Fonction Exponentielle ; des exercices avec corrigé ...

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On utilise le résultat du cours suivant:

Propriété : Pour tous réels $a$ et $b$ on a : $e^a<e^b \Leftrightarrow a<b$ .

1. $e^{2x-1}>1 \Leftrightarrow e^{2x-1}>e^0$ (1)
   

   (1) $\Leftrightarrow 2x-1>0 \Leftrightarrow 2x>1\Leftrightarrow x>\dfrac{1}{2}$

   Ainsi : $S=\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.

   $\dfrac{e^x+3}{e^x+1}>2$ ;

   $\dfrac{e^x+3}{e^x+1}>2 \Leftrightarrow (e^x+3)>2(e^x+1)$(2), en multiplant par $ e^x+1$ qui est strictement positif.

   (2) $\Leftrightarrow e^x+3>2e^x+2 \Leftrightarrow e^x<1 \Leftrightarrow e^x<e^0 \Leftrightarrow x<0$ .

   Ainsi : $S=]-\infty;0[$.

2. $e^x-e^{2x}\geq 0$ ;
   

   $e^x-e^{2x}\geq 0 \Leftrightarrow e^x\geq e^{2x} \Leftrightarrow x \geq 2x \Leftrightarrow x\leq 0$.

   Ainsi : $S=]-\infty;0]$.

3. $e^{2x+5}<e^{1-x}$.
   

   $e^{2x+5}<e^{1-x} \Leftrightarrow (2x+5)<(1-x) \Leftrightarrow 3x<-4 \Leftrightarrow x<-\dfrac{4}{3}$.

   Ainsi : $S=\left]-\infty;-\dfrac{4}{3}\right[$.

Au voisinage de $-\infty$:

$f(x)=3x-1+\dfrac{e^x}{e^x+1}$ et comme $\left.\begin{array}{l} \dis\lim_{x\to -\infty}e^x=0 \\ \dis\lim_{x\to -\infty}e^x+1=0\end{array}\right\}$ par quotient on a $\dis\lim_{x\to -\infty} \dfrac{e^x}{e^x+1}=0$.

On a ainsi $f(x)=3x-1+\phi(x)$ avec $\dis\lim_{x\to -\infty}\phi(x)=0$.

Donc la droite $D_1$ d'équation $y=3x-1$est asymptote oblique à $(C)$ au voisinage de $-\infty$.

Au voisinage de $+\infty$:

$f(x)=3x-1+\dfrac{e^x}{e^x(1+e^{-x})}=3x-1+\dfrac{1}{1+e^{-x}}$ et comme $\dis\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{1+e^{-x}}=1$;

on conjecture que la droite $D_2$ d'équation $y=3x$ est asymptote oblique à $(C)$ au voisinage de $+\infty$.

On forme $f(x)-3x=3x-1+\dfrac{1}{1+e^{-x}}-3x= -1+\dfrac{1}{1+e^{-x}}$.

Alors $\dis\lim_{x\to +\infty}[f(x)-3x]=\dis\lim_{x\to +\infty} -1+\dfrac{1}{1+e^{-x}}=-1+1=0$.

Donc la droite $D_2$ d'équation $y=3x$ est asymptote oblique à $(C)$ au voisinage de $+\infty$.

Une figure:

1. Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\mtr$ par $f(x)=\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$ .

   Déjà $f(x)$ existe si et seulement si $e^{2x}+1\neq 0$

   Comme , pour tout réel $x, e^{2x}>0$, on déduit $e^{2x}+1>1$ , et donc $D_f=\mtr$.

   Dérivée:

   $f$ est dérivable sur $\mtr$ comme quotient de eux fonctions dérivables sur $\mtr$ dont le dénominateur ne s'annule pas.

   Calculons la dérivée:

   $f=\dfrac{u}{v}$ donc $f'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$.

   Ici $\begin{cases}(u(x)=e^{2x}-1\\v(x)=e^{2x}+1 \end{cases}$ donc $\begin{cases}u'(x)=2e^{2x}\\v'(x)=2e^{2x}\end{cases}$

   Puis $f'(x)=\dfrac{2e^{2x}(e^{2x}+1)-2e^{2x}(e^{2x}-1)}{(e^{2x}+1)^2}$ soit $f'(x)= \dfrac{2e^{2x}(e^{2x}+1-e^{2x}+1)}{(e^{2x}+1)^2}$ .

   On a ainsi $f'(x)= \dfrac{4e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}$ .

   Etudions le signe de la dérivée:

   Le dénominateur est le carré d'un réel non nul donc est strictement positif,

   la fonction exponentielle étant strictement positive sur $\mtr$, pour tout $x, e^{2x}>0$,

   et donc la dérivée est strictement positive sur $\mtr$ comme quotient de deux réels positifs.

   Conclusion : la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mtr$.

   Dresser son tableau de variations. Soit $(C)$ la courbe représentative de $f$.

   Calculons tout d'abord les limites aux bornes de l'ensemble de définition:

   Limite en $-\infty$:

   $\left.\begin{array}{l} \dis\lim_{x\to -\infty}2x=-\infty\\\dis\lim_{t\to -\infty}e^t=0\end{array}\right\}$ donc par composée on déduit: $\dis\lim_{x\to -\infty}e^{2x}=0$.

   $\left.\begin{array}{l} \dis\lim_{x\to -\infty}e^{2x}-1=-1 \\ \dis\lim_{x\to -\infty}e^{2x}+1=1\end{array}\right\}$ donc par quotient on déduit: $\dis\lim_{x\to -\infty}f(x)=-1$.

   Donc la droite d'équation $y=-1$ est asymptote horizontale à $(C)$ au voisinage de $-\infty$.

   Limite en $+\infty$: on débouche ici sur la forme indéterinée $\dfrac{\infty}{\infty}$;

   on change l'écriture de $f(x)$ en mettant en facteur le tetme prépondérant;

   ici $f(x)=\dfrac{e^{2x}(1-e^{-2x})}{e^{2x}(1+e^{-2x})}=\dfrac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}$

   $\left.\begin{array}{l} \dis\lim_{x\to +\infty}-2x=-\infty\\\dis\lim_{t\to -\infty}e^t=0\end{array}\right\}$ donc par composée on déduit: $\dis\lim_{x\to +\infty}e^{-2x}=0$.

   $\left.\begin{array}{l}\dis\lim_{x\to +\infty}1-e^{-2x}=1\\\dis\lim_{x\to +\infty}1+e^{-2x}=1)\end{array}\right\}$ donc par quotient on déduit: $\dis\lim_{x\to +\infty}f(x)=1$.

   Donc la droite d'équation $y=1$ est asymptote verticale à $(C)$ au voisinage de $+\infty$.

2. Le tableau de variation de $f$:
   

    

   

3. Donner l'équation de la tangente $T$ à $(C)$ au point d'abscisse 0. Tracer $(C)$ et $T$.

   La tangente $T$à $C_f$ au point d'abscisse $0$ a pour équation $y=f'(0)(x-0)+f(0)$

   ici $f(0)=\dfrac{e^0-1}{e^0+1}=0$ et $f'(0)=\dfrac{4e^0}{(e^0+1)^2 }=\dfrac{4}{4}=1$

   Donc $T: y= x$.



4. Démontrer que l'équation $f(x)=\dfrac{1}{2}$ a une solution unique $\alpha$dans $\mtr$. Donner une valeur approchée de $\alpha$ .

   La méthode: Le théorème de la bijection!

   $f$ est continue car dérivable sur $\mtr$, $f$est strictement croissante sur $\mtr$,

   ainsi $f$ réalise une bijection de $\mtr$ sur $]\dis\lim_{x\to -\infty}f(x);\dis\lim_{x\to +\infty}f(x)[$ soit sur $]-1;1[$.

   Comme $\dfrac{1}{2} \in ]-1;1[$, l'équation $f(x)=0$ a une solution unique $\alpha$ dans $\mtr$.

   Encadrons $\alpha$:

   A l'aide d'une calculatrice , on obtient:

   $f(0.54)\approx0.49$ et $f(0.55)\approx0.5005$

   Ayant $f(0.54)<\dfrac{1}{2}<f(0.55)$

   on a $f(0.54)<f(\alpha)<f(0.55)$

   d'où on déduit $0.54<\alpha<0.55$ car $f$ est strictement croissante sur $\mtr$.

1. $e^{2x+1}-1=0$
   $$\begin{array}{ll} e^{2x+1}-1=0&\Leftrightarrow e^{2x+1}=1\\ &\Leftrightarrow e^{2x+1}=e^0\\ &\Leftrightarrow (2x+1)=0\\ & \Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2} \end{array}$$

   $S=\{-\dfrac{1}{2}\}$

2. 
   $e^{x+1}-e^{2x-3}=0$
   $$\begin{array}{ll} e^{x+1}-e^{2x-3}=0&\Leftrightarrow e^{x+1}=e^{2x-3}\\ &\Leftrightarrow (x+1)=(2x-3)\\ &\Leftrightarrow -x=-4\\ & \Leftrightarrow x=4\end{array}$$

   $S=\{4\}$

3. 
   $e^{x-1}\times e^{3x+5}=1$
   $$\begin{array}{ll} e^{x-1}\times e^{3x+5}=1&\Leftrightarrow e^{x-1}=\dfrac{1}{e^{3x+5}}\\ &\Leftrightarrow e^{x-1}=e^{-(3x+5)}\\ &\Leftrightarrow x-1=-3x-5\\ & \Leftrightarrow 4x=-4\\ & \Leftrightarrow x=-1\end{array}$$

   $S=\{-1\}$

4. 
   

   Un autre type: On fait un changement d'inconnue.

   Pour résoudre l'équation: $e^{2x}+e^x-2=0$(E); on pose $X=e^x$, alors $X^2=(e^x)^2=e^{2x}$

   Alors $e^{2x}+e^x-2=0 \Leftrightarrow X^2+X-2=0$

   On voit que $X=1 $ est racine évidente, ainsi $X' \times X'' =c/a $ donne $1\times X'' =-2$ soit $X''=-2$

   (E) $\Leftrightarrow X=1 \text { ou } X=-2$

   E) $\Leftrightarrow e^x=1 \text { ou } e^x=-2$

   La fonction exponentielle étant strictement positive, l'équation $e^x=-2$ n'a pas de solution.

   Par ailleurs $e^x=1 \Leftrightarrow e^x=e^0 \Leftrightarrow x=0$

   Puis $S=\{0\}$.

5. 
   

   Pour finir...

   $\dfrac{2e^x+1}{e^x}=2e^3+e^{-x}$
   $$\begin{array}{ll} \dfrac{2e^x+1}{e^x}=2e^3+e^{-x} &\Leftrightarrow (2e^x+1)=(2e^3+e^{-x}) \times e^x \text{ en faisant le produit en croix.}\\ &\Leftrightarrow 2e^x+1= 2e^3 \times e^x+e^{-x} \times e^x\\ &\Leftrightarrow 2e^x+1=2e^3 \times e^x+1\\ &\Leftrightarrow 2e^x \times e^{-x} =2e^3 \times e^x \times e^{-x} \text{ en multipliant par } e^{-x} \text{ qui n'est jamais nul.}\\ & \Leftrightarrow 2 =2e^3 \text{ ce qui est faux.} \end{array}$$

   $S=\emptyset$

    

1. $f(x)=e^{2x^2+1}$;
   

   $f(x)=e^{2x^2+1}$, on a $f=exp\circ u$; ici $u$ est une fonction polynôme, donc est dérivable sur $\mtr$, et donc $f$ est dérivable sur $\mtr$ comme composée de fonctions dérivables sur $\mtr$.

   Calulons $f'(x)$:
   $f'(x)=4xe^{2x^2+1}$.

   Etudions le signe de la dérivée:

   Comme pour tout réel $x$ on a $e^x>0$, on déduit que $f'(x)$ a le signe de $x$.

   Ainsi $f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0$

   $f'(x)>0 \Leftrightarrow x>0$.

    

   

2. $g(x)=(2x+1)e^{2x+1}$;

   on a $g=a\times exp\circ u$; ici $u$ est une fonction polynôme, donc est dérivable sur $\mtr$, et donc $g$ est dérivable sur $\mtr$ comme produit et composée de fonctions dérivables sur $\mtr$.

   Calculons la dérivée: $g=ab$ avec $\begin{cases}a(x)=2x+1\\ b(x)=e^{2x+1}\end{cases}$ donc $\begin{cases}a'(x)=2\\ b(x)=2e^{2x+1}\end{cases}$ car $ b=e^u $ d'où $ b'=u'e^u$

   Ainsi $g'(x)=2 e^{2x+1}+2e^{2x+1} (2x+1)= 2 e^{2x+1}(1+2x+1)=2(x+1)e^{2x+1}$

   Etudions le signe de la dérivée:

   Comme pour tout réel $x$ on a $e^x>0$, on déduit que $g'(x)$ a le signe de $x+1$.

   Ainsi $g'(x)=0 \Leftrightarrow x=-1$

   $g'(x)>0 \Leftrightarrow x> -1$.

   

3. $h(x)=\dfrac{ e^x-e^{-x}}{ 2}$;

   $h$ est dérivable sur $\mtr$ comme somme de fonctions dérivables sur $\mtr$.

   $h=\dfrac{1}{2}(u+v)$ donc $h'=\dfrac{1}{2}(u'+v')$

   $\begin{cases}u(x)=e^x\\ v(x)=e^{-x}\end{cases}$ donc $\begin{cases}u'(x)=e^x\\ v'(x)=-e^{-x}\end{cases}$ car $v=e^a$ d'où $v'=a'e^a$;

   ainsi $h'(x)=\dfrac{1}{2}\left(e^x-(-e^{-x}\right)=\dfrac{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right)$ .

   Etudions le signe de la dérivée:

   Comme pour tout réel $x$ on a $e^x>0$, on déduit que: $\begin{cases} e^x >0 \\ e^{-x}> 0 \\ \dfrac{1}{2}>0\end{cases}$ donc $\dfrac{1}{2}(e^x+e^{-x})>0$ , soit $ h'(x)>0$.

   

4. $t(x)=\dfrac{3e^x}{e^{2x}+1}$.

   Déjà , remarquons que comme pour tout $ x in \mtr$ on a $e^{2x}>0$, on a $e^{2x}+1>1$ et donc ne s'annule pas , donc $D_t =\mtr$.

   $t$est dérivable sur $\mtr$ comme quotient de fonctions dérivables sur $\mtr$, dont le dénominateur ne s'annule pas.

   $t=\dfrac{u}{v}$ , donc $t'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$.

   Ici $\begin{cases}u(x)=3e^x\\ v(x)=e^{2x}+1\end{cases}$ donc $\begin{cases}u'(x)=3e^x\\ v'(x)=2e^{2x}\end{cases}$ car $ v=e^a $ d'où $ v'=a'e^a$;

   On a alors : $t'(x)=\dfrac{ 3e^x (e^{2x}+1)-(2e^{2x})(3e^x) }{\left(e^{2x}+1\right)^2}$ .

   $t'(x)=\dfrac{3e^x \left (e^{2x}+1-2e^{2x}\right)}{\left(e^{2x}+1\right)^2}=\dfrac{3e^x \left (1-e^{2x}\right)}{\left(e^{2x}+1\right)^2}$ .

   Etudions le signe de la dérivée:

   Comme pour tout réel $x$ on a $e^x>0$, on déduit que: $\begin{cases} 3e^x >0 \\ \left(e^{2x}+1\right)^2 >0 \end{cases}$ donc $t'(x)$ a le signe de $(1-e^{2x})$,

   soit $ t'(x)=0 \Leftrightarrow 1-e^{2x}=0$

   $t'(x)=0 \Leftrightarrow e^{2x}=e^0$

   $t'(x)=0 \Leftrightarrow 2x=0 \Leftrightarrow x=0$

   $ t'(x)>0 \Leftrightarrow 1-e^{2x}>0$

   $t'(x)>0 \Leftrightarrow -e^{2x}>-1$

   $t'(x)>0 \Leftrightarrow e^{2x}<1$

   $t'(x)>0 \Leftrightarrow e^{2x}<e^0$

   $t'(x)>0 \Leftrightarrow 2x<0$ car la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mtr$.

   $t'(x)>0 \Leftrightarrow x<0$.