Baccalauréat S Pondichéry 26 Avril 2017 - Correction Exercice 4
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Correction de l'exercice 4 5 points
On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ :
- la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ :$\: u_{n+1} = 2u_n - n + 3$ ;
- la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2^n$.
Partie A : Conjectures
Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l'aide d'un tableur. Une copie d'écran est donnée ci-dessous. $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline &A &B &C\\ \hline 1 &\text{rang } n &\text{ terme } u_n &\text{ terme }v_n \\ \hline 2 &0 & 1 &1 \\ \hline 3 &1 &5 &2\\ \hline 4 &2 &12 &4\\ \hline 5 &3 &25 &8 \\ \hline 6 &4 &50 &16\\ \hline \end{array} $$
- Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ? En B3 on a pu saisir : $=2*B2-A2+3$
- Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants : $$ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 12 &10 & 3080 & 1024 \\ \hline 13 &11 & 6153 & 2048 \\ \hline 14 &12 & 12298 & 4096 \\ \hline 15 &l3 & 24587 & 8192 \\ \hline \end{array} $$ Conjecturer les limites des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$. Il semblerait que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ soit $+\infty$.
En $C3$ on a pu saisir : $=2^{A3}$
$\quad$
$\dfrac{3~080}{1~024}\approx 3,008$
$\dfrac{6~153}{2~048}\approx 3,004$
$\dfrac{12~298}{4~096}\approx 3,002$
$\dfrac{24~587}{8~192}\approx 3,001$
Il semblerait que la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ soit $3$.
$\quad$
Partie B : Étude de la suite $\left(u_n\right)$
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a $u_n = 3 \times 2^n + n - 2$. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=1$ et $3\times 2^0-0-2=3-2=1$
- Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. $2>1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty}2^n=+\infty$ et $\lim\limits_{n\to +\infty}3\times 2^n=+\infty$
- Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million. On cherche la plus petite valeur de $n$ telle que $ u_n\geqslant 10^6$
La propriété est vraie au rang $0$
$\quad$
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=3\times 2^n+n-2$
$\begin{align*} u_{n+1}&=2u_n-n+3\\
&=2\left(3\times 2^n+n-2\right)-n+3\\
&=3\times 2^{n+1}+2n-4-n+3\\
&=3\times 2^{n+1}+n-1\\
&=3\times 2^{n+1}+(n+1)-2
\end{align*}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=3\times 2^n+n-2$.
$\quad$
De plus $\lim\limits_{n\to +\infty}n-2=+\infty$
Par somme de limite $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty$
$\quad$
Les suites de terme général $\left(3\times 2^n\right)$ et $(n-2)$ sont croissantes. Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ est également croissante.
On a $u_{18}=786~448$ et $u_{19}=1~572~881$
Par conséquent c’est à partir du rang $19$ que $u_n\geqslant 10^6$.
$\quad$
Partie C : Étude de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$
- Démontrer que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ est décroissante à partir du rang 3. On note $w_n=\dfrac{u_n}{v_n}$
- On admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, on a : $0 < \dfrac{n}{2^n} < \dfrac{1}{n}$. Déterminer la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ . $\quad$
$\begin{align*}w_{n+1}-w_n&=\dfrac{3\times 2^{n+1}+n-1}{2^{n+1}}-\dfrac{3\times 2^n+n-2}{2^n} \\
&=3+\dfrac{n-1}{2^{n+1}}-3-\dfrac{n-2}{2^n}\\
&=\dfrac{n-1}{2^{n+1}}-\dfrac{2(n-2}{2^{n+1}}\\
&=\dfrac{n-1-2n+4}{2^{n+1}}\\
&=\dfrac{3-n}{2^{n+1}}
\end{align*}$
Par conséquent, si $n\geqslant 3$ alors $w_{n+1}-w_n\leqslant 0$ et la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ est décroissante.
$\quad$
$\begin{align*} \dfrac{u_n}{v_n}&=3-\dfrac{n-2}{2^n}\\
&=3-\dfrac{n}{2^n}+\dfrac{2}{2^n} \\
&=3-\dfrac{n}{2^n}+2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n
\end{align*}$
$\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}=0$
D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{n}{2^n}=0$
$-1<\dfrac{1}{2}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$
Ainsi, par somme des limites $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n}=3$
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