Baccalauréat STI2D Métropole - La Réunion - 18 juin 2019 - Exercice 2

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Exercice 2 (7 points)

Suites et fonctions Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.
Le conservatoire des espaces naturels d'une région s’occupe d’une zone protégée de 1800 hectares. Depuis plusieurs années, il surveille le domaine d’extension d’une plante invasive. Cette plante inhabituelle, d’origine exotique, devient envahissante et cause une régression de la biodiversité. Si le conservatoire constate qu’à la fin d’une année l’aire de la surface occupée par la plante dépasse 80 hectares, cette plante fera alors l’objet d’un plan d’élimination progressive à partir de l’année suivante.

Partie A

1. Des relevés de la surface occupée par cette plante ont été effectués sur le terrain, en fin d'année, de 2015 à 2018 : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Année } & 2015 & 2016 & 2017& 2018 \\ \hline \text{Surface en hectares (ha) } &63 & 66,2 & 69,5&73 \\ \hline \end{array} $$ Le conservatoire estime que l’aire de la surface occupée par cette plante a augmenté de 5% environ chaque année.
   Vérifier que cette estimation est cohérente avec les relevés pris sur le terrain.
2. On considère qu’à partir de l’année 2018 la surface occupée par la plante augmente chaque année de 5%.
   Expliquer alors pourquoi la décision de commencer l'élimination de la plante devrait être prise à la fin de l'année 2020 par le conservatoire.
3. Le conservatoire décide de mettre en oeuvre un plan d’élimination progressive. Ce plan prévoit d’éliminer la plante, par arrachage ou par brûlage thermique, sur une surface de 10 hectares à chaque fin d’année, à partir de l’année 2021.
   Pour tout entier naturel $n$, on désigne par $P_n$ l’aire de la surface occupée par la plante, exprimée en hectares, en fin d’année « 2020 + $n$ », en prenant $P_0 = 80,5$.
   1. Montrer que $P_1 = 74,525$.
   2. Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a : $P_{n+1} = 1,05P_n - 10$.
   3. Donner une valeur arrondie de $P_2$ à $10^{-3}$ près.
   4. Pourquoi la suite $\left (P_n\right )$ n’est-elle pas géométrique?
4. Le conservatoire décidera de mettre fin au plan d’élimination dès que l’aire de la surface occupée par la plante sera inférieure à 6 hectares. Recopier et compléter l’algorithme ci-contre pour qu'à la fin de son exécution, la variable $n$ contienne le nombre d’années de mise en oeuvre du plan. $$ \begin{array}{|l|}\hline N\gets 0\\ P \gets 80,5\\ \text{Tant que }\:P \geq 6\\ \hspace{0.8cm}U \gets \ldots\\ \hspace{0.8cm}N \gets \ldots~~~~~ \\ \text{Fin Tant que}\\ \hline \end{array} $$
5. À la fin de quelle année le plan d’élimination prendra-t-il fin?

Partie B

 

Le logo utilisé par le conservatoire pour la communication est constitué de deux feuilles symétriques l’une de l’autre, dessinées ci-dessous. Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur l’intervalle $[0,1; 1,25]$ par $f(x) =\dfrac{0,2}{x}$ et $g(x) = -x^2 + 0,2x +1$. On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives de ces fonctions tracées dans le repère orthonormé ci-contre.

On admet que ces deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se coupent en deux points.

La feuille gauche du logo correspond à la partie grisée du plan, délimitée par ces deux courbes.

1. Vérifier par le calcul que 0,2 est une solution de l’équation $f(x) = g(x)$.
2. Déterminer graphiquement la seconde solution de cette équation.
3. 1. Interpréter graphiquement l’intégrale $I = \displaystyle\int_{0,2}^1 g(x) \text{d} x$.
   2. Donner une valeur approchée de cette intégrale à $10^{-2}$ près.
4. 1. Montrer que la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0,1; 1,25]$ par $F(x) = \frac{1}{5} \ln (x)$ est une primitive sur l’intervalle $[0,1; 1,25]$ de la fonction $f$.
   2. Calculer la valeur exacte de l’intégrale $J = \displaystyle\int_{0,2}^1 f(x) \text{d} x$.
5. On admet que la courbe $\mathcal{C}_g$ est située au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur l’intervalle $[0,2 ; 1]$.
   L’unité choisie sur chacun des axes est de 2,5 cm.
   En déduire, au cm$^2$ près, une valeur approchée de l’aire totale du logo.