Suites, le cours

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En conséquence, on récupère tous les théorèmes sur les règles opératoires sur les limites de fonctions.

 

 

Exemple : étudier la limite de la suite $\left( u_n \right) $ définie par : $u_n =\dfrac{5n^2-3n+1}{4n^2+1}$

Écrivons : $u_n =\dfrac{n^2\left (5-\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n}^2\right )}{n^2\left (4+\dfrac{1}{n}^2\right )}=\dfrac{5-\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n}^2}{4+\dfrac{1}{n}^2}$
Or :$ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}=0$ et $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}^2=0$
On a donc $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{n \to +\infty}~\left (5-\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n}^2\right )=5\\ \lim\limits_{n \to +\infty}~4+\dfrac{1}{n}^2=4 \end{array}\right\}$ par quotient on obtient: $\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=\dfrac{5}{4}$.

On verra justement au paragraphe 5 toutes les règles opératoires sur les limites de suites.

4.6. Remarque : autres cas de divergence

Il existe des suites divergentes qui ne divergent pas vers $+\infty$ (ou $-\infty$).

C'est par exemple le cas de : $u_n = (-1)^n$
Preuve :
On fait ici un raisonnement par l'absurde:
Supposons, au contraire, que la suite de terme général $(-1)^n$ converge vers un certain entier $l$.
Soit $I =\left]l-\dfrac{1}{2} 1; l+\dfrac{1}{2}\right[$ . $I$ est un intervalle ouvert centré en $l$.
D'après notre hypothèse, il existe un rang $N$ à partir duquel, on aura :$ (-1)^ n \in I$
Autrement dit : $- \dfrac{1}{2}<(-1)^n-l<\dfrac{1}{2}$
Or, pour $n$ pair, cela donne : $- \dfrac{1}{2}<1-l<\dfrac{1}{2}$ soit $-\dfrac{3}{2}<-l<-\dfrac{1}{2}$ puis $l \in ]\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}[$

Et pour n impair :$- \dfrac{1}{2}<-1-l<\dfrac{1}{2}$ soit $\dfrac{1}{2}<-l<\dfrac{3}{2}$ puis $l \in ]-\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2}[$
D'où une contradiction. Donc la suite considérée diverge.

Exercice : démontrer que les suites $(\sin n)$ et $(\cos n)$ divergent.
Supposons que la suite $(\cos n)$ converge vers un certain réel $l \in [-1, 1]$.
On sait que : $\cos(n + 1) = \cos n \cos 1 - \sin n \sin 1$
Les suites $(\cos(n + 1))$ et $(\cos n \cos 1)$ ont, par hypothèse, une limite.
On en déduit, par différence que la suite $(\sin n \sin 1)$ aussi.
Ayant $\sin 1$ est non nul, de $\cos(n + 1) = \cos n \cos 1 - \sin n \sin 1$ on déduit : $\sin n=(\cos n \cos 1-\cos(n+1))/(\sin 1)$ et donc la suite $(\sin n)$ converge vers un certain réel $k = (l(\cos1 -1))/(\sin 1)$.

Ce réel k est non nul car $\cos 1 \neq  1$.
En outre, on sait que : $\sin(2n) = 2 \cos n \sin n$; en passant à la limite, on aurait : $k = 2 l k$
d'où $k = 2 l k \Leftrightarrow k-2lk=0 \Leftrightarrow k(1-2l)=0$ .Et comme $k\neq 0 $: on a alors $l=\dfrac{1}{2}$

Par ailleurs, on sait que : $\cos(2n) = 2\cos^2 n - 1$; en passant à la limite, on aurait : $l =2 l^2 - 1$
On a alors $2l^2-l-1=0$; or $l_1=1$est une racine évidente de ce trinôme, et donc $l_1l_2=c/a$ donne $ l_2=-1$.

On avait obtenu par ailleurs $l=\dfrac{1}{2}$, il s'en suit une contradiction.

Les suites de terme général $\sin n$ et $\cos n$ divergent.