Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (6 points)

Commun à tous les candidats

Partie A
On note $Z$ la variable aléatoire $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} = \dfrac{X - 45,5}{\sigma}$.

1. 1. Quelle est la loi de la variable aléatoire $Z$ ?
   La variable aléatoire $Z$ correspond au changement de variable $\dfrac{X-\mu}{\sigma}$.
   Elle suit donc la loi normale centrée réduite.
   
   2. Déterminer $P(X \leqslant \mu)$.
   D'après une propriété du cours $P(X \le \mu) = 0,5$
2. En prenant $\sigma = 3,8$, déterminer $P(37,9 \leqslant X \leqslant 53,1)$. Arrondir le résultat au centième.
$P(37,9 \le X \le 53,1) = P(\mu-2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 0,95$

1. 1. Déterminer $P(M \cap S)$.
   On sait que $P_M(S) = 0,9$ et $P(M) = 0,01$
   Par conséquent :
   $$\begin{array} \\P_M(S) &= \dfrac{P(M \cap S)}{P(M)} \\ P(M \cap S) &= P_M(S) \times P(M) \\ &= 0,9 \times 0,01 \\ & = 0,009\\ \end{array}$$
   2. On choisit au hasard un individu ayant plus de 50 ans. Montrer que la probabilité qu'il soit porteur de la maladie V est égale à $0,03$.
   On calcule donc :
   $$P_S(M) = \dfrac{P(S \cap M)}{P(S)} = \dfrac{0,009}{0,3} = 0,03$$
2. 1. Calculer la probabilité $P(H)$.
   $P(H) = P(X > \alpha) = 1 – P(X \le \alpha) $ $= 1 – 0,995 = 0,005$
   
   2. L'individu choisi au hasard a un taux d'hématocrite inférieur ou égal à $\alpha$. Calculer la probabilité qu'il soit porteur de la maladie V. Arrondir au millième.
   On veut donc calculer : $ P_\bar{H}(M) = \dfrac{P(\bar{H} \cap M)}{P(\bar{H})}$
   Or $P_H(M) = \dfrac{P(H \cap M)}{P(H)}$ soit $P(H \cap M) = 0,6 \times 0,005 = 0,003$.
   Par conséquent, d’après la formule des probabilités totales, on a :
   $$\begin{array}\\ P(\bar{H} \cap M) + P(H \cap M) &= P(M) \\ \Leftrightarrow P(\bar{H} \cap M) & = 0,1 – 0,003 \\ &= 0,007\\ \end{array}$$
   On obtient donc :
   $$\begin{array} \\P_\bar{H}(M) &= \dfrac{P(\bar{H} \cap M)}{P(\bar{H})} \\ & = \dfrac{0,007}{0,995} \\ & \approx 0,007\\ \end{array}$$

1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de la maladie V dans les échantillons de taille 1 000 , prélevés au hasard et avec remise dans l'ensemble de la population française. On arrondira les bornes de l'intervalle au millième.
$n = 1000 \ge 30$, $np = 1000 \times 0,01 = 10 \ge 5$ et $n(1-p) = 990 \ge 5$
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
$$\begin{array} \\I_{1000}& = \left[0,01 - 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,01 \times 0,99}}{\sqrt{1000}};0,01 + 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,01 \times 0,99}}{\sqrt{1000}} \right] \\ &\approx [0,003;0,017]\\ \end{array}$$
2. Dans un échantillon aléatoire de 1 000 personnes possédant le gène, on a trouvé 14 personnes porteuses de la maladie V. Au regard de ce résultat, peut-on décider, au seuil de 95 %, que le gène a une influence sur la maladie ?
La fréquence observée est $f=\dfrac{14}{1000} = 0,014 \in I_{1000}$.
On ne peut donc pas dire que le gêne a une influence sur la maladie.