Baccalauréat S Centres étrangers 12 juin 2013 - Correction de l'Exercice 4

Exercice 4 5 points

Candidats n'avant pas choisi la spécialité mathématique

L'objet de cet exercice est l'étude de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par son premier terme
$u_{1}=\dfrac{3}{2}$ et la relation de récurrence : $u_{n+1} =\dfrac{nu_{n}+1}{2(n + 1)}$.

Partie A - Algorithmique et conjectures

Pour calculer et afficher le terme $u_{9}$ de la suite, un élève propose l'algorithme ci-dessous.
Il a oublié de compléter deux lignes.

1. Recopier et compléter les deux lignes de l'algorithme où figurent des points de suspension.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{ Variables }& n \text{ est un entier naturel} \\ &u \text{ est un réel} \\ \hline \text{Initialisation }& \text{ Affecter à } n \text{ la valeur 1 }\\ & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur 1,5} \\ \hline \text{ Traitement } & \text{Tant que } n < 9 \\ & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur } \dfrac{n\times u+1}{2(n+1)}\\ & \text{ Affecter à } n \text{ la valeur }n+1\\ & \text{ Fin Tant que }\\ \hline \text{ Sortie }& \text{Afficher la variable } u \\ \hline \end{array}$$
2. Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de $u_{2}$ jusqu'à $u_{9}$ ?
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{ Variables }& n \text{ est un entier naturel} \\ &u \text{ est un réel} \\ \hline \text{Initialisation }& \text{ Affecter à } n \text{ la valeur 1 }\\ & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur 1,5} \\ \hline \text{ Traitement } & \text{Tant que } n < 9 \\ & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur } \dfrac{n\times u+1}{2(n+1)}\\ & \text{Afficher la variable } u \\ & \text{ Affecter à } n \text{ la valeur }n+1\\ & \text{ Fin Tant que }\\\hline \end{array}$$
3. Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième:
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n &1&2 &3 &4 &5 &6 &\dots&99 &100 \\ \hline u_{n} &1,5 &0,625 &0,375 &0,2656 &0,2063 &0,1693 &\dots&0,0102 &0,0101 \\ \hline \end{array}$$

Partie B - Étude mathématique
On définit une suite auxiliaire $\left(v_{n}\right)$ par : pour tout entier $n\geqslant 1$, $v _{n} = nu_{n} -1$.

1. Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.

$$\begin{array} {l}v_{n+1} &= (n+1)u_{n+1} – 1 \\ &=(n+1) \times \dfrac{n\times u_n + 1}{2(n+1)} – 1\\ &=\dfrac{n \times u_n + 1}{2} – \dfrac{2}{2} \\ &=\dfrac{n \times u_n – 1}{2} \\ &=\dfrac{1}{2} \times v_n \end{array}$$
$(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
Son premier terme est $v_1 = 1\times u_1 – 1 = \dfrac{1}{2}$.
$~$
2. En déduire que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : $u_{n}= \dfrac{1 + (0,5)^{n}}{n}$.
On a donc $v_n =q^{n-1}v_1= 0,5 \times 0,5^{n-1} = 0,5^n$.
Par conséquent $u_n = \dfrac{v_n+1}{n} = \dfrac{1+0,5^n}{n}$
$~$
3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
$-1 < 0,5 < 1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,5^n = 0$. De plus $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n} = 0$.
Donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}u_n = 0$
$~$
4. Justifier que, pour tout entier $n\geqslant 1$ , on a : $u_{n+1}- u_{n}=- \dfrac{1 + (1 + 0,5n)(0,5)^{n}}{n(n + 1)}$.
   En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
$$\begin{array}{l} u_{n+1}-u_n &= \dfrac{1+0,5^{n+1}}{n+1} – \dfrac{1 + 0,5^n}{n} \\ &= \dfrac{n+n\times 0,5^{n+1} – (n+1) – (n+1) \times 0,5^n}{n(n+1)} \\ &=\dfrac{-1 + n \times 0,5^{n+1} – (n+1) \times 0,5^n}{n(n+1)} \\ &=\dfrac{-1 + (0,5n-n-1) \times 0,5^n}{n(n+1)} \\ &=\dfrac{-1 + (-0,5n-1) \times 0,5^n}{n(n+1)} \\ &= – \dfrac{1 + (0,5n+1) \times 0,5^n}{n(n+1)} \end{array}$$
Le numérateur et le dénominateur de la fraction sont positifs.
Donc $u_{n+1}-u_n <0$. La suite $(u_n)$ est par conséquent décroissante.
$~$

Partie C - Retour à l'algorithmique
En s'inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d'afficher le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} < 0,001$.

Variables :
$\qquad$ $n$ est un entier naturel
$\qquad$ $u$ est un réel
Initialisation :
$\qquad$ Affecter à  $n$ la valeur $1$
$\qquad$ Affecter à $u$ la valeur $1,5$
Traitement :
$\qquad$ Tant que $u \geq  0,001$
$\qquad$ $\quad$ Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{n\times u + 1}{2(n+1)}$
$\qquad$ $\quad$ Affecter à $n$ la valeur $n+1$
$\qquad$ Fin Tant que
Sortie :
$\qquad$  Afficher la variable  $n$

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