Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2013 - Correction Spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A
On considère l'algorithme suivant :
$$\begin{array}{|l|}\hline A \text{ et } X \text{sont des nombres entiers }\\ \text{ Saisir un entier positif } A\\ \text{ Affecter à } X \text{ la valeur de } A\\ \text{ Tant que } X \text{ supérieur ou égal à 26}\\ \hspace{1.25cm}\text{ Affecter à } X \text{ la valeur } X - 26\\ \text{ Fin du tant que }\\ \text{ Afficher } X\\ \hline \end{array}$$

1. Qu'affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 3 ?
Si on saisit le nombre $3$, l’algorithme affiche $3$.
2. Qu'affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 55 ?
Si on saisit le nombre $55$ l’algorithme affiche $3$.
3. Pour un nombre entier saisi quelconque, que représente le résultat fourni par cet algorithme?
Cet algorithme fournit le reste de la division euclidienne de $A$ par $26$.

Partie B
On veut coder un bloc de deux lettres selon la procédure suivante (détaillée en quatre étapes) :
Étape 1 : chaque lettre du bloc est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M\\\hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\\hline \hline N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z \\ \hline 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\\hline \end{array}$$

On obtient une matrice colonne $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ où $x_{1}$ correspond à la première lettre du mot et $x_{2}$ correspond à la deuxième lettre du mot.

Étape 2 : $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ est transformé en $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ tel que
\[\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}\]
La matrice $C = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}$ est appelée la matrice de codage.

Étape 3 : $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ est transformé en $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ tel que \[\left\{\begin{array}{l c l c l c l l} z_{1}& \equiv& y_{1}\: (26)& \text{avec}\:\: 0 &\leqslant& z_{1}&\leqslant& 25\\ z_{2}& \equiv& y_{2}\: (26)& \text{avec}\:\: 0 &\leqslant& z_{2}&\leqslant& 25 \end{array}\right.\]
Étape 4 : $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ est transformé en un bloc de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné dans l'étape 1.
\begin{array}{|l} \text{ Exemple } : \text{ RE } \to \begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}\to \text{ DP }\\ \text{Le bloc RE est donc codé en DP}\\ \end{array} Justifier le passage de $\begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}$ à $\begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix}$ puis à $\begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}$.

• Étape 1 :$\text{ RE } \to \begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}$ en utilisant le tableau
• Étape 2 :$\begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}$ est transformé en $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ tel que
  \[\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\times 17 + 1\times 4\\5\times 17 + 2\times 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix}\]
• Étape 3 : \[\left\{\begin{array}{l c l c l c l l} 55& \equiv& 3\: (26)& \text{avec}\:\: 0 &\leqslant& 3&\leqslant& 25\\93& \equiv& 15\: (26)& \text{avec}\:\: 0 &\leqslant& 13&\leqslant& 25 \end{array}\right.\]
• Étape 4 :$ \begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix} \to \text{ DP } $ en utilisant le tableau
  On a donc bien : \begin{array}{|l}  \text{ RE } \to \begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}\to \text{ DP }\\ \text{Le bloc RE est donc codé en DP}\\ \end{array}

1. Soient $x_{1},\:x_{2},\:x'_{1},\:x'_{2}$ quatre nombres entiers compris entre 0 et 25 tels que $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}x'_{1}\\x'_{2}\end{pmatrix}$ sont transformés lors du procédé de codage en $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$.
   1. Montrer que $\left\{\begin{array}{l c l} 3x_{1}+ x_{2} & \equiv& 3x'_{1} + x'_{2} \quad (26)\\ 5x_{1}+ 2x_{2}&\equiv&5x'_{1} + 2x'_{2} \quad (26). \end{array}\right.$
   On a donc $y_1 = 3x_1 + x_2$ et $y_2=5x_1+2x_2$ ainsi que $y’_1 = 3x’_1+x’_2$ et $y’_2=5x’_1+2x’_2$.
   Or $z_1 \equiv y_1~(26)$ et $z_1 \equiv y’_1~(26)$ par conséquent $y_1 \equiv y’_1 ~(26)$.
   D’où $3x_1+x_2 \equiv 3x’_1+x’_2 ~(26)$.
   De même $z_2 \equiv y_2 ~(26)$ et $z_2 \equiv y’_2 ~(26)$ par conséquent $y_2 \equiv y’_2 ~(26)$
   Et $5x_1+2x_2 \equiv 5x’_1 + 2x’_2 ~(26)$.
   
   2. En déduire que $x_{1} \equiv x'_{1}\quad (26)$ et $x_{2} \equiv x'_{2} \quad (26)$ puis que $x_{1} = x'_{1}$ et $x_{2} = x'_{2}$.
   On appelle $L_1$ la ligne $3x_1 + x_2 \equiv 3x’_1 + x’_2 ~(26)$ et $L_2$ la ligne $5x_1 + 2x_2 \equiv 5x’_1 + 2x’_2 ~(26)$.
   Alors $2l_1-L2$ donne $x_1 \equiv x’_1~(26)$ et $3L_2 – 5L_1$ donne $x_2 \equiv x’_2~(26)$.
   Les nombres $x_1$, $x_2$, $x’_1$ et $x’_2$ sont des entiers compris entre $0$ et $25$.
   Par conséquent ils sont égaux à leur reste dans la division euclidienne par $26$.
   Cela signifie donc que $x_1 = x’_1$ et $x_2 = x’_2$.
2. On souhaite trouver une méthode de décodage pour le bloc DP :
   1. Vérifier que la matrice $C' = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}$ est la matrice inverse de $C$.
   $C \times C’ = \left( \begin{matrix} 1&0\\\\0&1 \end{matrix} \right)$. Par conséquent $C’$ est bien la matrice inverse de la matrice $C$.
   
   2. Calculer $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ tels que $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}$.
   $\left( \begin{matrix} y_1 \\\\ y_2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 \times 3 – 1 \times 15 \\\\-5 \times 3 + 3 \times 15 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -9 \\\\ 30 \end{matrix} \right)$
   
   3. Calculer $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ tels que $\left\{\begin{array}{l c l} x_{1}&\equiv &y_{1}\quad (26)\:\: \text{avec}\:0 \leqslant x_{1} \leqslant 25\\ x_{2}&\equiv &y_{2}\quad (26)\:\: \text{avec}\:0 \leqslant x_{2} \leqslant 25\\ \end{array}\right.$
   Alors $-9 = -26 + 17$ donc $x_1 = 17$ et $30 = 26 + 4$ d’où $x_2 = 4$.
   
   4. Quel procédé général de décodage peut-on conjecturer ?
   On peut donc conjecturer que $\left\{\begin{array}{lr} x_1\equiv 2y_1 – y_2~(26) & \text{avec } 0 \le x_1 \le 25 \\\\x_2 \equiv -5y_1 + 3y_2~(26) & \text{avec } 0 \le x_2 \le 25 \end{array} \right.$
3. Dans cette question nous allons généraliser ce procédé de décodage. On considère un bloc de deux lettres et on appelle $z_{1}$ et $z_{2}$ les deux entiers compris entre 0 et 25 associés à ces lettres à l'étape 3. On cherche à trouver deux entiers $x_{1}$ et $x_{2}$ compris entre 0 et 25 qui donnent la matrice colonne $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ par les étapes 2 et 3 du procédé de codage. Soient $y'_{1}$ et $y'_{2}$ tels que $\begin{pmatrix}y'_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = C' \begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ où $C' = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}$.
   Soient $x_{1}$ et $x_{2}$, les nombres entiers tels que $\left\{\begin{array}{l c l} x_{1}&\equiv & y'_{1} \quad (26) \: \text{avec}\:0 \leqslant x_{1}\leqslant 25\\ x_{2}&\equiv &y'_{2} \quad (26) \: \text{avec}\:0 \leqslant x_{2}\leqslant 25 \end{array}\right.$
   Montrer que $\left\{\begin{array}{l c l} 3x_{1}+ x_{2} & \equiv& z_{1} \quad (26)\\ 5x_{1}+ 2x_{2}&\equiv&z_{2} \quad (26). \end{array}\right.$. Conclure.
$3x_1+x_2 \equiv 6y_1 – 3y_2 – 5y_1 + 3y_2 \equiv y_1 \equiv z_1 ~(26)$
$5x_1+2x_2 \equiv 10y_1 – 5y_2 – 10y_1 + 6y_2 \equiv y_2 \equiv z_2 ~(26)$
Par conséquent $\left( \begin{matrix} x_1 \\\\ x_2 \end{matrix} \right)$ est bien le couple de nombres initial ayant permis d’obtenir $\left( \begin{matrix} y_1 \\\\ y_2 \end{matrix} \right)$ à l’aide du procédé de codage.
4. Décoder QC.
$QC \rightarrow \left( \begin{matrix} 16 \\\\ 2 \end{matrix} \right)$
Alors $y’_1 = 16 \times 2 – 1 \times 2 = 30$ et $y’_2 = -5 \times 16 + 3 \times 2 = -74$.
Par conséquent $x’_1 = 4$ et $x’_2 = 4$.
Le code $QC$ provenait donc de $EE$.