,01 près).
   Puisque la variable suit une loi binomiale $\mathcal{B}(100,0.92)$ l'espérance de $X$ vaut $np$ et l'écart type de $X$ vaut $\sqrt{np(1-p)}$
   (arrondi à $0,01$ près), on a
   $E(X)=100\times 0.92 =92 \quad \sigma(X)=\sqrt{100\times 0.92 \times 0.08 }\approx \ 2.71 $.
   2. La variable aléatoire $X$ peut être approchée par la variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance 92 et d'écart type 2,7. En utilisant la variable aléatoire $Y$, calculer la probabilité que le nombre de sachets donnant des plantes résistantes soit compris entre 89 et 94, c'est-à-dire calculer $P(89 \leqslant Y \leqslant 94)$.

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$