Baccalauréat S Pondichéry 26 Avril 2017 - Spécialité
Page 9 sur 12
Spécialité 5 points
On définit les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ par : \[u_0 = v_0 = 1\: \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+1} = 2u_n + 3v_n\: \text{et}\: v_{n+1} = 2u_n + v_n.\] On admettra que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.
Partie A : Conjectures
Flore a calculé les premiers termes des suites à l'aide d'un tableur. Une copie d'écran est donnée ci-dessous. $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline &A &B &C\\ \hline 1 &\text{rang } n &\text{ terme } u_n &\text{ terme }v_n \\ \hline 2& 0 &1 &1\\ \hline 3& 1 &5 &3\\ \hline 4& 2 &19 &13\\ \hline 5& 3 &77 &51\\ \hline 6& 4 &307 &205\\ \hline \end{array} $$
- Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des suites ?
- Soit $n$ un entier naturel. Conjecturer la valeur de PGCD$\left(u_n~;~v_n\right)$. Aucune justification n'est demandée.
- Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Flore obtient les résultats suivants : $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 12 &10 & 1258291 &838861\\ \hline 13 &Il &5033165 &3355443\\ \hline 14 &12 &20132659 &13421773\\ \hline 15 &13 &80530637 &53687091\\ \hline \end{array}$$ Elle émet la conjecture : « la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ converge ». Qu'en penser ?
Partie B : Étude arithmétique
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $2u_n - 3v_n = (- 1)^{n+1}$.
- Soit $n$ un entier naturel. Déduire de la question précédente la valeur de PGCD$\left(u_n~;~v_n\right)$.
Partie C : Étude matricielle
Pour tout entier naturel $n$, on définit :
- la matrice colonne $X_n = \begin{pmatrix}u_n\\ v_n\end{pmatrix}$,
- les matrices carrées $P = \begin{pmatrix} 1&3\\- 1&2\end{pmatrix}$ et $Q_n = \begin{pmatrix}(- 1)^n&3 \times 2^{2n}\\(- 1)^{n+1}&2^{2n+1}\end{pmatrix}.$
-
- Montrer que la matrice $\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&- 3\\1&1\end{pmatrix}$ est l'inverse de $P$.
- On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a $X_n = Q_nP^{-1} X_0$. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $\left\{\begin{array}{l c l} u_n&=&\dfrac{(- 1)^{n+1}+ 3\times 2^{2n+1}}{5}\\ v_n&=&\dfrac{(- 1)^{n}+ 2^{2n+2}}{5} \end{array}\right.$
-
- Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $\dfrac{u_n}{v_n}= \dfrac{\frac{(- 1)^{n+1}}{2^{2n+1}}+ 3}{\frac{(- 1)^{n}}{2^{2n+1}}+ 2}$.
- En déduire la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.
- Vues: 20886