Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2013 - Correction de l'Exercice 1
Exercice 1 4 points
Partie A
Restitution organisée de connaissances
Soit $\Delta$ une droite de vecteur directeur $\vec{v}$ et soit P un plan. On considère deux droites sécantes et contenues dans P : la droite D$_{1}$ de vecteur directeur $\vec{u_{1}}$ et la droite D$_{2}$ de vecteur directeur $\vec{u_{2}}$. Montrer que $\Delta$ est orthogonale à toute droite de P si et seulement si $\Delta$ est orthogonale à D$_{1}$ et à D$_{2}$.
Partie B
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les trois points
\[\text{A}(0 ; - 1 ; 1),\quad \text{B}(4 ; -3 ; 0)\:\: \text{et}\:\: \text{C}(- 1 ; -2 ; -1).\] On appelle P le plan passant par A, B et C. On appelle $\Delta$ la droite ayant pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& t\\y &=& 3t - 1\\z &=& -2t + 8 \end{array}\right.$ avec $t$ appartenant à $\mathbb{R}$. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
Si $\Delta$ est orthogonale à toute droite de $P$ alors $\Delta$ est en particulier orthogonale à $D_1$ et à $D_2$.
Réciproquement, si $\Delta$ est orthogonale à $D_1$ et $D_2$, on a alors $\vec{u_1}.\vec{v} = 0$ et $\vec{u_2}.\vec{v} = 0$. Les $2$ droites $D_1$ et $D_2$ étant sécantes, les vecteurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ forment une base du plan $P$.
Soit $\vec{u}$ un vecteur directeur d’une droite $D$ de $P$. Il existe donc $2$ réels $a$ et $b$ tels que : $\vec{u}=a\vec{u_1}+b\vec{u2}$.
Par conséquent $\vec{u}.\vec{v} = a\vec{u_1}.\vec{v}+b\vec{u_2}.\vec{v} = 0$.
Les droites $D$ et $\Delta$ sont bien orthogonales.
- Affirmation 1 : $\Delta$ est orthogonale à toute droite du plan P. $\vec{AB}(4;-2;-1)$ et $\vec{AC}(-1;-1;-2)$. On constate que $\dfrac{4}{-1} \ne \dfrac{-2}{-1}$. Par conséquent ces $2$ vecteurs ne sont colinéaires et les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont sécantes.
- Affirmation 2 : les droites $\Delta$ et (AB) sont coplanaires. Une représentation paramétrique de $(AB)$ est : $\left\{ \begin{array}{l} x=4k \\\\y=-1-2k \qquad k\in\mathbb{R}\\\\z=1-k \end{array} \right.$.
- Affirmation 3 : Le plan P a pour équation cartésienne $x + 3y - 2z + 5 = 0$. $\vec{v}(1;3;-2)$ est normal au plan $P$. Une équation cartésienne de $P$ est donc de la forme : $x+3y-2z+d = 0$.
- On appelle D la droite passant par l'origine et de vecteur directeur $\vec{u}(11 ; - 1 ; 4)$.
ffirmation 4 : La droite D est strictement parallèle au plan d'équation $x + 3y - 2z + 5 = 0$. Regardons si $\vec{v}$ et $\vec{u}$ sont orthogonaux.
Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{v}(1;3;-2)$.
$\vec{v}.\vec{AB} = 1 \times 4 + 3 \times (-2) – 2 \times (-1) = 4 – 6 + 2 = 0$
$\vec{v}.\vec{AC} = 1 \times (-1) + 3 \times (-1) – 2 \times (-2) = -1 – 3 + 4 = 0$
La droite $\Delta$ est donc orthogonale à $2$ droites sécantes de $P$. Elle est, par conséquent, orthogonale à toute droite du plan $P$ d’après la propriété démontrée dans la partie A.
Affirmation vraie
Essayons de trouver un point commun à $(AB)$ et $\Delta$.
$\left\{ \begin{array}{l} t=4k \\\\3t-1=-1-2k \\\\-2t+8=1-k \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=4k \\\\12k-1=-1-2k \\\\-8k-8=1-k \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=4k \\\\k=0 \\\\k=1 \end{array} \right.$
Les $2$ droites sont orthogonales et n’ont pas de point commun. Elles ne sont donc pas coplanaires.
Affirmation fausse
Le point $A\in P$. Donc $3 \times (-1) – 2 \times 1 + d = 0$ soit $d = 5$.
Affirmation vraie
$\vec{v}.\vec{u} = 11 \times 1 – 1 \times 3 + 4 \times (-2) = 11 – 3 – 8 = 0$.
$D$ est donc parallèles au plan au plan $P$ ou contenue dans ce plan.
Or l’origine du repère n’appartient pas au plan $P$ (car $0 \ne 5$).
Affirmation fausse
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