Baccalauréat S Centres étrangers 12 juin 2013 - Exercice 4
Exercice 4 5 points
L'objet de cet exercice est l'étude de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par son premier terme
$u_{1}=\dfrac{3}{2}$ et la relation de récurrence : $u_{n+1} =\dfrac{nu_{n}+1}{2(n + 1)}$.
Partie A - Algorithmique et conjectures
Pour calculer et afficher le terme $u_{9}$ de la suite, un élève propose l'algorithme ci-dessous.
Il a oublié de compléter deux lignes.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{ Variables }& n \text{ est un entier naturel} \\ &u \text{ est un réel} \\ \hline \text{Initialisation }& \text{ Affecter à } n \text{ la valeur 1 }\\ & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur 1,5} \\ \hline \text{ Traitement } & \text{Tant que } n < 9 \\ & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur } \dots\\ & \text{ Affecter à } n \text{ la valeur } \dots\\ & \text{ Fin Tant que }\\ \hline \text{ Sortie }& \text{Afficher la variable } u \\ \hline \end{array}$$
- Recopier et compléter les deux lignes de l'algorithme où figurent des points de suspension.
- Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de $u_{2}$ jusqu'à $u_{9}$ ?
- Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n &1&2 &3 &4 &5 &6 &\dots&99 &100 \\ \hline u_{n} &1,5 &0,625 &0,375 &0,2656 &0,2063 &0,1693 &\dots&0,0102 &0,0101 \\ \hline \end{array}$$
Partie B - Étude mathématique
On définit une suite auxiliaire $\left(v_{n}\right)$ par : pour tout entier $n\geqslant 1$, $v _{n} = nu_{n} -1$.
- Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
- En déduire que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : $u_{n}= \dfrac{1 + (0,5)^{n}}{n}$.
- Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
- Justifier que, pour tout entier $n\geqslant 1$ , on a : $u_{n+1}- u_{n}=- \dfrac{1 + (1 + 0,5n)(0,5)^{n}}{n(n + 1)}$.
En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
Partie C - Retour à l'algorithmique
En s'inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d'afficher le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} < 0,001$.
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