Suites, le cours

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Exemple 2 : $u_n = \dfrac{2^n}{n^2}$ pour $n\geq 1$.
La suite $\left( u_n \right) $ à termes STRICTEMENT POSITIFS.
Évaluons, pour tout $n\geq 1$, la situation du quotient de deux termes consécutifs par rapport à 1 :
$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)^2}\times \dfrac{n^2}{2^n}=\dfrac{2n^2}{(n+1)^2}$.
Recherchons s'il existe des valeurs de l'entier $n$ pour lesquelles le quotient ci-dessus est supérieur à 1 :
$ \dfrac{u_{n+1}}{u_n}\geq 1 \Leftrightarrow \dfrac{2n^2}{(n+1)^2}\geq 1 $ (1)

 

(1) $\Leftrightarrow 2n^2\geq (n+1)^2$ en effet , ici $n \in \mathbb{N}^{\star}$ donc $(n+1)^2>0$

(1) $n^2-2n-1\geq 0$

On calcule alors les racines du trinôme $n^2-2n-1$:

$\Delta= b^2-4ac=8$, et donc les racines de ce trinôme sont :$$n_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{2-2\sqrt 2}{2}=1-\sqrt 2 \text{ et } n_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =1+\sqrt 2.$$

Le trinôme étant du signe de $a$ à l'extéreur des racines et de celui de $-a$ à 'inérieur, on déduit:

$ \dfrac{u_{n+1}}{u_n}\geq 1 \Leftrightarrow n\geq 1+\sqrt 2 $ et comme $1+\sqrt 2 \approx 2.42$ , on a $ \dfrac{u_{n+1}}{u_n}\geq 1 \Leftrightarrow n\geq 3$

La suite $\left( u_n \right) $ est croissante pour $n\geq 3$.
Note : si l'on a pronostiqué le résultat (avec une calculatrice par exemple), on peut alors rédiger une solution
plus courte : pour $n > 3$, on a :$ \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2n^2}{(n+1)^2}=2\left (\dfrac{n}{n+1}\right )^2$

Or si $n\geq 3$ alors $\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{1}{3}$
En effet : $x\mapsto \dfrac{1}{x} $ est srtictement déctoissante sur $]0;+\infty[$;

puis $1+\dfrac{1}{n}\leq 1+\dfrac{1}{3}$ soit $\dfrac{n+1}{n}\leq \dfrac{4}{3}$
puis par passage à l'inverse $ \dfrac{n}{n+1}\geq \dfrac{3}{4}$,
en élévant au carrré $x\mapsto x^2$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$,
on a donc : $\left (\dfrac{n}{n+1}\right )^2\geq \dfrac{9}{16} $ puis en multipliant par $2$ qui est strictement psitif ;
il vient : $ 2\times \left (\dfrac{n}{n+1}\right )^2\geq \dfrac{18}{16}$; et donc $ \dfrac{u_{n+1}}{u_n}\geq 1$.

Exemple 3 : cas d'une suite définie par une somme : $u_n=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\ldots \ldots+\dfrac{1}{n}^2$ pour tout $n \in \mathbb{N}^{\star}$

On a, pour tout $n \in \mathbb{N}^{\star} : u_{n+1} - u_n = 1/ (n +1)^2$
Donc pour tout $n \in \mathbb{N}^{\star}: u_{n+1} - u_n > 0$
Donc ($u_n)$ est strictement croissante.