Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 - Exercice 2

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Exercice 2 6 points

Commun à tous les candidats

Le taux d'hématocrite est le pourcentage du volume de globules rouges par rapport au volume total du sang.
On note $X$ la variable aléatoire donnant le taux d'hématocrite d'un adulte choisi au hasard dans la population française.
On admet que cette variable suit une loi normale de moyenne $\mu = 45,5$ et d'écart-type $\sigma$.

Partie A
On note $Z$ la variable aléatoire $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} = \dfrac{X - 45,5}{\sigma}$.

1. 1. Quelle est la loi de la variable aléatoire $Z$ ?
   2. Déterminer $P(X \leqslant \mu)$.
2. En prenant $\sigma = 3,8$, déterminer $P(37,9 \leqslant X \leqslant 53,1)$. Arrondir le résultat au centième.

Partie B
Une certaine maladie V est présente dans la population française avec la fréquence 1 %.
On sait d'aitre part que 30 % de la population française a plus de 50 ans, et que 90 % des porteurs de la maladie V dans la population française ont plus de 50 ans.
On choisit au hasard un individu dans la population française.
On note $\alpha$ l'unique réel tel que $P(X \leqslant \alpha) = 0,995$, où $X$ est la variable aléatoire définie au début de l'exercice.
On ne cherchera pas à calculer $\alpha$. On définit les évènements :

• «  l'individu est porteur de la maladie V »  ;
• «  l'individu a plus de 50 ans »  ;
• «  l'individu a un taux d'hématocrite supérieur à $\alpha$ » .

Ainsi $P(M) = 0,01, \quad P_{M}(S) = 0,9$ et $P(H) = P(X > \alpha)$.
D'autre part, une étude statistique a révélé que 60 % des individus ayant un taux d'hématocrite supérieur à $\alpha$ sont porteurs de la maladie V.

1. 1. Déterminer $P(M \cap S)$.
   2. On choisit au hasard un individu ayant plus de 50 ans. Montrer que la probabilité qu'il soit porteur de la maladie V est égale à $0,03$.
2. 1. Calculer la probabilité $P(H)$.
   2. L'individu choisi au hasard a un taux d'hématocrite inférieur ou égal à $\alpha$. Calculer la probabilité qu'il soit porteur de la maladie V. Arrondir au millième.

Partie C
Le but de cette partie est d'étudier l'influence d'un gène sur la maladie V.

1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de la maladie V dans les échantillons de taille 1 000 , prélevés au hasard et avec remise dans l'ensemble de la population française. On arrondira les bornes de l'intervalle au millième.
2. Dans un échantillon aléatoire de 1 000 personnes possédant le gène, on a trouvé 14 personnes porteuses de la maladie V. Au regard de ce résultat, peut-on décider, au seuil de 95 %, que le gène a une influence sur la maladie ?