Baccalauréat S Pondichéry 26 Avril 2017 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (3 points)

Commun à tous les candidats

On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$.

1. On considère l'équation \[(E) :\qquad z^2 - 6z + c = 0\] où $c$ est un réel strictement supérieur à 9.
   1. Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles.
   On considère l’équation $z^2-6z+c=0$
   Son discriminant est $\Delta=36-4c=4(9-c)$
   On sait que $c>9$. Par conséquent $\Delta <0$.
   L’équation $(E)$ admet donc deux solutions complexes non réelles.
   $\quad$
   
   2. Justifier que les solutions de (E) sont $z_{\text{A}} = 3 + \text{i}\sqrt{c - 9}$ et $z_{\text{B}} = 3 - \text{i}\sqrt{c - 9}$.
   Les solutions sont donc :
   $z_1=\dfrac{6-\text{i}\sqrt{4(c-9)}}{2}=\dfrac{6-2\text{i}\sqrt{c-9}}{2}=3-\text{i}\sqrt{c-9}$ et $z_2=\overline{z_1}=3+\text{i}\sqrt{c-9}$.
   $\quad$
2. On note A et B les points d'affixes respectives $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. Justifier que le triangle OAB est isocèle en O.
$OA=\left|z_A\right|=\sqrt{9+c-9}=\sqrt{c}$
$OB=\left|z_B\right|=\sqrt{9+c-9}=\sqrt{c}$
Le triangle $OAB$ est donc isocèle en $O$.
$\quad$ $\quad$
3. Démontrer qu'il existe une valeur du réel $c$ pour laquelle le triangle OAB est rectangle et déterminer cette valeur.
$AB=\left|z_A-z_B\right|=\left|2\text{i}\sqrt{c-9}\right|=2\sqrt{(c-9)}$.
Le triangle $OAB$ est rectangle en $O$
$\iff AB^2=OA^2+OB^2$
$\iff 4(c-9)=2c$
$\iff 4c-36=2c$
$\iff 2c-36=0$
$\iff c=18$
Il existe donc bien une seule valeur du réel $c$ pour laquelle le triangle $OAB$ est rectangle et $c=18$.