Rédigé par Luc Giraud le . Publié dans Cours en TS.

Fonction exponentielle

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Étude de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$, et $exp'(x)=exp(x)>0$ pour tout $x$ réel. \[\begin{array}{|c|lcr|} \hline x &-\infty & &+\infty\\ \hline & & &+\infty\\ exp & &\nearrow & \\ &0 & & \\ \hline \end{array}\]
  • $e^0=1$
  • ROC : $\lim\limits_{x\to +\infty} e^x=+\infty$
  • ROC : $\lim\limits_{x\to -\infty}e^x=0$

    •  

    Remarque : La tangente $\mathcal T$ au point $(0\,;1)$ à la courbe $\mathcal C_{exp}$ a pour équation $y=exp'(0)(x-0)+exp(0)$ donc $y=x+1$, $\mathcal T$ est sous $\mathcal C_{exp}$ sauf au point de contact $(0\,;1)$.


    Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},~x\mapsto \dfrac{1}{e^x+1}$. Tableau de variations complet
    Remarque : Comme $exp~\nearrow$, pour $a,b\in\mathbb{R}$ : $e^a=e^b\Leftrightarrow a=b$ et $e^a < e^b \Leftrightarrow a<b$

    Résoudre $e^{2x}+e^x-2=0$

     

    Croisssance comparée et limite remarquable


  • $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty$
  • $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty~(n\in\mathbb{N})$ (croissance comparée)
  • $\lim\limits_{x\to-\infty}xe^x=0$
  • $\lim\limits_{x\to-\infty}x^ne^x=0~(n\in\mathbb{N})$(croissance comparée)
  • $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}x=1$ (taux d'accroissement en 0)

    •  

    Hors programme : unicité par la relation fonctionnelle

    La fonction exponentielle est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(0)=1$ et $f(x)f(y)=f(x+y)$ pour tous réels $x,y$.

    La fonction exponentielle vérifie l'équation fonctionnelle, et $exp'(0)=exp(0)=1$ par définition. On fixe $y\in\mathbb{R}$. Si $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifie $f(x)f(y)=f(x+y)$, en dérivant par rapport à $x$ on trouve : $f'(x)f(y)=f'(x+y)$ (le membre de droite est la composée de $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ et de la fonction affine de coefficient directeur $1$ : $x\mapsto x+y$). En choisissant $x=0$, il vient $f'(0)f(y)=f'(y)\Leftrightarrow f(y)=f'(y)$ pour tout $y\in\mathbb{R}$. Or $f(0)=f'(0)=1$ : par unicité de la fonction exponentielle, $f=exp$. $\square$.

    Hors programme : équations différentielles

    Une \emph{équation différentielle} est une équation liant la variable $x$, une fonction inconnue $y$ et ses dérivées successives $y',y'',...,y^{(n)}$ sur un intervalle donnée.


    Résoudre l'équation différentielle (sur $\mathbb{R}$) : $y'=0$ \dotfill \medskip Résoudre l'équation différentielle (sur $\mathbb{R}$) : $y'=y$ et $y(0)=1$.

    Les solutions sur $\mathbb{R}$ de $y'=ay$ ($a\in\mathbb{R}$) sont les $y:x\mapsto Ce^{ax}$ pour $C\in\mathbb{R}$.

    On vérifie que $x\mapsto Ce^{ax}$ est solution. Pour prouver que ce sont les seules on dérive $x\mapsto y(x)e^{-ax}$ où $y$ est solution.

    On trouve $0$ donc $y(x)e^{-ax}=C$ d'où $y(x)=Ce^{ax}$.

     

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