Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 - Exercice 3

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Exercice 3 6 points

Commun à tous les candidats

Une chaîne, suspendue entre deux points d'accroche de même hauteur peut être modélisée par la représentation graphique d'une fonction $g$ définie sur $[-1~;~1]$ par \[g(x) = \dfrac{1}{2a} \left(\text{e}^{ax} + \text{e}^{- ax}\right)\] où $a$ est un paramètre réel strictement positif. On ne cherchera pas à étudier la fonction $g$. On montre en sciences physiques que, pour que cette chaîne ait une tension minimale aux extrémités, il faut et il suffit que le réel $a$ soit une solution strictement positive de l'équation \[(x - 1)\text{e}^{2x} - 1 - x = 0.\] Dans la suite, on définit sur $[0~;~+ \infty[$ la fonction $f$ par $f(x) = (x - 1)\text{e}^{2x} - 1 - x$ pour tout réel $x \geqslant 0$.

1. Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$. Vérifier que $f'(0) = - 2$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f'(x) = + \infty$.
2. On note $f''$ la fonction dérivée de $f'$. Vérifier que, pour tout réel $x \geqslant 0,\:\: f''(x) = 4x\text{e}^{2x}$.
3. Montrer que, sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ la fonction $f'$ s'annule pour une unique valeur, notée $x_{0}$.
4. 1. Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, puis montrer que $f(x)$ est négatif pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[0~;~x_{0}\right]$.
   2. Calculer $f(2)$. En déduire que sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, la fonction $f$ s'annule pour une unique valeur. Si l'on note $a$ cette valeur, déterminer à l'aide de la calculatrice la valeur de $a$ arrondie au centième.
5. On admet sans démonstration que la longueur $L$ de la chaîne est donnée par l'expression \[L = \displaystyle\int_{0}^1 \left(\text{e}^{ax} + \text{e}^{- ax}\right)\:\text{d}x.\] Calculer la longueur de la chaîne ayant une tension minimale aux extrémités, en prenant $1,2$ comme valeur approchée du nombre $a$.