Suites, le cours
2.2. Techniques d'étude de la monotonie d'une suite :
2.2.1. Technique fonctionnelle :
utilisable pour les suites du type $u_n = f(n)$.
Théorème Où l'on utilise le sens de variation de la fonction associée :
Soit $\left( u_n \right) $ la suite définie par $u_n = f(n)$ où $f$ est une fonction définie sur un intervalle du type $[a ; +\infty[$ où $ a \in \mathbb{R}^+$.
Si la fonction $f$ est monotone sur $[a ; +\infty[$ alors la suite $\left( u_n \right) $ est monotone à partir du rang $E(a) + 1$ ; et possède le même sens de variation que $f$.
Démonstration : Supposons $f$ croissante sur $[a ; +\infty[$. (Les autres cas se prouvent de manière analogue) Soit $n \in [E(a) + 1 ; +\infty[ $ . Comme $f$ est croissante sur $[E(a) + 1 ; +\infty[ $, on a alors : $ u_{n+1} - u_n = f(n + 1) - f(n)\geq 0$.
Donc $\left( u_n \right) $ est croissante sur $[E(a) + 1 ; +\infty[ $. De même, la stricte monotonie de $f$ entraîne celle de $\left( u_n \right) $.
Exemple 1 : soit $\left( u_n \right) $ la suite définie, pour $n\geq 1$, par : $un =\cos\left(\dfrac{\pi}{n} \right)$. Notons $f$ la fonction définie sur $[1 ; +\infty[$ par :$f(x) =\cos\left(\dfrac{\pi}{x} \right)$.
La fonction $f$est dérivable sur $[1 ; +\infty[$ et on a : $f'(x) =\dfrac{\pi}{x^2} \sin \left(\dfrac{\pi}{x} \right)$.
On rappelle que $(\cos(u))'=-u'\sin(u)$.
Or, pour tout $x \in [1 ; +\infty[$, on a : $ \dfrac{\pi}{x} \in ]0 ; \pi]$ .
Et donc : $ \sin \left(\dfrac{\pi}{x} \right) \geq 0$ D'où : $f'(x)\geq 0$; donc $f$ est croissante sur $[1 ; +\infty[. $
En conséquence, la suite $\left( u_n \right) $ est croissante pour $n\geq 1$.
Exemple 2 : $u_n =\dfrac{2n^2+1}{n^2+5}$ .
Considérons la fonction $f$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{2x^2+1}{x^2+5}$.
La fonction $f$ est dérivable sur $[0 ; +\infty[$ et : $f '(x) =\dfrac{(4x)(x^2+5)-2x(2x^2+1)}{(x^2+5)^2} =\dfrac{18x }{(x^2+5)^2} $. Déjà le dénominateur étant un carré, il est strictement positif, donc $f '(x)$ a le signe du numérateur; comme on travaille sur $[0;+\infty[$ on a $f'(x)\geq 0$ .
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$,il en découle la conclusion:
La suite $\left( u_n \right) $ est donc strictement croissante.
2.2.2. Techniques algébriques
C'est l'utilisation pure et simple de la définition :
$\left( u_n \right) $ est croissante à partir du rang $n_0 \Leftrightarrow $ pour tout $n\geq n_0$ on a $u_{n+1} - u_n\geq 0$.
Exemple 1 : $u_n = 2n + \sin n$
Étudions, pour tout entier $n$, le signe de la différence de deux termes consécutifs :
$u_{n+1} - u_n = 2(n + 1) + \sin(n + 1) - 2n - \sin n = 2 + \sin(n + 1) - \sin n$
Or : $-1\leq \sin(n + 1)\leq 1 $et $-1 \leq -\sin n\leq 1$
En ajoutant membre à membre : $-2 \leq \sin(n + 1) - \sin n \leq 2$
Par conséquent : $u_{n+1} - u_n\geq 0$
La suite $\left( u_n \right) $ est donc croissante.
Variante : soit $\left( u_n \right) $ une suite à termes STRICTEMENT POSITIFS.
Si, pour tout entier $n$, $ \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1$ alors la suite $\left( u_n \right) $ est croissante.
Si, pour tout entier $n$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1$ alors la suite $\left( u_n \right) $ est décroissante.
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