Baccalauréat S Liban 31 mai 2019 - Exercice 3

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Exercice 3 6 points

Géométrie

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Dans un plan P, on considère un triangle ABC rectangle en A. Soit $d$ la droite orthogonale au plan P et passant par le point B. On considère un point D de cette droite distinct du point B. 

1. Montrer que la droite (AC) est orthogonale au plan (BAD).

On appelle bicoin un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles rectangles.

2. Montrer que le tétraèdre ABCD est un bicoin.
3. 1. Justifier que l'arête [CD] est la plus longue arête du bicoin ABCD.
   2. On note I le milieu de l'arête [CD]. Montrer que le point I est équidistant des 4 sommets du bicoin ABCD.

 

Partie B

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le point A$(3~;~1~;~ -5)$ et la droite $d$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c r} x &=& 2t + 1\\ y &= &- 2 t + 9\\ z&=&t - 3 \end{array}\right.$ où $t \in \mathbb R$.

1. Déterminer une équation cartésienne du plan $P$ orthogonal à la droite $d$ et passant par le point A.
2. Montrer que le point d'intersection du plan $P$ et de la droite $d$ est le point B$(5~;~5~;~-1)$,
3. Justifier que le point C$(7~;~3~;~-9)$ appartient au plan $P$ puis montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle en A.
4. Soit $t$ un réel différent de $2$ et $M$ le point de paramètre $t$ appartenant à la droite $d$.
   1. Justifier que le triangle AB$M$ est rectangle.
   2. Montrer que le triangle AB$M$ est isocèle en B si et seulement si le réel $t$ vérifie l'équation $t^2 - 4t = 0$.
   3. En déduire les coordonnées des points $M_1$ et $M_2$ de la droite $d$ tels que les triangles rectangles AB$M_1$ et AB$M_2$ soient isocèles en B.

 

Partie C

On donne le point D(9 ; 1 ; 1) qui est un des deux points solutions de la question 4. c. de la partie B. Les quatre sommets du tétraèdre ABCD sont situés sur une sphère. En utilisant les résultats des questions des parties A et B précédentes, déterminer les coordonnées du centre de cette sphère et calculer son rayon.