Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie mars 2016 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante

Partie A

Afin de crypter un message, on utilise un chiffrement affine. Chaque lettre de l'alphabet est associée à un nombre entier comme indiqué dans le tableau ci-dessous : $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M&N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline \end{array}$$ Soit $x$ le nombre associé à la lettre à coder. On détermine le reste $y$ de la division euclidienne de $7x + 5$ par $26$, puis on en déduit la lettre associée à $y$ (c'est elle qui code la lettre d'origine). Exemple : M correspond à $x = 12$ $7 \times 12 + 5 = 89$ Or $89 \equiv 11\:\: [26]$ et 11 correspond à la lettre L, donc la lettre M est codée par la lettre L.

1. Coder la lettre L.
$L$ est associé au nombre $11$.
$7\times 11+5 = 82 \equiv 4\quad[26]$
$4$ correspond à la lettre $E$.
Ainsi $L$ est codé en $E$.
$\quad$
2. 1. Soit $k$ un entier relatif. Montrer que si $k \equiv 7x \:\: [26]$ alors $15k \equiv x\:\:[26]$.
   Si $k\equiv 7x \quad[26]$ alors $15k \equiv 105x \quad [26] \equiv x \quad [26]$.
   $\quad$
   b. Si $15k\equiv x \quad [26]$ alors $105k \equiv 7x \quad [26]$ soit $k\equiv 7x \quad [26]$.
   $\quad$
   
   2. Démontrer la réciproque de l'implication précédente.
   $y\equiv 7x+5 \quad [26]$
   équivaut à $7x \equiv y-5 \quad [26]$
   équivaut à, d’après la question 2.a. $x \equiv 15(y-5) \quad [26]$
   équivaut à $x \equiv 15y – 75 \quad [26]$
   équivaut à $x \equiv 15y +3 \quad [26]$
   $\quad$
   3. En déduire que $y \equiv 7x + 5\:\:[26]$ équivaut à $x \equiv 15y + 3\:\:[26]$.
   La lettre $E$ est associée au nombre $4$.
   Donc $y=4$ et $x \equiv 15 \times 4+3 \quad [26] \equiv 63 \quad [26]$ $\equiv 11 \quad [26]$.
   Ainsi $E$ se décode en $L$.
   $\quad$
3. À l'aide de la question précédente décoder la lettre F.

Partie B

On considère les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ telles que $a_0$ et $b_0$ sont des entiers compris entre 0 et 25 inclus et pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} = 7a_n + 5$ et $b_{n+1} = 15b_n + 3$.

Montrer que pour tout entier naturel $n,\: a_n = \left(a_0 + \dfrac{5}{6}\right) \times 7^n - \dfrac{5}{6}$.

Montrons le résultat par récurrence.

Initialisation : Si $n=0$ alors $\left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^0-\dfrac{5}{6}$ $ = a_0+\dfrac{5}{6}-\dfrac{5}{6}$ $=a_0$.
La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $a_n= \left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^n-\dfrac{5}{6}$

Donc :

$$\begin{align*} a_{n+1} &=7a_n+5 \\\\
&=7 \left(\left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^n-\dfrac{5}{6}\right)+5 \\\\
&= \left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^{n+1}-\dfrac{35}{6}+5 \\\\
&= \left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^{n+1}-\dfrac{5}{6}
\end{align*}$$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $a_n= \left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^n-\dfrac{5}{6}$.

Partie C

Déchiffrer un message codé avec un chiffrement affine ne pose pas de difficulté (on peut tester les 312 couples de coefficients possibles).

Afin d'augmenter cette difficulté de décryptage, on propose d'utiliser une clé qui indiquera pour chaque lettre le nombre de fois où on lui applique le chiffrement affine de la partie A.

Par exemple pour coder le mot MATH avec la clé 2-2-5-6, on applique « 2» fois le chiffrement affine à la lettre M (cela donne E), « 2 » fois le chiffrement à la lettre A, « 5 » fois le chiffrement à la lettre T et enfin « 6 » fois le chiffrement à la lettre H.

Dans cette partie, on utilisera la clé 2-2-5-6.

Première méthode

On cherche une lettre qui codée 6 fois de suite donne la lettre Q. Autrement dit, il suffit de décoder 6 fois de suite la lettre Q pour obtenir le résultat demandé. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{lettre} & y & 15y+3 & \text{reste } x & \text{lettre} \\ \hline Q & 16 & 243 & 9 & J \\ \hline J & 9 & 138 & 8 & I \\ \hline I & 8 & 123 & 19 & T \\ \hline T & 19 & 288 & 2 & C \\ \hline C & 2 & 33 & 7 & H \\ \hline H & 7 & 108 & 4 & E \\ \hline \end{array} $$ Donc la lettre Q se décode en E.

Deuxième méthode

On peut utiliser les résultats de la partie B. On doit appliquer 6 fois la fonction $x \longmapsto 15x+3$ successivement au nombre 16 (correspondant à Q), puis à son image, puis à l'image de l'image, etc. On cherche donc, avec les notations de la partie B, le nombre $b_6$ sachant que $b_0=16$. $b_6= \left ( 16 +\dfrac{3}{14}\right ) \times 15^6 - \dfrac{3}{14} = 184690848 $ Le reste de la division de 184690848 par 26 est 4 qui correspond bien à E.

Remarque : Le mot IYYQ se décode en CODE par le processus détaillé dans la partie C.