Suites, le cours

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4.3. Propriété

Si $\left( u_n \right) $ converge, alors $\left( u_n \right) $ est bornée.

Démonstration
Notons $l$ la limite de la suite $\left( u_n \right) $ et I l'intervalle $]l - 1, l + 1[$. $I $ est bien un intervalle ouvert centré en $l$.
Comme $\left( u_n \right) $ converge, à partir d'un certain rang $N$, tous les termes de la suite $\left( u_n \right) $ sont dans $I$.

Autrement dit : $n\geq N \Rightarrow l - 1 < u_n < l + 1$
· Si $N = 0$, alors c'est fini, $\left( u_n \right) $ est bornée par les réels $l - 1$ et $l + 1$.
· Si $N\geq 1$, alors notons$ A$ l'ensemble ${u_0, ... , u_{N-1}, l - 1, l + 1}, M$ le plus grand élément de $A$ et $m$ son plus petit élément. Ainsi $\left( u_n \right) $ est bornée par les réels $m$ et $M$.