Fonction exponentielle

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Propriétés algébriques

ROC  Pour tous $x,y$ réels, $exp(x+y)=exp(x)exp(y)$ 

on fixe $y\in\mathbb{R}$ et on considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\displaystyle f(x)=\frac{exp(x+y)}{exp(y)}$.
On remarque que $\displaystyle f(0)=\frac{exp(0+y)}{exp(y)}=1$ et que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et pour $x\in\mathbb{R}$, $\displaystyle f'(x)=\frac{1}{exp(y)}\times1\times exp(x+y)=f(x)$.

Par unicité : $\displaystyle f(x)=exp(x)= \frac{exp(x+y)}{exp(y)}$. 

Pour tout $x\in\mathbb{R}$ et tout $n\in\mathbb Z$, $exp(nx)=exp(x)^n$ 

montrons par récurrence sur $n\in\mathbb{N}$ la propriété $exp(nx)=exp(x)^n $
$\star~$ initialisation : $exp(0)=1=exp(x)^0$ : la propriété est vraie au rang $0$.
$\star~$ hérédité : on suppose la propriété vraie au rang $n$ : $exp(nx)=exp(x)^n$.
On a : $exp(x)^{n+1}=exp(x)^n exp(x)=exp(nx)exp(x)=exp((n+1)x)$

donc la propriété est vraie au rang $n+1$

conclusion : la propriété est vraie pour $n\in\mathbb{N}$. On l'étend à $n\in\mathbb {Z}$ en remarquant que $exp(-nx)=\displaystyle\frac{1}{exp(nx)}=\frac{1}{exp(x)^n}=exp(x)^{-n}$. 

 

Remarque : On a donc $e^n=exp(1)^n=exp(n)$. Par analogie, on note $exp(x)=e^x$ pour tout réel $x$, notation cohérente du fait que la fonction exponentielle possède les mêmes propriétés algébriques (transformation de la somme en produit) que les puissances. 

 

Pour tous $x,y$ réels et tout $n\in\mathbb{Z}$, on a :
  1. $e^0=1$
  2. $e^{x+y}=e^x\times e^y$ 
  3. $e^{-x}=\dfrac 1{e^x}$ 
  4. $e^{x-y}=\dfrac{e^x}{e^y}$ 
  5. $e^{nx}=(e^x)^n$ 
  6. $ e^{\frac x2}=\sqrt{e^x}$ 
  7. $e^{x}>0$ 


Simplifier $\dfrac{(e^3)^8}{e^2\times e^{-6}}$
Pourquoi $exp$ est-elle strictement croissante ?

Résoudre $e^{2-x}=1$

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