Enoncé On fait tourner une roue comportant 12 secteurs de même taille numérotés de 1 à 12. Les secteurs portant un numéro pair sont de couleur jaune, les secteurs portant un numéro multiple de trois et impair sont de couleur verte et les autres secteurs sont rouges. Si la roue s'arrête sur un secteur de couleur verte on tire un billet de loterie dans une urne A. Dans les autres cas, on tire un billet de loterie dans une urne B. Dans l'urne A un billet sur 4 est gagnant alors que dans l'urne B seulement un billet sur 20 est gagnant. Calculer la probabilité d'obtenir un billet gagnant.
La situation est représentée par l'arbre pondéré ci dessous:
Sachant que la roue comporte deux secteurs verts et 10 secteurs qui ne sont pas verts, la probabilité qu'elle s'arrête sur un secteur vert et par conséquent que le billet soit tiré dans l'urne A est $P(A)=2/12=1/6$.
La probabilité que le billet soit tiré dans l'urne B est alors : $P(B)=P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$.
Sachant que la roue s'est arrêtée sur un secteur vert donc que le billet est tiré dans l'urne A, la probabilité qu'il soit gagnant est alors
$P_G(A)=1/4$.
La probabilité qu'il soit perdant est alors $P_A(P)=P_A(\bar{G})=1-1/4=3/4$.
Sachant que la roue s'est arrêtée sur un secteur qui n'est pas vert et donc que le billet est tiré dans l'urne B, la probabilité qu'il soit gagnant est alors:
$P_B(G)=1/20$.
La probabilité qu'il soit perdant est alors $P_B(P)=P_B(\bar{G})=1-1/20=19/20$.
On peut remarquer que sur chacune des branches de niveau 1 figurent les probabilités de A et de B, et sur chacune des branches de niveau 2 figurent des probabilités conditionnelles sachant que A est réalisé ou sachant que B est réalisé. On peut calculer dans chacun des quatre cas les probabilités des intersections en utilisant la définition des probabilités conditionnelles. La probabilité d'obtenir un billet gagnant est alors :
Enoncé On considère le jeu suivant: On jette une première fois une pièce de monnaie ; si on obtient face, on gagne 4 euros et le jeu s'arrête ; si on obtient pile, on gagne 1 euro et le jeu se poursuit ; on jette alors une deuxième fois la pièce ; si on obtient face on gagne 2 euros et le jeu s'arrête ; si on obtient pile on gagne 1 euro et le jeu se poursuit ; on jette alors une troisième et dernière fois la pièce ; si on obtient face, on gagne 2 euros ; si on obtient pile, on gagne 1 euro. Représenter le jeu par un arbre pondéré. Quelle est la probabilité d'avoir obtenu 4 euros à la fin du jeu ?
En utilisant les propriétés des arbres pondérés; on rapelle les deux règles
Règle 1: La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités marquées sur ses branches. Règle 2: La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui conduisent à cet événement .
Enoncé On soumet, à la naissance, une population d'enfants à un test pour dépister la présence d'un caractère génétique A. La probabilité qu'un enfant ayant le caractère $A$ ait un test positif est 0,99. La probabilité qu'un enfant n'ayant pas le caractère $A$ ait un test négatif est 0,98.
On utilise le test avec une population pour laquelle des études statistiques ont montré qu'un enfant sur 1000 était porteur du caractère A. Représenter la situation par un arbre pondéré. Déterminer la probabilité qu'un enfant pris au hasard dans la population étudiée ait un test positif. Déterminer la probabilité qu'un enfant ayant un test positif soit porteur du caractère $A$. Donner une valeur approchée de ce résultat en pourcentage avec une décimale.
On utilise le test avec une population pour laquelle des études statistiques ont montré qu'un enfant sur 100 était porteur du caractère $A$. Déterminer la probabilité qu'un enfant ayant un test positif soit porteur du caractère $A$. Donner ce résultat en pourcentage avec une décimale.
On utilise le test avec une population pour laquelle des études statistiques ont montré qu'un enfant avait une probabilité $p$ d'être porteur du caractère $A$. Déterminer, en fonction de $p$, la probabilité $V(p)$ qu'un enfant ayant un test positif soit porteur du caractère $A$. $V(p)$ est la valeur prédictive du test. Représenter $V(p)$ en fonction de $p$ et commenter.
Déterminons la probabilité qu'un enfant ayant un test positif soit porteur du caractère A c'est à dire $P_{T^+}(A)$.
D'après la définition des probabilités conditionnelles, on a $P_{T^+}(A)= \dfrac{P(A \cap T^+)}{ P(T^+) }$. Or $P(A \cap T^+)=P(A)\times P_A(T^+)=1/1000\times 0.99$
Donc $P_{T^+}(A)=\dfrac{\dfrac{1}{1000}\times 0.99}{0,02097}=\dfrac{11}{233}$.
Soit $P_{T^+}(A)\approx 4,7\%$.
2.
On utilise le test avec une population pour laquelle des études statistiques ont montré qu'un enfant sur 100 était porteur du caractère A. On a donc $P(A)=1/100$.
Déterminons la probabilité qu'un enfant ayant un test positif soit porteur du caractère A c'est à dire $P_{T^+}(A)$.
On a $P_{T^+}(A)=\dfrac{P(A \cap T^+)}{P(T^+)}$. Or $P(T^+)=0,01\times 0,99+0,99\times 0,02=0,0297$.
Donc $P_{T^+}(A)=\dfrac{0,01\times 0,99}{0,3\times 0,99}=\dfrac{1}{3}$.
Soit $P_{T^+}(A)\approx 33,3\%$.
3:
On utilise le test avec une population pour laquelle des études statistiques ont montré qu'un enfant avait une probabilité p d'être porteur du caractère A.
Déterminons en fonction de p, la probabilité V(p) qu'un enfant ayant un test positif soit porteur du caractère A.
Toujours en suivant la même méthode , on a $V(p)=P_{T^+}(A)= \dfrac{P(A \cap T^+)}{P(T^+)}$.
En utilisant l'arbre pondéré ci-dessus, on peut écrire:
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. On considère l'événement $C$ : " tirer un coeur " et l'événement $A $: " tirer un as ". Les événements $A$ et $C$ sont-ils indépendants ?
On tire simultanément deux cartes dans un jeu de 32 cartes.
On considère l'événement $C'$ : " tirer deux coeurs " et l'événement $A'$ : " tirer deux as ". Les événements $A'$ et $C'$ sont-ils indépendants ?
On considère $C'' $: " tirer un coeur et un seul " et $A''$ : " tirer un as et un seul ". Les événements $A''$ et $C''$ sont-ils indépendants ?
On considère l'événement C : « tirer un cœur » et l'événement A : « tirer un as ».
On sait que les événements $A$ et $C$ sont indépendants si et seulement si $P(A \cap C)=P(A)\times P(C)$.
Ici $P(C)=\dfrac{Card(C)}{Card(\Omega)}=\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}$ en effet il y a huit coeurs dans un jeu de 32 cartes.
et $P(A)=\dfrac{Card(A)}{Card(\Omega)}=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}$ en effet il y a 4 as dans un jeu de 32 cartes et donc $P(A)\times P(C)=\dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{32}$
Par ailleurs $A \cap C$ signifie " On a tiré l'as de coeur" , donc $P(A \cap C)= \dfrac{Card(A \cap C)}{Card(\Omega)} =\dfrac{1}{32}$.
On a donc $P(A \cap C)=P(A)\times P(C)$
Les événements A et C sont indépendants .
L'univers $\Omega_1$ est ici l'ensemble des parties non ordonnées de 2 cartes prises parmi les 32 cartes du jeu. $Card(\Omega_1)=\binom{32}{2}=\dfrac{32\times 31}{2}=496$. On fait ici l'hypothèse d'équiprobabilité.
Calculons la probabilité de l'événement A' : « tirer deux as »
Pour conclure, on a $P(A'')*P(C'')=\dfrac{7}{31}\times \dfrac{12}{31}=\dfrac{84}{961}$
Ayant $P( A'' \cap C'')\neq P(A'')\times P(C'') $, on a montré que $A'' $et $C''$ ne sont pas indépendants.
Exercice 5
Enoncé On jette simultanément un dé bleu et un dé rouge. Le dé bleu a des faces numérotées 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 5 ; 6 Le dé rouge a des faces numérotées : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6. On appelle $S$ la variable aléatoire qui à un lancer fait correspondre la somme des deux numéros tirés.
Donner la loi de probabilité de S.
Sachant que la somme $S$ est égale à 7, quelle est la probabilité que le dé bleu ait donné le numéro 2 ?
Sachant que la somme $S$ est égale à 7, quelle est la probabilité que le dé rouge ait donné le numéro 2?
Sachant que la somme $S$ est égale à 7, quelle est la probabilité que l'un des dés ait donné le numéro 2 ?
Démontrer que les événements $S = 7$ et " le dé bleu a donné le numéro 2 " sont indépendants.
Le dé bleu a des faces numérotées 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 5 ; 6
Le dé rouge a des faces numérotées : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6.
On appelle S la variable aléatoire qui à un lancer fait correspondre la somme des deux numéros tirés. Donnons la loi de probabilité de S.
On peut représenter la situation à l'aide d'iun tableau:
Dé bleu
$1_1$
$1_2$
$2_1$
$2_2$
5
6
Dé rouge
1
2
2
3
3
6
7
2
3
3
4
4
7
8
3
4
4
5
5
8
9
4
5
5
6
6
9
10
5
6
6
7
7
10
11
6
7
7
8
8
11
12
On peut remarquer que l'univers $\Omega$ est l'ensemble des réultats possibles du lancer des deux dés. $\Omega$ est donc le produit cartésien $D_1 \times D_2 $. Son cardinal est alors 36. Comme il y a équiprobabilité, pour tout événement $A$, on a: $P(A)=\dfrac{Card(A)}{Card(\Omega)}$
D'après le tableau on voit les valeurs possibmles de S: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.
Par exemple l'évenement $S=2$est réalisé 2 fois ; $S=2 = \{(1_1,1)(1_2,1)\}$
On a donc $P(S=2)=\dfrac{Card(S=2)}{Card(\Omega)}=\dfrac{2}{36}$.
De la même façon on obtient le tableau suivant qui fournit la loi de probabilité de S.
$k$
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
$P(S=k)$
$\dfrac{2}{36}$
$\dfrac{4}{36}$
$\dfrac{4}{36}$
$\dfrac{4}{36}$
$\dfrac{5}{36}$
$\dfrac{6}{36}$
$\dfrac{4}{36}$
$\dfrac{2}{36}$
$\dfrac{2}{36}$
$\dfrac{2}{36}$
$\dfrac{1}{36}$
On vérifie alors que $\displaystyle\sum_{k=0}^{12} P(S=k)=1$.
Sachant que la somme S est égale à 7, quelle est la probabilité que le dé bleu ait donné le numéro 2 ?
On note $A$ l'événement " la somme S est égale à 7" et $B$ l'événement "Le dé bleu a donné le numéro 2 ".
On veut ici calculer $P_A(B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ d'après la définition des probabilités conditionnelles
$A\cap B =\{ (2_1,5)(2_2,5)\}$ et donc $ P(A\cap B)= \dfrac{Card(A \cap B))/(}{Card(\Omega)}=\dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{18}$.
A l'aide du tableau on a clairement $ P(A)=\dfrac{Card(A )}{Card(\Omega)}=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$. Cela est aussi donné avec la loi de S !
On a alors $P_A(B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}=\dfrac{\dfrac{1}{18}}{\dfrac{1}{6}}=\dfrac{1}{3}$
.
Sachant que la somme S est égale à 7, quelle est la probabilité que le dé rouge ait donné le numéro 2 ?
On note $A$ l'événement " la somme S est égale à 7" et $C$ l'événement "Le dé rouge a donné le numéro 2 ".
On veut ici calculer $P_A(C)=\dfrac{P(A \cap C)}{P(A)}$ d'après la définition des probabilités conditionnelles.
$A \cap C =\{ (5,2)\}$ et donc $ P(A \cap C)=\dfrac{Card(A \cap C)}{Card(\Omega)}=\dfrac{1 }{36}$.
A l'aide du tableau on a clairement $ P(C)= \dfrac{Card(C )}{Card(\Omega)}=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$.
On a alors $P_A(C)=\dfrac{Card(C )}{Card(\Omega)}=\dfrac{\dfrac{1}{36}}{\dfrac{1}{6}}=\dfrac{1}{6}$
Sachant que la somme S est égale à 7, quelle est la probabilité que l'un des dés ait donné le numéro 2 ?
On veut ici calculer $P_A(B \cup C)$;
$P_A(B \cup C)=\dfrac{P(A \cap (B \cup C))}{P(A)}$ d'après la définition des probabilités conditionnelles.
or d'après le tableau $A \cap (B\cup C)=\{ (2_1,5)(2_2,5),(5,2)\}$ on a $P( B \cup C)=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}$
Puis $P_A(B \cup C)=\dfrac{P(A \cap (B \cup C) }{P(A)}=\dfrac{P ( B \cup C)}{P(A)}=\dfrac{\dfrac{1}{12}}{\dfrac{1}{6}}=\dfrac{1}{2}$
Démontrons que les événements $ A$ : "S = 7 " et $B$ : « le dé bleu a donné le numéro 2 » sont indépendants.
On rappelle que les événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B)=P(A)\times P(B)$.
Ici $P(A)=\dfrac{1}{6}$ et $P(B)=\dfrac{12 }{36}=\dfrac{1}{3}$ et donc $P(A)\times P(B)=\dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{18}$
On a vu à la question 2°) que $ P(A\cap B)= \dfrac{1}{18}$.
Ayant vérifié $P(A \cap B)=P(A)\times P(B)$ et donc les événements $ A$ : "S = 7 " et $B$: « le dé bleu a donné le numéro 2 » sont indépendants.
On fait tourner une roue comportant 12 secteurs de même taille numérotés de 1 à 12. 
