Baccalauréat S Centres étrangers 12 juin 2013 - Correction de l'Exercice 1

Exercice 1 6 points

Commun à tous les candidats
Un industriel fabrique des vannes électroniques destinées à des circuits hydrauliques.
Les quatre parties A, B, C, D sont indépendantes.

Partie A

La durée de vie d'une vanne, exprimée en heures, est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,0002 $.

1. Quelle est la durée de vie moyenne d'une vanne ?


La durée moyenne est donnée par $E(T) = \dfrac{1}{\lambda} = 5~000$ heures.
2. Calculer la probabilité, à $0,001$ près, que la durée de vie d'une vanne soit supérieure à 6000 heures.

$$\begin{array}{ll} p(\1\geq \2) & =1 -p(\1 < \2 ) \\ &= 1-\displaystyle\int_{0}^{\2} \3 \times \text{e}^{-\3 t}\:\text{d}t\\ & = 1-\left [ -\text{e}^{\3 t}\right ]_{0}^{\2} \\ & =1-\left (1 - \text{e}^{\3\times \2} \right ) \\ & = \text{e}^{-\3\times \2} \\ &=\4\\ & \approx \5 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.} \end{array}$$

$$P( \1\geq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
 

Partie B
Avec trois vannes identiques $V_{1}$, $V_{2}$ et $V_{3}$, on fabrique le circuit hydraulique ci-contre.

Le circuit est en état de marche si $V_{1}$ est en état d arche ou si $V_{2}$ et $V_{3}$ le sont simultanément.

On assimile à une expérience aléatoire le fait que chaque vanne est ou n'est pas en état de marche après 6000 heures. On note :

• $F_{1}$ l'évènement : «la vanne $V_{1}$ est en état de marche après 6000 heures ».
• $F_{2}$ l'évènement : «la vanne $V_{2}$ est en état de marche après 6000 heures ».
• $F_{3}$ l'évènement : «la vanne $V_{3}$ est en état de marche après 6000 heures ».
• $E$ : l'évènement : «le circuit est en état de marche après 6000 heures
  
  1. L'arbre probabiliste ci-contre représente une partie de la situation. Reproduire cet arbre et placer les probabilités sur les branches.
  
  
  2. Démontrer que $P(E) = 0,363$.
     
     
  On admet que les évènements $F_{1}$, $F_{2}$ et $F_{3}$ sont deux à deux indépendants et ont chacun une probabilité égale à $0,3$.
  $$ \begin{array}{l} p(E) &= p(F_1) + p\left(\overline{F_1} \cap F_2 \cap F_3 \right) \\ & =0,3 + 0,7 \times 0,3 \times 0,3 \\ &=0,363 \end{array} $$
  3. Sachant que le circuit est en état de marche après 6000  heures, calculer la probabilité que la vanne $V_{1}$ soit en état de marche à ce moment là. Arrondir au millième.
  On veut donc calculer :
  $$\begin{array} {l}p_E(F_1) = &\dfrac{p(E \cap F_1)}{p(E)} \\ &=\dfrac{p(F_1)}{p(E)} \\ &=\dfrac{0,3}{0,363} \\ & \approx 0,826 \end{array}$$

Partie C

L'industriel affirme que seulement 2 % des vannes qu'il fabrique sont défectueuses.

On suppose que cette affirmation est vraie, et l'on note $F$ la variable aléatoire égale à la fréquence de vannes défectueuses dans un échantillon aléatoire de $400$ vannes prises dans la production totale.

1. Déterminer l'intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la variable $F$,

La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

$$I_{400}= [0,00628 ; 0,03372]$$
2. On choisit $400$ vannes au hasard dans la production, on assimile ce choix à un tirage aléatoire de $400$ vannes, avec remise, dans la production.
   Parmi ces $400$ vannes, $10$ sont défectueuses. Au vu de ce résultat peut-on remettre en cause au seuil de 95 %, l'affirmation de l'industriel?
La fréquence observée est $f = \dfrac{10}{400} = 0,025$. Donc $f \in I_{400}$.

On ne peut donc pas remettre en cause l’affirmation de l’industriel.

Partie D

Dans cette partie, les probabilités calculées seront arrondies au millième.
L'industriel commercialise ses vannes auprès de nombreux clients, La demande mensuelle est une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normaled'espérance $\mu = 800$ et d'écart-type $\sigma = 40$.

1. Déterminer $P(760\leqslant D \leqslant 840)$.
La calculatrice nous donne : $P(760 \le D \le 840) \approx 0,683$.

2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

 

2. Déterminer $P(D\leqslant 880)$.
$P(D \le 880) = \dfrac{1}{2} + P(800 \le D \le 880) \approx 0,5 + 0,477 \approx 0,977$


2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

 

3. L'industriel pense que s'il constitue un stock mensuel de $880$ vannes, il n'aura pas plus de 1 % de chance d'être en rupture de stock. A-t-il raison ?
$P(D > 880) = 1 – P(D \le 880) \approx 0,023 \approx 2,3 \%$

La probabilité que la demande dépasse les $880$ est donc environ de $2,3\%$ ce qui est supérieur au $1\%$ supposé par l’industriel. Il a donc tort.