Baccalauréat STI2D Métropole - La Réunion - 18 juin 2019 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (5 points)

 

Equations différentielles

Le clinker est un constituant du ciment qui résulte de la cuisson d’un mélange composé de calcaire et d’argile. La fabrication du clinker nécessite des fours à très haute température qui libèrent dans l’air une grande quantité de dioxyde de carbone (CO$_2$).
Dans une cimenterie, la fabrication du clinker s’effectue de 7h30 à 20h, dans une pièce de volume 900 000 dm$^3$.
À 20h, après une journée de travail, le taux volumique de CO$_2$ dans la pièce est de 0,6%.

1. Justifier que le volume de CO$_2$ présent dans cette pièce à 20h est de 5 400 dm$^3$.
Le taux volumique de CO$_2$ dans la pièce est de 0,6% donc le volume de CO$_2$ présent dans cette pièce à 20h est de : $ 900 000 \times 0,006=5400$ dm$^3$.
2. Pour diminuer ce taux de CO$_2$ durant la nuit, l’entreprise a installé dans la pièce une colonne de ventilation. Le volume de CO$_2$, exprimé en dm$^3$, est alors modélisé par une fonction du temps $t$ écoulé après 20h, exprimé en minutes, $t$ varie ainsi dans l’intervalle [0; 690] puisqu'il y a 690 minutes entre 20h et 7h30. On admet que cette fonction $V$, définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 690] est une solution, sur cet intervalle, de l’équation différentielle (E) : $y' + 0,01y = 4,5$.
   1. Déterminer la solution générale de l’équation différentielle (E).
   L ’équation différentielle (E) : $y' + 0,01y = 4,5$ s'écrit $y'=-0,01y + 4,5$.
   Elle est donc du type $y'=ay+b$ où $a=-0,01$ et $b=4,5$.
   Les solutions sont les fonctions $y$ définies sur l’intervalle [0 ; 690] par $y==-\frac{b}{a}+K\text{a t}$, ici $-\frac{b}{a}=-\frac{4,5}{-0,01}=450$
   Lasolution générale de l’équation différentielle (E) est donc $y=K\text{e}^{-0,01t} + 450$ où $K$ désigne une constante réelle quelconque.
   2. Vérifier que pour tout réel $t$ de l’intervalle [0 ; 690], $V(t) =4950 \text{e}^{-0,01t} + 450$.
   A l'instant $t=0$, il est 20h et le volume de CO$_2$ présent dans cette pièce à 20h est de 5 400 dm$^3$; donc $V(0)=5400$ $$\begin{array}{rl} V(0)=5400& \iff K\text{e}^{-0,01\times 0} + 450 =5400\\ & \iff K\text{e}^{ 0} + 450 =5400\\ &\iff K + 450 =5400\\ &\iff K =4950\\ \end{array}$$ Donc pour tout réel $t$ de l’intervalle [0 ; 690], $V(t) =4950 \text{e}^{-0,01t} + 450$.
3. Quel sera, au dm$^3$ près, le volume de CO$_2$ dans cette pièce à 21h ?
Le volume de CO$_2$ dans cette pièce à 21h est $V(60)= 4950 \text{e}^{-0,01 \times 60} + 450\approx 3166,6$
A 21h, le volume de CO$_2$ dans cette pièce sera d'environ 3167 dm$^3$.
4. Les responsables de la cimenterie affirment que chaque matin à 7h30 le taux de CO$_2$ dans cette pièce est inférieur à 0,06%.
   Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.
à 7h30 le volume de CO$_2$ dans cette pièce est $V(690)= 4950 \text{e}^{-0,01 \times 60} + 450\approx 454,99$
Le taux de CO$_2$ dans cette pièce à 7h30 est environ $\dfrac{456}{900000}\approx 0,0005$.
Or $0,0005=0,05\%$.
L'affirmation est donc vraie.
5. Déterminer l’heure à partir de laquelle le volume de CO$_2$ dans la pièce deviendra inférieur à 900 dm$^3$.
On résout l'inéquation $V(t)<900$ : $$\begin{array}{rl} 4950 \text{e}^{-0,01t} + 450 <900 & \iff 4950 \text{e}^{-0,01t} < 450 \\ & \iff \text{e}^{-0,01t} < \frac{450}{4950} \\ &\iff \text{e}^{-0,01t} < \frac{1}{11} \\ &\iff \ln\left ( \text{e}^{-0,01t}\right ) < \ln\left ( \frac{1}{11}\right ) \\ &\iff -0,01t < \ln\left ( \frac{1}{11}\right ) \\ &\iff t > \frac{\ln\left ( \frac{1}{11}\right ) }{-0,01}\\ & \iff t > -100 \times \left (-\ln (11)\right )\\ &\iff t > 100 \ln (11) \end{array}$$ $100 \ln (11) \approx 239,79$, or $240$ min=4h.
A minuit, le volume de CO$_2$ dans la pièce deviendra inférieur à 900 dm$^3$.