Baccalauréat S Pondichéry 26 Avril 2017 - Exercice 4
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Exercice 4 5 points
On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ :
- la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ :$\: u_{n+1} = 2u_n - n + 3$ ;
- la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2^n$.
Partie A : Conjectures
Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l'aide d'un tableur. Une copie d'écran est donnée ci-dessous. $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline &A &B &C\\ \hline 1 &\text{rang } n &\text{ terme } u_n &\text{ terme }v_n \\ \hline 2 &0 & 1 &1 \\ \hline 3 &1 &5 &2\\ \hline 4 &2 &12 &4\\ \hline 5 &3 &25 &8 \\ \hline 6 &4 &50 &16\\ \hline \end{array} $$
- Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ?
- Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants : $$ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 12 &10 & 3080 & 1024 \\ \hline 13 &11 & 6153 & 2048 \\ \hline 14 &12 & 12298 & 4096 \\ \hline 15 &l3 & 24587 & 8192 \\ \hline \end{array} $$ Conjecturer les limites des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.
Partie B : Étude de la suite $\left(u_n\right)$
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a $u_n = 3 \times 2^n + n - 2$.
- Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
- Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million.
Partie C : Étude de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$
- Démontrer que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ est décroissante à partir du rang 3.
- On admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, on a : $0 < \dfrac{n}{2^n} < \dfrac{1}{n}$. Déterminer la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ .
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