Baccalauréat S Liban 31 mai 2019 - Exercice 2

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Exercice 2 4 points

Commun à tous les candidats

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$ d’unité 2 cm. On appelle $f$ la fonction qui, à tout point $M$, distinct du point O et d'affixe un nombre complexe $z$, associe le point $M’$ d'affixe $z’$ tel que \[z’ = - \dfrac{1}{z}.\]

1. On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}$ et $z_{\text{B}} = \dfrac{1}{2} \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
   1. Déterminer la forme algébrique de l'affixe du point A$'$ image du point A par la fonction $f$.
   2. Déterminer la forme exponentielle de l'affixe du point B$'$ image du point B par la fonction $f$.
   3. Sur la copie, placer les points A, B, A$'$ et B$’$ dans le repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. Pour les points B et B$’$, on laissera les traits de construction apparents.
2. Soit $r$ un réel strictement positif et $\theta$ un réel. On considère le complexe $z$ défini par $z = r\text{e}^{\text{i}\theta}$.
   1. Montrer que $z' = \dfrac{1}{r}\text{e}^{\text{i}(\pi - \theta)}$.
   2. Est-il vrai que si un point $M$, distinct de 0, appartient au disque de centre 0 et de rayon 1 sans appartenir au cercle de centre 0 et de rayon 1, alors son image $M’$ par la fonction $f$ est à l'extérieur de ce disque ? Justifier.
3. Soit le cercle $\Gamma$ de centre K d'affixe $z_{\text{K}} = -\dfrac{1}{2}$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$.
   1. Montrer qu'une équation cartésienne du cercle $\Gamma$ est $x^2 + x + y^2 = 0$.
   2. Soit $z = x + \text{i}y$ avec $x$ et $y$ non tous les deux nuls. Déterminer la forme algébrique de $z’$ en fonction de $x$ et $y$.
   3. Soit $M$ un point, distinct de O, du cercle $\Gamma$. Montrer que l'image $M’$ du point $M$ par la fonction $f$ appartient à la droite d'équation $x = 1$.