Fonction exponentielle

Définition et premières propriétés

Il existe une unique fonction $exp$,  définie et dérivable sur $\mathbb{R}$,  telle que $exp'=exp$ et $exp(0)=1$.
Cette fonction est la fonction exponentielle . Plus tard, on notera $exp(x)=e^x$.

 

Remarque : On a donc $exp'=exp$ et $exp(0)=1$. L'existence est admise.
(on a tracé la courbe de la fonction exponentielle par la méthode d'Euler TP info ... ).
Pour démontrer le théorème on s'appuie sur :

 

Lemme : Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$. La fonction $exp(u)$ est dérivable sur $I$ de dérivée $exp(u)'=u'exp(u)$.

(Preuve du lemme ) $exp(u)$ est une fonction composée de la forme $v\circ u$ avec $v=exp$ dérivable sur $\mathbb{R}$ et $u$ dérivable sur $I$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$.
Par le théorème de dérivation des fonctions composées, $exp(u)$ est dérivable sur $I$ de dérivée : $exp(u)'=u'\times v'\circ u=u'\times exp(u)$

Pour tout $x\in\mathbb{R},~exp(x)exp(-x)=1$ donc $exp(x)\neq 0$.

 Considérons la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=exp(x)exp(-x)$.

La fonction $x\mapsto -x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, d'après le lemme , $v:x\mapsto exp(-x)$ est aussi dérivable sur $\mathbb{R}$ de dérivée donnée par $v'(x)=-1\times exp'(-x)=-exp(-x)$ pour $x\in\mathbb{R}$.
Comme produit de $exp$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$, la fonction $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x\in\mathbb{R}$ :
$h'(x)=exp'(x)v(x)+v'(x)exp(x)=exp(x)exp(-x)-exp(-x)exp(x)=0$,
donc $h$ est constante égale à $h(0)=exp(0)exp(-0)=1$.

D'où $h(x)=1$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.

En conclusion, pour tout $x\in\mathbb{R},~exp(x)exp(-x)=1$ donc $exp(x)\neq 0$.

ROC (de l'unicité dans le théorème ) Soit $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ et vérifiant $f'=f$ et $f(0)=1$.
On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{exp(x)}\]
La fonction $g$ est bien définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, puisque $exp$ ne s'annule pas .

\[\text{Pour tout }x\in\mathbb{R},~ g'(x)=\frac{f'(x)exp(x)-exp'(x)f(x)}{exp(x)^2}=\frac{f(x)exp(x)-exp(x)f(x)}{exp(x)^2}=0\]

donc $g$ est constante égale à $g(0)=\frac{f(0)}{exp(0)}=1$.

D'où pour tout $x\in\mathbb{R},~f(x)=exp(x)$.

Ainsi, $exp$ est la seule fonction à satisfaire $exp'=exp$ et $exp(0)=1$.

On définit le nombre $e$ par $e=exp(1)\approx 2{,}718$ .


Soient $ch$ ( cosinus hyperbolique ) et $sh$ ( sinus hyperbolique ) définies sur $\mathbb{R}$ par $\displaystyle ch(x)=\frac{exp(x)+exp(-x)}2$ et $\displaystyle sh(x)=\frac{exp(x)-exp(-x)}2$. Montrer $ch'=sh$ et $sh'=ch$.


 

 

Propriétés algébriques

ROC  Pour tous $x,y$ réels, $exp(x+y)=exp(x)exp(y)$ 

on fixe $y\in\mathbb{R}$ et on considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\displaystyle f(x)=\frac{exp(x+y)}{exp(y)}$.
On remarque que $\displaystyle f(0)=\frac{exp(0+y)}{exp(y)}=1$ et que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et pour $x\in\mathbb{R}$, $\displaystyle f'(x)=\frac{1}{exp(y)}\times1\times exp(x+y)=f(x)$.

Par unicité : $\displaystyle f(x)=exp(x)= \frac{exp(x+y)}{exp(y)}$. 

Pour tout $x\in\mathbb{R}$ et tout $n\in\mathbb Z$, $exp(nx)=exp(x)^n$ 

montrons par récurrence sur $n\in\mathbb{N}$ la propriété $exp(nx)=exp(x)^n $
$\star~$ initialisation : $exp(0)=1=exp(x)^0$ : la propriété est vraie au rang $0$.
$\star~$ hérédité : on suppose la propriété vraie au rang $n$ : $exp(nx)=exp(x)^n$.
On a : $exp(x)^{n+1}=exp(x)^n exp(x)=exp(nx)exp(x)=exp((n+1)x)$

donc la propriété est vraie au rang $n+1$

conclusion : la propriété est vraie pour $n\in\mathbb{N}$. On l'étend à $n\in\mathbb {Z}$ en remarquant que $exp(-nx)=\displaystyle\frac{1}{exp(nx)}=\frac{1}{exp(x)^n}=exp(x)^{-n}$. 

 

Remarque : On a donc $e^n=exp(1)^n=exp(n)$. Par analogie, on note $exp(x)=e^x$ pour tout réel $x$, notation cohérente du fait que la fonction exponentielle possède les mêmes propriétés algébriques (transformation de la somme en produit) que les puissances. 

 

Pour tous $x,y$ réels et tout $n\in\mathbb{Z}$, on a :
  1. $e^0=1$
  2. $e^{x+y}=e^x\times e^y$ 
  3. $e^{-x}=\dfrac 1{e^x}$ 
  4. $e^{x-y}=\dfrac{e^x}{e^y}$ 
  5. $e^{nx}=(e^x)^n$ 
  6. $ e^{\frac x2}=\sqrt{e^x}$ 
  7. $e^{x}>0$ 


Simplifier $\dfrac{(e^3)^8}{e^2\times e^{-6}}$
Pourquoi $exp$ est-elle strictement croissante ?

Résoudre $e^{2-x}=1$


 

Étude de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$, et $exp'(x)=exp(x)>0$ pour tout $x$ réel. \[\begin{array}{|c|lcr|} \hline x &-\infty & &+\infty\\ \hline & & &+\infty\\ exp & &\nearrow & \\ &0 & & \\ \hline \end{array}\]
  • $e^0=1$
  • ROC : $\lim\limits_{x\to +\infty} e^x=+\infty$
  • ROC : $\lim\limits_{x\to -\infty}e^x=0$
  •  

    Remarque : La tangente $\mathcal T$ au point $(0\,;1)$ à la courbe $\mathcal C_{exp}$ a pour équation $y=exp'(0)(x-0)+exp(0)$ donc $y=x+1$, $\mathcal T$ est sous $\mathcal C_{exp}$ sauf au point de contact $(0\,;1)$.


    Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},~x\mapsto \dfrac{1}{e^x+1}$. Tableau de variations complet
    Remarque : Comme $exp~\nearrow$, pour $a,b\in\mathbb{R}$ : $e^a=e^b\Leftrightarrow a=b$ et $e^a < e^b \Leftrightarrow a<b$

    Résoudre $e^{2x}+e^x-2=0$

     

    Croisssance comparée et limite remarquable


  • $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty$
  • $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty~(n\in\mathbb{N})$ (croissance comparée)
  • $\lim\limits_{x\to-\infty}xe^x=0$
  • $\lim\limits_{x\to-\infty}x^ne^x=0~(n\in\mathbb{N})$(croissance comparée)
  • $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}x=1$ (taux d'accroissement en 0)
  •  

    Hors programme : unicité par la relation fonctionnelle

    La fonction exponentielle est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(0)=1$ et $f(x)f(y)=f(x+y)$ pour tous réels $x,y$.

    La fonction exponentielle vérifie l'équation fonctionnelle, et $exp'(0)=exp(0)=1$ par définition. On fixe $y\in\mathbb{R}$. Si $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifie $f(x)f(y)=f(x+y)$, en dérivant par rapport à $x$ on trouve : $f'(x)f(y)=f'(x+y)$ (le membre de droite est la composée de $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ et de la fonction affine de coefficient directeur $1$ : $x\mapsto x+y$). En choisissant $x=0$, il vient $f'(0)f(y)=f'(y)\Leftrightarrow f(y)=f'(y)$ pour tout $y\in\mathbb{R}$. Or $f(0)=f'(0)=1$ : par unicité de la fonction exponentielle, $f=exp$. $\square$.

    Hors programme : équations différentielles

    Une \emph{équation différentielle} est une équation liant la variable $x$, une fonction inconnue $y$ et ses dérivées successives $y',y'',...,y^{(n)}$ sur un intervalle donnée.


    Résoudre l'équation différentielle (sur $\mathbb{R}$) : $y'=0$ \dotfill \medskip Résoudre l'équation différentielle (sur $\mathbb{R}$) : $y'=y$ et $y(0)=1$.

    Les solutions sur $\mathbb{R}$ de $y'=ay$ ($a\in\mathbb{R}$) sont les $y:x\mapsto Ce^{ax}$ pour $C\in\mathbb{R}$.

    On vérifie que $x\mapsto Ce^{ax}$ est solution. Pour prouver que ce sont les seules on dérive $x\mapsto y(x)e^{-ax}$ où $y$ est solution.

    On trouve $0$ donc $y(x)e^{-ax}=C$ d'où $y(x)=Ce^{ax}$.

     


    Exercices


    Exercice 01
    Écrire plus simplement : \[\begin{array}{l lll} \text{a.} ~ :~ e^{ 2x }\times e^{1-2x} .& \text{b.}~ :~ \dfrac{e^{2x+3}}{e^{x+1}}. & \text{c.}~ :~ (e ^x + e^{-x})^2.& \text{d.}~ :~e^{-2x}-\dfrac{e^{2x }+1}{e^{2x }}\\ \end{array}\]
    Exercice 02
    Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\left (\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right )^2-\left (\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\right )^2 $.
    Montrer que $f$ est une fonction constante sur $\mathbb{R}$ .
    Exercice 03
    On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x )= x -\dfrac{e^x-1}{e^x+1}$ .

    Vérifier que pour tout réel $x : f( x)= x -\dfrac{1-e^{-x}}{ 1+e^{-x}}$ puis que $f(x)=x-1+\dfrac{2}{e^x+1}$

    $f(x)=x-1+\dfrac{2e^x}{e^x+1}$ et $f(x)=x+1-\dfrac{2}{e^{-x}+1}$

    Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ , vérifier que :$f'(x)=\dfrac{e^{2x}+1}{(e^x+1)^2}=\dfrac{1+e^{-2x} }{(e^{-x}+1)^2}$
    Exercice 04
    Démontrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$, on a : $e^x-x-1\geq 0$.
    Exercice 05
    Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :$$\begin{array}{ll} \text{a.} ~ :~ e^{2x}-1 > 0 .& \text{b.}~ :~ \dfrac{e^x+3}{e^x+2}>2.\\   \text{c.}~ :~ e ^x - e^{2x}>0.& \text{d.}~ :~e^{2x+5}<e^{1-x}\end{array}$$

     


    Exercice 06

    Déterminer les limites suivantes : \[\begin{array}{l ll } \text{a.} ~ :~ \lim\limits_{x\to +\infty} e^{ x^2-3x+5 } .& \text{b.}~ :~ \lim\limits_{x\to -\infty} e^{ x^2-3x+5 }. & \text{c.}~ :~ \lim\limits_{x\to +\infty} 2+3e^{ 1-x^2 }.\\ \text{d.}~ :~\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{e^{ x }-3}{e^{ x }+2}.&\text{e.}~ :~\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{e^{ x }+1}{e^{2x } }\\ \end{array}\] Exercice 07

    Déterminer les limites suivantes : \[\begin{array}{l llll } \text{a.} ~ :~ \lim\limits_{x\to +\infty} 3xe^{-x } .& \text{b.}~ :~ \lim\limits_{x\to -\infty} (x+1)e^{x }. & \text{c.}~ :~\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{2e^{ x }-5}{3x }. &\text{d.}~ :~\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{e^{ x }-1}{x^3 }.&\text{e.}~ :~\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{e^{ x }+e^{ -x }}{3+e^{x } }\\ \end{array}\]

    Exercice 08

    Soit $\mathcal{C}$ la courbe de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $fx)= 3x-1+\dfrac{e^{ x } }{e^{ x }+1 }$.\\ Démontrer que $\mathcal{C}$ a deux asymptotes obliques dont on donnera une équation.

    Exercice 09

    Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes : \[\begin{array}{l llll } \text{a.} ~ :~ e^{2x+1}-1=0 .& \text{b.}~ :~ e^{x+1}-e^{2x-3}=0. & \text{c.}~ :~e^{x-1}\times e^{3x+5}=1. &\text{d.}~ :~ e^{2x}+e^{x}-2=0.&\text{e.}~ :~ \dfrac{2e^{ x }+1}{ e^{x } }=2e^3+e^{-x}\\ \end{array}\]

    Exercice 10

    Justifier que chacune des fonctions est dérivable sur $\mathbb{R}$ , calculer la dérivée et étudier le signe de cette dérivée.
    \[\begin{array}{l lll } \text{a.} ~ :~ f(x)=e^{2x^2+1} .& \text{b.}~ :~ g(x)=f(x)=(2x+1)e^{2x +1}. & \text{c.}~ :h(x)=\dfrac{e^{ x }+e^{ -x }}{2 }. &\text{d.}~ :~ k(x)=\dfrac{3e^{ x }}{e^{ 2x }+1 }. \\ \end{array}\]

    Exercice 11

    1. Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{e^{ 2x }-1}{e^{ 2x }+1 }$.
    2. Dresser son tableau de variations. Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ .
    3. Donner l'équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0. Tracer $\mathcal{C}$ et $T$.
    4. Démontrer que l'équation $f(x)=\dfrac{1}{2}$ a une solution unique $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ . Donner une valeur approchée de $\alpha$ .

     

    Exercice 12
    Prérequis : la fonction exponentielle, notée exp, a les trois propriétés suivantes :

     

    1. exp est une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ ;
    2. sa fonction dérivée, notée exp$'$, est telle que, pour tout nombre réel $x$, exp$'(x)$ = exp($x$) ;
    3. exp($0$) = $1$.

    En n'utilisant que ces trois propriétés de la fonction exp, démontrer successivement que

    • Pour tout nombre réel $x,~ \text{exp}(x) \times \text{exp}(- x) = 1$ ;
    • pour tout nombre réel $a$ et tout nombre réel $b,~ \text{exp}(a + b) = \text{exp}(a) \times \text{exp}(b)$.


    Exercice 13
    La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $\begin{cases} f(x)=exp\pa{\frac{x-1}{x^2}}\quad\text{si } x\neq 0\\ f(x)=a \quad\text{si } x=0\end{cases}$

    1. Rappelez la définition d'une fonction continue en zéro.
    2. Existe-t-il une valeur de $a$ telle que $f$ soit continue en zéro~?
    3. Sachant que $\lim\limits{+\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty$, montrez que $\lim\limits{-\infty}xe^x=0$.
    4. Rappelez la définition d'une fonction dérivable en zéro.
    5. La fonction $f$ est-elle dérivable en zéro~?
    6. Calculez $f'(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}^*$. La fonction $f'$ est-elle continue en zéro~?
    7. Déterminez une fonction définie sur $\mathbb{R}$ de la forme $\begin{cases} f(x)=u(x)exp\pa{v(x)}\quad\text{si } x\neq 0\\ f(x)=a \quad\text{si } x=0\end{cases}$ telle que $f$ soit continue en zéro mais pas dérivable en zéro.
      Vous expliquerez au maximum les raisons qui vous ont conduit à chercher $u(x)$ et $v(x)$ sous une forme plutôt qu'une autre. toout raisonnement sera évalué même s'il n'aboutit pas à une solution explicite.


    Exercice 14
    Le plan est rapporteacute; à un repère orthonormal. \noindent Soit $f$ la fonction deacute;finie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x) = \cfrac{1}{2}\text{e}^{2x} - 2,1\text{e}^{x} + 1,1x + 1,6\]

    1. Faites apparaître sur l'eacute;cran de votre calculatrice graphique la courbe repreacute;sentative de cette fonction dans la fenêtre $- 5 \leqslant x \leqslant 4,~ -4 \leqslant y \leqslant 4$. \noindent Reproduire l'allure de la courbe obtenue sur votre copie.
    2. D'après cette repreacute;sentation graphique, que pourrait-on conjecturer :
      1. Sur les variations de la fonction $f$ ?
      2. Sur le nombre de solutions de l'eacute;quation $f (x) = 0$ ?
    3. On se propose maintenant d'eacute;tudier la fonction $f$.
      1. Reacute;soudre dans $\mathbb{R}$ l'ineacute;quation $\text{e}^{2x}- 2,1\text{e}^{x} + 1,1 \geqslant 0$ (on pourra poser $X = \text{e}^{x}$).
      2. eacute;tudier les variations de la fonction $f$.
      3. Deacute;duire de cette eacute;tude le nombre de solutions de l'eacute;quation $f(x) = 0$.
    4. On veut repreacute;senter, sur l'eacute;cran d'une calculatrice, la courbe repreacute;sentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-0,05~;~ 0,15]$, de façon à visualiser les reacute;sultats de la question \textbf{3.} \noindent Quelles valeurs extrêmes de l'ordonneacute;e $y$ peut-on choisir pour la fenêtre de la calculatrice ?
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