Baccalauréat STI2D NOUVELLE CALÉDONIE Mars 2014 2013 - Exercice 2

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Exercice 2 4 points

Probabilités

Un groupe agricole vend des sachets de graines donnant des plantes résistantes aux maladies. Le directeur de ce groupe affirme que 92 $\, \%$ des sachets sont efficaces et donnent des plantes résistantes. Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à $10^{-2}$ près.

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1. On prélève au hasard un échantillon de 100 sachets.
   1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 $\, %$ de la fréquence de sachets efficaces sur un échantillon de taille 100.
   2. Dans le prélèvement de 100 sachets, 88 donnent des plantes résistantes. Peut-on rejeter l'hypothèse du directeur ?
2. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 100 sachets, associe le nombre de sachets donnant des plantes résistantes. On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0,92$.
   1. Déterminer l'espérance et l'écart type de $X$ (arrondi à 0,01 près).
   2. La variable aléatoire $X$ peut être approchée par la variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance 92 et d'écart type 2,7. En utilisant la variable aléatoire $Y$, calculer la probabilité que le nombre de sachets donnant des plantes résistantes soit compris entre 89 et 94, c'est-à-dire calculer $P(89 \leqslant Y \leqslant 94)$.