Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (6 points)

Commun à tous les candidats

1. Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$. Vérifier que $f'(0) = - 2$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f'(x) = + \infty$.
$f’(x) = \text{e}^{2x} + 2(x-1)\text{e}^{2x}-1 = (2x – 1)\text{e}^{2x} – 1$
$f’(0) = -1 – 1 = -2$
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} (2x-1) = +\infty$ $\quad$ $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \text{e}^{2x} =+ \infty$
Donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f’(x) =+ \infty$

2. On note $f''$ la fonction dérivée de $f'$. Vérifier que, pour tout réel $x \geqslant 0,\:\: f''(x) = 4x\text{e}^{2x}$.
$f »(x)=2\text{e}^{2x} + 2(2x-1)\text{e}^{2x} $ $= 4x\text{e}^{2x}$.

3. Montrer que, sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ la fonction $f'$ s'annule pour une unique valeur, notée $x_{0}$.
La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent, pour tout $x \ge 0$ on $f '(x) \ge 0$.
Cela signifie donc que la fonction est $f’$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
De plus $f'(0) = -1 - 1 = -2$ et $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f'(x) = \infty$. $0\in]-2;+\infty[$.
D'après le théorème de la bijection (ou le corollaire des valeurs intermédiaires), l'équation $f'(x) = 0$ possède une unique solution $x_0$.

4. 1. Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, puis montrer que $f(x)$ est négatif pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[0~;~x_{0}\right]$.
   On en déduit donc que :
   - sur $[0;x_0]$ ,$f’(x) \le 0$ donc $f$ est décroissante
   - sur $[x_0;+\infty[$, $f'(x) \ge 0$ donc $f$ est croissante
   $~$
   $f(0) = -2$. Or $f$ est décroissante sur $[0,x_0]$.
   Par conséquent, pour tout $x\in[0,x_0]$, $f(x) < 0$.
   
   2. Calculer $f(2)$. En déduire que sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, la fonction $f$ s'annule pour une unique valeur. Si l'on note $a$ cette valeur, déterminer à l'aide de la calculatrice la valeur de $a$ arrondie au centième.
   $f(2) = \text{e}^{4} – 3 > 0$
   $~$
   Sur l’intervalle $[x_0;+\infty[$, $f$ est continue et strictement croissante.
   $f(x_0) < 0$ et $f(2) > 0$.
   $0\in [f(x_0);f(2)]$
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x) = 0$ admet donc une unique solution sur $[x_0;+\infty[$.
   $~$
   D'après la question précédente, on sait que, pour tout $x \in [0;x_0]$, $f(x) < 0$.
   Par conséquent l’équation $f(x)=0$ ne possède qu’une seule solution sur $[0~;~+ \infty[$.
   $~$
   La calculatrice nous donne alors $\alpha \approx 1,20$.
5. On admet sans démonstration que la longueur $L$ de la chaîne est donnée par l'expression \[L = \displaystyle\int_{0}^1 \left(\text{e}^{ax} + \text{e}^{- ax}\right)\:\text{d}x.\] Calculer la longueur de la chaîne ayant une tension minimale aux extrémités, en prenant $1,2$ comme valeur approchée du nombre $a$.
$$\begin{array}\\ I &= \int_0^1 \left(\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax} \right) \text{d}x \\ &= \left[ \dfrac{\text{e}^{ax}}{a} - \dfrac{\text{e}^{-ax}}{a} \right]_0^1 \\ &= \dfrac{\text{e}^{a} – \text{e}^{-a}}{a} \\ &=\dfrac{\text{e}^{1,2}-\text{e}^{-1,2}}{1,2}\\ \end{array}$$