Baccalauréat S Centres étrangers 12 juin 2013 - Correction Spécialité

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Une espèce d'oiseaux ne vit que sur deux îles A et B d'un archipel.
Au début de l'année 2013, 20 millions d'oiseaux de cette espèce sont présents sur l'île A et 10 millions sur l'île B.
Des observations sur plusieurs années ont permis aux ornithologues d'estimer que, compte tenu des naissances, décès, et migrations entre les deux îles, on retrouve au début de chaque année les proportions suivantes :

• sur l'île A : 80 % du nombre d'oiseaux présents sur l'île A au début de l'année précédente et 30 % du nombre d'oiseaux présents sur l'île B au début de l'année précédente;
• sur l'île B : 20 % du nombre d'oiseaux présents sur l'île A au début de l'année précédente et 70 % du nombre d'oiseaux présents sur l'île B au début de l'année précédente.

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_{n}$ (respectivement $b_{n}$) le nombre d' oiseaux (en millions) présents sur l'île A (respectivement B) au début de l'année $(2013 + n)$.

Partie A - Algorithmique et conjectures
On donne ci-dessous un algorithme qui doit afficher le nombre d'oiseaux vivant sur chacune des deux iles, pour chaque année comprise entre 2013 et une année choisie par l'utilisateur.

$$\begin{array}{|c|} \hline \text{ Début de l'algorithme} \\ \text{ Lire } n\\ \text{ Affecter à } a \text{ la valeur 20}\\ \text{ Affecter à } b \text{ la valeur 10}\\ \text{ Affecter à } i \text{ la valeur 2013}\\ \text{ Afficher } i\\ \text{ Afficher } a\\ \text{ Afficher } b\\ \text{Tant que } i\leq n-1 \text{ faire }\\ \text{ Affecter à }c \text{ la valeur } (0,8a + 0,3b)\\ \text{ Affecter à } b \text{ la valeur } (0,2a + 0,7 b)\\ \text{ Affecter à } a \text{ la valeur } c\\ \text{ Fin du Tant que }\\ \text{ Fin de l 'algorithme} \\ \hline \end{array}$$

1. Cet algorithme comporte des oublis dans le traitement. Repérer ces oublis et les corriger.

Il faut modifier l’algorithme de la sorte :
Tant que $i <n$ faire
$\quad$ Affecter à $i$ la valeur $i+1$
$\quad$ Afficher $i$
$\quad$Affecter à $c$ la valeur $0,8a+0,3b)$
$\quad$ Afficher $c$
$\quad$ Affecter à $b$ la valeur $(0,2a+0,7b)$
$\quad$ Afficher $b$
$\quad$ Affecter à $a$ la valeur $c$
Fin du Tant que

2. On donne ci-dessous une copie d'écran des résultats obtenus après avoir corrigé l'algorithme précédent dans un logiciel d'algorithmique, l'utilisateur avant choisi l'année 2020.
   $$\begin{array}{|c|} \hline \star\star\star \text{ Algorithme lancé } \star\star\star\\ \text{ En l'année } 2013, a \text{ prend la valeur } 20 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 10\\ \text{ En l'année } 2014, a \text{ prend la valeur } 19 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 11\\ \text{ En l'année } 2015, a \text{ prend la valeur } 18,5 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 11,5\\ \text{ En l'année } 2016, a \text{ prend la valeur } 18,25 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 11,75\\ \text{ En l'année } 2017, a \text{ prend la valeur } 18,125 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 11,875\\ \text{ En l'année } 2018. a \text{ prend la valeur } 18,0425 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 11,9375 \\ \text{ En l'année } 2019, a \text{ prend la valeur } 18,03125 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 11,96875 \\ \text{ En l'année } 2020, a \text{ prend la valeur } 18,015625 \text{ et } b \text{ prend la valeur } 11,984375 \\ \star\star\star \text{ Algorithme terminé } \star\star\star \\ \hline \end{array}$$ Au vu de ces résultats, émettre des conjectures concernant le sens de variation et la convergence des suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$.
Il semblerait que $(a_n)$ converge vers $18$ et $(b_n)$ vers $12$.

Partie B - Étude mathématique

On note $U_{n}$ la matrice  colonne $\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$.

1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=MU_{n}$, où $M$ est une matrice carrée d'ordre 2 que l'on déterminera.

On admet alors que $U_{n}=M^{n}U_{0}$ pour tout entier naturel $n\geqslant 1$. $a_{n+1}=0,8a_n+0,3b_n \quad$ et $\quad b_{n+1} = 0,2a_n+0,7b_n$
On peut donc prendre $M = \begin{pmatrix} 0,8&0,3 \\\\0,2&0,7 \end{pmatrix}$

2. À l'aide d'un raisonnement par récurrence, justifier que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$ : $$M^{n}= \begin{pmatrix} 0,6 + 0,4\times 0,5^{n}&0,6 - 0,6\times 0,5^{n}\\ 0,4 - 0,4\times 0,5^{n}&0,4 + 0,6\times 0,5^{n} \end{pmatrix}.$$
   On ne détaillera le calcul que pour le premier des coefficients de la matrice $M^{n}$.


• Initialisation : $0,6+0,4 \times 0,5^1 = 0,6 + 0,2 = 0,8$.
  La propriété est donc vraie au rang $1$.
• Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$
  $M^{n+1} = M \times M^{n}=\begin{pmatrix} 0,8&0,3 \\\\0,2&0,7 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,6 + 0,4\times 0,5^{n}&0,6 - 0,6\times 0,5^{n}\\ 0,4 - 0,4\times 0,5^{n}&0,4 + 0,6\times 0,5^{n} \end{pmatrix}$
  Le premier coefficient de $M^{n+1}$ est donc :
  $$\begin{array} {l}& 0,8 \times (0,6 + 0,4 \times 0,5^n) + 0,3 \times (0,4 – 0,4 – 0,5^n)\\ &= 0,48 + 0,32 \times 0,5^n + 0,12 – 0,12 \times 0,5^n \\ &=0,6 + 0,2 \times 0,5^n \\ &=0,6 + 0,4 \times 0,5 \times 0,5^n \\ &=0,6 + 0,4 \times 0,5^{n+1} \end{array}$$
  La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
• Conclusion : la propriété est vraie au rang $1$. En la supposant raie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
  Donc pour tout entier naturel $n \ge 1$, on a bien :
  $$M^n = \begin{pmatrix} 0,6+0,4\times 0,5^n&0,6-0,6\times 0,5^n \\\\0,4-0,4\times0,5^n&0,4+0,6\times 0,5^n \end{pmatrix}$$
  $~$
3. Exprimer $a_{n}$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$.

On en déduit donc que :
$$\begin{array} {l} a_n &= (0,6+0,4\times 0,5^n)\times a_0 + (0,6-0,6\times 0,5^n)\times b_0 \\ &=(0,6 + 0,4\times 0,5^n) \times 20 + (0,6 – 0,6\times 0,5^n)\times 10 \\ &=18 – 2 \times 0,5^n \end{array}$$
4. Avec ce modèle, peut-on dire qu'au bout d'un grand nombre d'années, le nombre d'oiseaux sur l'île A va se stabiliser? Si oui, préciser vers quelle valeur.
$-1 < 0,5 < 1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,5^n = 0$ et par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}a_n = 18$