Baccalauréat STI2D Métropole - La Réunion - 18 juin 2019 - Exercice 3

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Exercice 3 4 points

Equations différentielles

Le clinker est un constituant du ciment qui résulte de la cuisson d’un mélange composé de calcaire et d’argile. La fabrication du clinker nécessite des fours à très haute température qui libèrent dans l’air une grande quantité de dioxyde de carbone (CO$_2$).
Dans une cimenterie, la fabrication du clinker s’effectue de 7h30 à 20h, dans une pièce de volume 900 000 dm$^3$.
À 20h, après une journée de travail, le taux volumique de CO$_2$ dans la pièce est de 0,6%.

1. Justifier que le volume de CO$_2$ présent dans cette pièce à 20h est de 5 400 dm$^3$.
2. Pour diminuer ce taux de CO$_2$ durant la nuit, l’entreprise a installé dans la pièce une colonne de ventilation. Le volume de CO$_2$, exprimé en dmdm$^3$, est alors modélisé par une fonction du temps $t$ écoulé après 20h, exprimé en minutes, $t$ varie ainsi dans l’intervalle [0; 690] puisqu'il y a 690 minutes entre 20h et 7h30. On admet que cette fonction $V$, définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 690] est une solution, sur cet intervalle, de l’équation différentielle (E) : $y' + 0,01y = 4,5$.
   1. Déterminer la solution générale de l’équation différentielle (E).
   2. Vérifier que pour tout réel $t$ de l’intervalle [0 ; 690], $V(t) =4950 \text{e}^{-0,01t} + 450$.
3. Quel sera, au dm$^3$ près, le volume de CO$_2$ dans cette pièce à 21h ?
4. Les responsables de la cimenterie affirment que chaque matin à 7h30 le taux de CO$_2$ dans cette pièce est inférieur à 0,06%.
   Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.
5. Déterminer l’heure à partir de laquelle le volume de CO$_2$ dans la pièce deviendra inférieur à 900 dm$^3$.